Lista_de_exercicios_2 (3)

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Lista de Exercícios 2
1- Para as matrizes abaixo, determine bases para os 4 subespaços e a dimensão de cada subespaço e o posto da
matriz.
a)A=
 1 −1 10 1 2
1 2 4
 b)B =
 1 3 2−1 0 1
3 1 −2
 c)C =

1 2 0 1
−1 −2 1 0
3 −6 −2 1
2 4 1 3
 d)D =
 1 3 2 1 0−1 5 3 1 1
1 1 −2 1 0

e)E =

1 −2
−2 4
−3 6
2 −4
 f)F =

−1 2 3
1 2 3
−3 2 1
2 3 1

2- Para os subespaços abaixo, determine a dimensão de cada subespaço. (Lembrem que a dimensão depende do
número de linhas/colunas LI)
a) W =
� �
2
1
�
;
� −2
−1
�
;
�
0
0
� �
e V =
��
0
−1
��
b )W =


1
2
3
4
 ;

2
1
4
3
 ;

4
3
2
1

, U =


−1
2
3
1
 ;

4
2
8
3

 e V =


0
0
0
2
 ;

0
5
0
0
 ;

0
0
1
0


c) W =

 −11
1
 ;
 1−1
1
 e V =

 11
−1
 ;
 21
2

d) W =


1
2
3
4
5
 ;

1
2
3
5
4
 ;

1
3
2
4
5

 e V =


1
1
4
5
4
 ;

3
7
8
12
15
 ;

1
0
0
1
−1


3- Para os subespaços do exercício anterior, determine as somas de subespaços e as dimensões dos subespaços
resultantes:
4- Determine matrizes quadradas a partir dos subespaços de R4 abaixo:
a) R =


1
0
0
0
 ;

0
1
0
0
 ;

0
0
1
0
 ;

0
0
0
1

 b) R =


1
2
1
0
 ;

0
1
1
1
 ;

1
0
0
1

 e N =


1
1
0
1


c)R =


−1
1
0
1
 ;

0
1
1
0

 eN =


1
1
0
1
 ;

0
0
1
0

 d)R =


1
2
1
−1

 eN =


1
1
0
0
 ;

1
0
1
0
 ;

1
0
0
1


5- Sejam os vetores pertencentes a R3 abaixo que formam bases para Si. Encontre as coordenadas do vetor
v = [1 3 − 2]T em relação as bases abaixo:
a) S1 =

 12
1
 ;
 −10
1
 ;
 01
−1
 b) S2 =

 11
1
 ;
 −10
0
 ;
 01
0
 c) S3 =

 10
1
 ;
 01
1
 ;
 11
0

6- Dados as bases dos subespaços do exercício anterior (questão 5), encontre as matrizes de transição:
a) de S1 para S2 a) de S1 para S3 a) de S2 para S3
7- Dado a base original e a matriz de mudança de base abaixo, encontre a nova base e a matriz que reverte a
nova base de volta a base original:
a) S1 =

 10
0
 ;
 11
1
 ;
 01
−1
 e P1 =
 1 2 12 1 3
1 3 1
 b) S2 = �� 1−1
�
;
� −1
0
��
e P2 =
�
1 −4
−1 5
�
1
8- Encontre as inversas das matrizes (usando B = (ATA)−1AT ou C = AT (AAT )−1):
a) A =
 12
1
 b) B =
 2 12 3
1 1
 c) C =
 1 −1 1 12 2 1 1
1 1 −1 1

9- Para as matrizes abaixo, encontre o determinante usando a Fórmula de Leibniz.
a) A =
 1 1 11 1 2
1 1 −1
 b) B =

1 1 1 0
0 1 2 1
−1 0 1 0
0 1 −1 2
 c) C = � 3 1−1 2
�
d) D =
 1 2 33 −1 −2
−4 −1 −1

10- Para as matrizes do exercício 9, encontre o determinante usando a Fórmula de Laplace.
11- Para as matrizes do exercício 9, encontre o determinante com qualquer método, escalonando antes as
matrizes.
12- Usando a Regra de Cramer, encontre a solução dos sistemas de equações lineares abaixo.
a)
�
x1 − 2x2 = 1
−x1 + x2 = 1 b)
 x1 − x2 = 1x1 + x3 = 2−x2 + x3 = 0 c)

x1 − x2 + x4 = 1
x2 − x3 + x4 = 0
x3 + x4 = −1
x4 = 1
13- Encontre o determinante das matrizes abaixo, usando determinantes por blocos.
a) A =

2 1 2 4 2
3 1 1 1 5
4 1 4 3 2
0 0 0 −1 −1
0 0 0 1 −1
 b) B =

1 2 1 1 1 1
4 3 1 1 1 1
0 0 5 1 2 0
0 0 0 5 4 3
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 1 1

14- Encontre a inversa das seguintes matrizes usando a matriz adjunta:
a) A =
 1 2 0−1 3 1
1 −1 1
 b) B =

2 1 0 0
3 1 0 0
0 0 −1 2
0 0 1 1

15- Encontre os autovalores e autovetores para as seguintes matrizes:
a) A =
�
2 1
1 1
�
b) B =
 1 2 1−1 1 1
2 1 0
 c) C =

9 −1 5 7
8 3 2 −4
0 0 3 6
0 0 −1 8
 d) D = � 1 21 1
�
16- Use o Power Method para encontrar o maior autovalor (em módulo) de cada matriz abaixo, considerando o
erro quadrático de 10−3 satisfatório.
a) A =
�
3 2
1 4
�
b) B =
 3 2 11 4 2
1 2 3

17- Encontre os autovalores e autovetores da matriz abaixo usando o Power Method, considerando o erro
quadrático de 10−2 satisfatório.
A =
�
2 1
1 1
�
18- Encontre a diagonalização das seguintes matrizes:
a) A =
�
3 −1
−1 2
�
b) B =
 1 2 32 −1 2
3 2 1

2