3ª Lista de Exercicios - Álgebra Linear 2019 2

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande
Unidade Acadêmica de Matemática
Centro de Ciências e Tecnologia
Disciplina: Álgebra Linear I
Semestre: 2019.2
Lista de Exerćıcios - Transformações Lineares (2o estágio)
Q1. Verifique se as funções dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique
sua afirmação.
a. T : R4 → R3 dada por T (x, y, z, t) = (x + y, 0, z + t);
b. T : R2 → R dada por T (x, y) = xy;
c. T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (2x2 + xy, x);
d. T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (2x + y, x + 2y, x + 2y + z);
e. T : R4 → R2 dada por T (x, y, z, t) = (2x + y − z + t, x + y − 3z);
f. T : M(2, 2)→ R2 dada por T
(
a b
c d
)
= (a + b, 0);
g. T : P2(R)→ P2(R) dada por T (ax2 + bx + c) = (a + c)x2 − cx + b;
h. T : M(2, 2)→ R dada por T
(
a b
c d
)
= det
(
a b
c d
)
.
Q2. Encontre a transformação linear T : R2 → R3, sabendo que
T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) = (1, 1, 0).
Além disso, encontre v ∈ R2 tal que T (v) = (−2, 1,−3).
Q3. Encontre a transformação linear T : R3 → R2, sabendo que
T (1,−1, 0) = (1, 1), T (0, 1, 1) = (2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3).
Q4. Encontre a transformação linear T : R3 → P2(R), sabendo que
T (0, 1, 2) = x2 − x + 6, T (1, 1, 0) = −x + 2 e T (0, 0, 1) = x.
Q5. Encontre a transformação linear T : R2 → R3, sabendo que
T (−1, 1) = (1, 2, 0) e (0, 2) ∈ kerT.
Q6. Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do
núcleo e da imagem.
a. T : R2 → R2, T (x, y) = (2x− y, 0);
b. T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z);
1
c. T : R2 → R2, T (x, y) = (x + y, x + y);
d. T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x + y, y + z);
e. T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x + z, x− z, y);
f. T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x + 2z, z);
g. T : P2(R)→ P2(R) dada por T (p(x)) = p′′(x)x2;
h. T : M(2, 2)→M(2, 2) dada por T (X) = MX + X, onde M =
(
1 1
0 0
)
.
Q7. . Seja T : M(2, 2)→M(2, 2), definida por T (A) = BA, onde
B =
[
1 −1
−2 2
]
.
Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T .
Q8. Seja T : R4 → R3 a transformação linear definida por
T (x, y, z, t) = (x− y + z + t, x + 2z − t, x + y + 3z − 3t).
Determine bases para Im T e kerT .
2