Física Geral - Relatório Lançamento de Projéteis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA GERAL 
 
RELATÓRIO AULA PRÁTICA – CINEMÁTICA 
 
LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS 
 
 
 
 
 
 
 
JUNHO DE 2015 – MARABÁ – PA
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
 
 
 
FÍSICA GERAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 COMPONENTES: 
 
Alysson Cardoso da Silva 
Alysson Costa Silva 
Eduarda Guimarães Silva 
Erison Alves dos Santos 
Felipe Arthur Bezerra 
Thalys Soares Feitosa 
Thaylor Cardoso Martins 
 
 
JUNHO DE 2015 – MARABÁ – PA
Atividade requisitada pelo Prof. Dr. Leandro 
Xavier Cardoso, no dia 11 de maio de 2015, como 
complemento da nota na disciplina de Física Geral no 
primeiro período de Engenharia Civil na Universidade 
Federal do Sul e Sudeste do Pará. 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
1.IINTRODUÇÃO...................................................................................................03 
2.OBJETIVOS........................................................................................................03 
3.MATERIAIS UTILIZADOS...................................................................................04 
4.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL..................................................................04 
5.DADOS EXPERIMENTAIS E ANÁLISE..............................................................04 
5.1.DADOS EXPERIMENTAIS, ANÁLISE E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.......11 
5.2 OBTENDO O ERRO PERCENTUAL PARA CADA ETAPA............................12 
5.3 OBTENDO O DESVIO PADRÃO PARA CADA CASO....................................12 
6. RESULTADOS E DISCUSSÕES.......................................................................13 
7.REFERÊNCIAS...................................................................................................14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. INTRODUÇÃO 
Ainda na Idade Antiga, o Movimento Oblíquo era de interesse do exército 
grego para a construção de catapultas e outras armas, capazes de lançar objetos 
(rochas, feno em chamas) através de muralhas e fossos, garantindo assim, vitória 
sobre o inimigo em suas jornadas de conquista territorial. 
Atualmente, o conhecimento a respeito desse movimento é empregado em 
âmbitos técnicos como Engenharia Aeroespacial e correlatos ou simplesmente por 
um garoto que deseja saber com que velocidade deve lançar obliquamente uma 
moeda para que esta atinja um recipiente a uma dada distância. 
O Movimento Parabólico é definido como o resultado da composição de 
dois movimentos simultâneos e independentes: queda livre (movimento vertical, 
sob ação exclusiva da gravidade, sendo uniformemente variado, pois sua 
aceleração se mantém constante) e movimento horizontal uniforme (não possui 
aceleração; o móvel encontra-se em equilíbrio dinâmico, mantendo a componente 
da velocidade com a qual foi lançado). 
Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante do projétil, cuja direção 
é tangente à trajetória, é dada pela soma vetorial da velocidade horizontal que 
permanece constante, e da velocidade vertical, cujo módulo varia, pois a 
aceleração da gravidade tem direção vertical. 
Sendo assim, no lançamento horizontal, à medida que o móvel se 
movimenta, o módulo de sua velocidade cresce em razão do aumento do módulo 
da componente vertical. 
2. OBJETIVOS 
 Estudar o movimento parabólico; 
 Determinar a velocidade v0 de lançamento da esfera; 
 Determinar experimentalmente o alcance A da esfera lançada 
horizontalmente; 
 Comparar o alcance teórico com o experimental e calcular o erro relativo Ɛ. 
 
 
 
4 
 
3. MATERIAIS UTILIZADOS 
Para a realização do experimento de lançamento de projéteis, utilizou-se: 
 Rampa para lançamento; 
 Esfera de aço (ou equivalente); 
 Caneta; 
 Trena e/ou régua; 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Inicialmente pega-se a esfera e a partir de alguma posição na rapa esta é 
liberada. Observa-se a posição horizontal atingida (alcance). 
 Utilizando a fita adesiva prende-se a folha de papel e o papel carbono nas 
imediações de onde a esfera possa cair; 
 Escolhe-se uma das posições de lançamento na rampa e então libera-se a 
esfera a partir desse ponto. Mede-se então com régua ou trena o alcance A 
da esfera no papel e a origem. Para esta última tarefa, pode-se também 
utilizar o fio de prumo. Marca-se com uma caneta um X a marca feita pela 
esfera no papel. 
 Repete-se o procedimento outras 9 vezes. Os dados devem ser preenchidos 
em uma tabela que relaciona a cada medida, o alcance A. 
Como o processo de abandono da esfera na rampa é manual, toda e 
qualquer imperícia do operador incidem diretamente sobre os resultados, assim 
como a coleta de medidas utilizando a régua e/ou trena. 
5. DADOS EXPERIMENTAIS, ANÁLISE E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Utilizando a altura máxima (0,100 m), intermediária (0,050 m) e mínima 
(0,010 m) da rampa, com extremidade situada a 1,200 m do solo, abandonou-se a 
esfera a partir destes pontos obtendo seu alcance para cada um dos 10 abandonos 
executados. 
Para as três situações descritas acima, os dados obtidos estão dispostos 
nas tabelas abaixo, seguidos da imagem dos pontos deixados pela esfera ao quicar 
no papel carbono em cada lançamento. 
 Fita adesiva; 
 Papel carbono; 
 Fio de prumo (dispensável); 
 Folha de papel. 
 
 
5 
 
Dado o primeiro caso, onde abandonou-se a esfera a partir da altura h 
0,100m da rampa, que possui extremidade à H do solo, observou-se os seguintes 
dados: 
Tabela 1 – Coleta - etapa de lançamento I 
 
Fonte: O autor 
Pontos finais trajetória etapa de lançamento I 
 
Fonte: O autor 
Medida (Nº) Alcance (m)
1 0,599
2 0,602
3 0,603
4 0,607
5 0,594
6 0,608
7 0,603
8 0,613
9 0,608
10 0,598
Média 0,604
H
=
 1
,2
0
0
 m
h
=
 0
,1
0
0
 m
 
6 
 
Pela lei de conservação de energia mecânica (𝐸𝑚𝑒𝑐𝐴 = 𝐸𝑚𝑒𝑐𝐵) e 
conhecendo a altura ℎ (Fig. 2) da rampa, de onde a esfera é abandonada e parte 
do repouso, pode-se calcular a velocidade 𝑣 com que o projétil deixa a plataforma. 
𝑈𝑎 + 𝐾𝑎 = 𝑈𝑏 + 𝐾𝑏 
 𝑚𝑔ℎ𝑎 +
𝑚𝑣²𝑎
2
 = 𝑚𝑔ℎ𝑏 +
𝑚𝑣²𝑏
2
 
𝑣𝑎 e ℎ𝑏 são nulos, portanto, a fórmula resume-se a: 
𝑚𝑔ℎ𝑎 =
𝑚𝑣²𝑏
2
, 
 após alguma álgebra tem-se que: 
𝑣𝑏=√2𝑔ℎ𝑎 (I) 
Utilizando a equação (I) e sabendo-se que ℎ𝑎 = 0,100𝑚, 𝑔 = 9,78 𝑚/𝑠
2, 
encontra-se a velocidade de lançamento 𝑣𝑏: 𝑣𝑏 = 1,399 𝑚/𝑠. 
Fig.2 – Rampa de Lançamento
 
Fonte: O autor 
 
7 
 
Tabela 2 – Coleta - etapa de lançamento II 
 
Fonte: O autor 
Por meio da equação (I), omitindo algumas passagens detalhadas no 
cálculo da velocidade de lançamentos na etapa anterior, e ciente da nova altura de 
lançamento na rampa (ℎ𝑎 = 0,050m), pode-se determinar a velocidade (𝑣𝑏) com 
que a esfera deixa a rampa. 
Pela conservação da energia mecânica, calcula-se: 
𝑣𝑏 = √2𝑔ℎ𝑎 𝑣𝑏 = 0,989 𝑚/𝑠 
Pontos finais trajetória - Etapa de lançamento II 
 
Fonte: O autor 
Medida (Nº) Alcance (m)
1 0,429
2 0,441
3 0,455
4 0,427
5 0,446
6 0,431
7 0,445
8 0,457
9 0,427
10 0,440
Média 0,440
h
=
 0
,0
5
0
 m
H
=
 1
,2
0
0
 m
 
8 
 
Tabela 3 – Coleta etapa de lançamento III 
 
Fonte: O autor 
Pontos finais trajetória - Etapa de lançamento III 
 
Fonte: O autor 
De modo análogo às etapas de lançamentos anterior, pode-se conhecer a 
velocidadede lançamento para a altura ℎ𝑎 = 0,010𝑚 da rampa. 
Pela conservação da energia mecânica, determina-se: 
𝑣𝑏 = √2𝑔ℎ𝑎 
𝑣𝑏 = 0,442 𝑚/𝑠 
Medida (Nº) Alcance (m)
1 0,183
2 0,183
3 0,187
4 0,183
5 0,183
6 0,183
7 0,183
8 0,182
9 0,183
10 0,184
Média 0,183
H
=
 1
,2
0
0
 m
h
=
 0
,0
1
0
 m
 
9 
 
A literatura prevê o comportamento de uma partícula descrevendo um 
movimento oblíquo, no entanto, nem sempre experimentalmente os resultados 
obtidos coincidem com a previsão teórica. 
Sendo assim, ao realizar um experimento, deve-se calcular o desvio padrão 
(σ) e o erro percentual (ε) para cada um dos casos, de acordo com as seguintes 
equações. 
Sendo 𝐴𝑖, o alcance de um dos 10 lançamentos realizados em cada uma 
das três etapas de movimento de projéteis estudada e 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜, o alcance previsto, 
pode-se definir a variância (𝑉) de um conjunto de valores (𝑛) como a média do 
quadrado dos desvios de cada valor em relação à média, onde o desvio de cada 
valor em relação ao valor médio é (𝐴𝑖 − 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜). Matematicamente expressa-se: 
𝑉 = 
∑ (𝐴𝑖 − 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜)²
n
i=1
𝑛
 
A estatística e probabilidade estabelece que o quadrado do desvio padrão 
é igual à variância, portanto, tem-se: 
σ2 = V 
σ2 =
∑ (𝐴𝑖−𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜)²
n
i=1
𝑛
 (II) 
Calcular o erro relativo percentual permite estabelecer uma estimativa com 
um valor exato. Ele fornece a diferença entre os valores aproximado e exato como 
uma porcentagem do valor exato, contribuindo para determinar quão preciso foi um 
experimento em detrimento do valor esperado ou previsto. 
Também é proposto ao estudar as medidas de dispersão, em estatística, 
que o erro percentual (ε) é igual ao produto do módulo da diferença entre o valor 
esperado (teórico) e o valor obtido (experimental) pelo fator 100% dividido pelo 
valor teórico. Algebricamente expressa-se: 
ε =
|𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜− 𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|.100% 
𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
 (III) 
 
10 
 
Para encontrar o desvio padrão é necessário determinar, primeiramente, o 
alcance previsto pela fundamentação teórica (alcance teórico), este pode ser obtido 
diante da análise dos movimentos simultâneos (Queda Livre e Movimento Retilíneo 
Uniforme - MRU) descritos bidimensionalmente. 
Ao sair da rampa a esfera executa um movimento parabólico, onde, para o 
eixo 𝑥, executa um MRU e em 𝑦, sob a ação da força da gravidade executa um 
movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração constante 𝑔 =
9,78𝑚/𝑠². 
A função da posição em 𝑥 será dada por: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡 
E em 𝑦 a expressão que descreve a posição é: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑜𝑦𝑡 − 
𝑔𝑡²
2
 
Considerando que as coordenadas de lançamento como sendo: 𝑥0 = 0 e 
𝑦0 = 𝐻 (onde 𝐻 é a altura entre o ponto onde a esfera deixa a rampa e solo) e que 
𝑣0𝑥 = 𝑣0 e 𝑣0𝑦= 0, obtém-se: 
𝑥 = 𝑣0𝑡 e 𝑦 = 𝐻 − 
𝑔𝑡²
2
 
Deseja-se determinar o alcance A da esfera, faz-se então, 𝑥 = 𝐴 e 𝑦 = 0, 
portanto: 
𝑥 = 𝑣0𝑡 → 𝐴 = 𝑣0𝑡 → 𝑡 =
𝐴
𝑣0
 0 = 𝐻 − 
𝑔𝑡2
2
 → 𝐻 =
𝑔𝑡²
2
 
Como 
𝑡 =
𝐴
𝑣0
, 0 = 𝐻 − 
𝑔
2
(
𝐴
𝑣0
)
2
 
Após alguma álgebra: 
𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝑣0√
2𝐻
𝑔
 (IV) 
 
11 
 
Em que 𝐴 é o alcance em metros (m) 𝑣0 é a velocidade inicial em metros 
por segundo, 𝐻 é a altura e queda em metros (m) e 𝑔 é a aceleração da gravidade 
em metros por segundo quadrado (m/s²). 
5.1 DETERMINANDO O ALCANCE ESPERADO PARA CADA CASO. 
Agora que se conhece o alcance teórico, dispõe-se do necessário para o 
cálculo do desvio padrão e erro percentual para cada uma das etapas de 
lançamento. 
Para a primeira etapa de lançamento, observa-se na tabela 1 que o alcance 
médio é 𝐴 = 0,604𝑚, e que a altura de queda 𝐻 = 1,2𝑚; determinou-se a partir de 
(I) sua velocidade de lançamento 𝑣0 = 1,399𝑚/𝑠 e se estabeleceu que 𝑔 =
9,78 𝑚/𝑠². Diante disso, afirma-se a partir da equação (IV) que o alcance esperado 
é 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 0,693 𝑚. 
Calcula-se também o alcance teórico da segunda bateria de lançamentos. 
Observa-se na tabela 2 que o alcance médio é 𝐴 = 0,440 𝑚, e que a altura de queda 
 𝐻 = 1,2 𝑚; determinou-se a partir de (I) sua velocidade de lançamento 𝑣0 =
0,989 𝑚/𝑠 e se estabeleceu que 𝑔 = 9,78 𝑚/𝑠². Diante disso, afirma-se a partir da 
equação (IV) que o alcance esperado é 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 0,490 𝑚. 
De modo análogo ao segundo e terceiro conjunto de lançamentos, 
determina-se o alcance teórico para a terceira etapa de lançamentos. Observa-se 
na tabela 3 que o alcance médio é 𝐴 = 0,183𝑚, e que a altura de queda 𝐻 = 1,2𝑚; 
determinou-se a partir de (I) sua velocidade de lançamento 𝑣0 = 0,442𝑚/𝑠 e se 
estabeleceu que 𝑔 = 9,78 𝑚/𝑠². Diante disso, afirma-se a partir da equação (IV) 
que o alcance esperado é 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 0,219 𝑚. 
5.2 OBTENDO O ERRO PERCENTUAL PARA CADA ETAPA. 
Para obter o erro percentual é necessário o valor previsto pela teoria e o 
valor obtido experimentalmente (média do alcance dos dez lançamentos de cada 
etapa); ambos são conhecidos, portanto, pode-se encontrar a partir da equação 
(III) o erro percentual ε. 
 
12 
 
 Lançamentos I 
ε =
|𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜− 𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|.100% 
𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
 ε = 12,843% 
 Lançamentos II 
ε =
|𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜− 𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|.100% 
𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
 ε = 10,204% 
 Lançamentos III 
ε =
|𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜− 𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|.100% 
𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
 ε = 16,538% 
5.3 OBTENDO O DESVIO PADRÃO PARA CADA CASO 
A partir da fórmula (II) determina-se o desvio padrão σ para cada etapa de 
lançamento: 
Fazendo 𝐴𝑖 = 𝐴 (onde 𝐴 é a média aritmética de cada sequência de 
lançamentos) em (II), encontra-se: 
σ2 = (A − 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜)
2
 
 σ = √|A − 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜| (V) 
a partir de (V) exprimimos o desvio padrão de cada etapa: 
 Sequência de lançamentos I 
 σ = √|A − 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜| σ = 0,298𝑚 
 Sequência de lançamentos II 
 σ = √|A − 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜| σ = 0,224𝑚 
 Sequência de lançamentos III 
 σ = √|A − 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜| σ = 0,187𝑚 
 
13 
 
Assim, o alcance experimental para cada situação pode ser definido no 
intervalo: 
𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 = [𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝜎, 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜎] ou 𝐴𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 = 𝐴𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 ± 𝜎 
 
6. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
Mediante o resultado dos experimentos, algumas indagações foram 
explicitadas, como, por exemplo, a coerência dos resultados experimentais com os 
resultados teóricos. Os resultados foram coerentes com a teoria, porém, não 
idênticos. Tais resultados nunca serão iguais aos resultados teóricos, existe sempre 
uma série de fatores que influencia na realização do experimento, como por 
exemplo, a força de resistência do ar, que na teoria é desprezível, porém na prática 
causa alterações, mesmo que minimamente, nos resultados experimentais. 
Os resultados se distanciam a uma margem 𝜎 do resultado previsto 
teoricamente, isso se deve a possíveis distrações do operador, escolha errada de 
escalas, erros de cálculo, condições do ambiente, dentre outros. Além disso, 
problemas de precisão com os equipamentos utilizados também implicam em 
variaçõesnos resultados experimentais. 
O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será 
completamente eliminado, ele poderá ser minimizado procurando-se eliminar o 
máximo possível as fontes de erros acima citadas. Portanto, ao realizar medidas, é 
necessário avaliar quantitativamente os erros cometidos. 
Diante disso, nota-se que os experimentos revelam que a prática difere 
da teoria, transpassam que os resultados experimentais nem sempre são idênticos 
aos teóricos, apenas indicam que os resultados experimentais, juntamente com a 
margem de erro, são aceitos para com a teoria. 
 
 
 
 
14 
 
7. REFERÊNCIAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Mecânica. 8 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
 
NUSSEINZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica 1: Mecânica. 4 ed. São 
Paulo: Edgard Blücher, 2002. 
 
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática. Coleção novo olhar; v.3. 
1.ed. São Paulo: FTD 2010.