Unidade3

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Conteudista
Prof.ª M.ª Rosângela Maura Correia Bonici
Revisão Textual
Aline de Fátima Camargo da Silva
Juros Compostos 
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Sumário
Objetivos da Unidade ............................................................................................................3
Introdução .............................................................................................................................. 4
Contextualização .................................................................................................................. 4
Juro Compostos .................................................................................................................... 6
Considerações sobre a Taxa de Juros ......................................................................................... 7
Cálculo do Juro Composto ...........................................................................................................10
Atividades de Fixação .........................................................................................................18
Material Complementar......................................................................................................19
Referências ...........................................................................................................................20
Gabarito .................................................................................................................................21
3
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comendamos que acesse o conteúdo on-line para melhor aproveitamento.
• Conhecer o conceito de juros compostos;
• Compreender o cálculo de juros compostos;
• Aprender a resolver exercícios algébricos usando a calculadora HP-12C.
Objetivos da Unidade
4
VOCÊ SABE RESPONDER?
Atualmente, muito se fala em investimentos, e muitos deles têm base em juros. 
Você tem ideia de como isso funciona?
Introdução
Nesta Unidade estudaremos o sistema de capitalização de juro composto. 
Aprenderemos o conceito e como efetuar seu cálculo, usando o método convencio-
nal (algébrico) e a calculadora HP-12C. No material complementar, você encontrará 
a indicação de um site com um emulador de HP-12C, que é uma calculadora virtual, 
e de outro com o guia o usuário HP-12C, caso precise.
Contextualização
Entendendo a matemática dos juros compostos.
Alberto comenta: “Navarro, decidi investigar melhor as alternativas de investimento 
disponíveis no mercado e percebi que muitos dos produtos oferecem rentabilidades 
semelhantes, com diferenças que nem sempre passam de 0,5%. Como não sei o 
impacto desse diferencial no futuro, peço a sua ajuda. Afinal de contas, vale a pena 
brigar por 0,5%? Pode demonstrar, sem complicar, o tal juro composto? Obrigado”.
Lembro-me de uma das primeiras aulas de Engenharia Econômica Avançada, quan-
do o ilustre Prof. José Arnaldo lançou a seguinte pergunta aos alunos da pós-gradua-
ção: Pessoal, 0,5% é muito? É pouco? Por quê?
A cada instante a palavra mudava de mãos. Cada estudante tinha tempo para 
comentar sua resposta, sem pressão ou impressão de certo ou errado. Os que 
respondiam: Depende!, ouviam imediatamente a réplica incisiva do docente: 
Depende de quê?
“É muito!”, respondi com convicção. Lembrei-me de quatro anos seguidos de inves-
timentos conservadores, realizados durante meus primeiros anos de trabalho, e do 
aprendizado adquirido depois de confrontá-los com as opções feitas por alguns de 
meus familiares. Fiquei para trás, escolhi mal os produtos bancários disponíveis e 
senti na pele o tamanho real do meio ponto percentual comentado em sala de aula.
5
É muito, Conrado? Por quê?, retrucou imediatamente o mestre. O efeito dos juros 
compostos transforma esse 0,5% em uma enorme diferença no futuro, para o bem 
ou para mal. Investi mal durante alguns anos e percebi a falta desse meio ponto 
percentual, respondi. O saudável bate-papo entre discentes e professor prosseguiu, 
e o tema foi, finalmente, explorado em sua forma técnica.
0,5% é muito! Vamos entender?
Os juros sobre juros representam a mágica da multiplicação do dinheiro. Einstein 
(1979-1955), do alto de sua enorme sabedoria, afirmou que esta é a força mais pode-
rosa do universo. Vejamos, de forma simplificada, o que os juros compostos fazem, 
se soubermos usar seu poder:
1. Depositamos um valor em uma aplicação;
2. Após um mês, teremos o dinheiro aplicado mais o valor dos juros;
3. No mês seguinte, os juros incidirão sobre o montante acumulado e, as-
sim, sucessivamente.
Simples, não é? É como se tivéssemos tirado o dinheiro (já com os juros) todo mês 
e o reaplicássemos. Contudo, como notar, matematicamente falando, o efeito do 
0,5% tão falado neste texto? A matemática dos juros compostos é simples, veja:
FV = PV. (1 + i)n
Em que:
FV = Valor que teremos no futuro (aquilo que queremos descobrir).
PV = Valor que podemos investir no presente.
i = Rentabilidade da aplicação ou investimento.
n = Quantidade de períodos (tempo) em que manteremos o dinheiro investido.
Um exemplo numérico bem real?
Suponha que você dispõe de R$ 10 mil para investir e são duas as alternativas pre-
sentes no momento. O Produto A oferece rentabilidade líquida mensal de 0,5%, en-
quanto o Produto B oferece rentabilidade líquida de 1%.
6
Perceba que referencio a rentabilidade como líquida, porque devemos, sempre, des-
contar a inflação do valor mensal apresentado pelos bancos e instituições finan-
ceiras. Decidimos que esse dinheiro ficará aplicado por 30 anos, já que planejamos 
usá-lo apenas para a aposentadoria. A equação já pode ser resolvida:
FV = Vamos descobrir.
PV = 10.000
i = 0,005 (A) e 0,01 (B)
n = 360 meses (30 anos)
Com o produto A, teremos ao final dos 30 anos, R$ 60.225,75. O produto B, “apenas” 
0,5% mais rentável, trará um saldo final de R$ 359.496,41, cerca de seis vezes maior 
que o do produto A. Vale notar que essa formulação é válida para uma única aplica-
ção investida por n períodos. Quando consideramos aplicações periódicas, como a 
aplicação de um montante todos meses, a conta é diferente (NAVARRO, 2008).
E aí? 0,5% é pouco?
Juro Compostos
O regime de capitalização composto é o mais utilizado. Nele, o juro a partir do se-
gundo período, é calculado sobre o montante do período anterior. É o popularmente 
conhecido “juro sobre juro”.
Vejamos um exemplo: um capital de R$ 100, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte 
evolução no regime de juro composto.
Tabela 1 – Juro composto
Mês Juros (2%) Montante
0 - 100,00
1 100 x 0,02 = 2,00 102,00
2 102 x 0,02 = 2,04 104,04
3 104,04 x 0,02 = 2,08 106,12
7
Observe as diferenças que existem entre o juro simples e o composto. Veja a Tabela 
comparativa.
Tabela 2 – Juro composto e juro simples
Juro Composto Juro Simples
Mês Juros (2%) Montante Juros (2%) Montante
0 - 100,00 - 100,00
1 100 x 0,02 = 2,00 102,00 100 x 0,02 = 2,00 102,00
2 102 x 0,02 = 2,04 104,04 100 x 0,02 = 2,00 104,00
3 104,04 x 0,02 = 2,08 106,12 100 x 0,02 = 2,00 106,00
O montante, no regime de juro composto, é maior do que o montante no regime de 
juros simples.
Considerações sobre a Taxa de Juros
Taxas equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo 
mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.
Figura 1 – Taxa de juro
Fonte: Freepik 
No caso do juro simples, a equivalência é simples, como já vimos anteriormente. 
Por exemplo: 1% ao mês = 2% ao bimestre = 6% ao semestre = 12 % ao ano. Se 
8
aplicarmos qualquer uma delas a um mesmo capital, durante o mesmo período de 
tempo, irá produzir o mesmo montante que as demais. Vejamos um exemplo:
Exemplo 1: Vamos aplicar mil reais, durante 6 meses, no regime de juros simples, 
usando as taxas anteriores e observar o queacontece com o montante:
Tabela 3 – Regime de juro simples
Regime de
Juro Simples FV = PV. (1 + i . n) Observações
PV = 1000
n = 6 meses
i = 1% ao mês
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,01.6) = 1060,00
Vejam que, neste 
caso, as taxas 
são equivalentes, 
pois produziram o 
mesmo montante.
PV = 1000
n = 6 meses (6/2 
= 3 bimestres)
i = 2% ao bimestre
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,02.3) = 1060,00
PV = 1000
n = 6 meses (6/6 
= 1 semestre)
i = 6% ao 
semestre
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,06.1) = 1060,00
PV = 1000
n = 6 meses (6/12 
= 0,5 ano)
i = 12% ao ano
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,12.0,5) = 1060,00
Quando se trata de juros compostos, a equivalência não é tão simples assim.
Vejamos um exemplo e observe o que ocorrerá com o montante.
Exemplo 2: Vamos aplicar mil reais durante 6 meses, no regime de juros composto, 
usando as taxas anteriores e observar o que acontece com o montante:
9
Tabela 4 – Regime de juro composto
Regime de
Juro Simples FV = PV. (1 + i)n Observações
PV = 1000
n = 6 meses
i = 1% ao mês
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,01)6 = 1.061,52
Observem que, 
neste caso, as 
taxas não são 
equivalentes, pois 
não produziram o 
mesmo montante. 
PV = 1000
n = 6 meses (6/2 
= 3 bimestres)
i = 2% ao bimestre
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,02)3 = 1.061,21
PV = 1000
n = 6 meses (6/6 
= 1 semestre)
i = 6% ao 
semestre
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,06)1 = 1.060,00
PV = 1000
n = 6 meses (6/12 
= 0,5 ano)
i = 12% ao ano
FV = ?
FV = 1000 . (1 + 0,12)0,5 = 1.058,30
10
Cálculo do Juro Composto
Para calcular o juros composto, usaremos algumas fórmulas que serão especificadas 
a seguir. Importante: ao usá-las, o período e a taxa de aplicação devem estar na 
mesma unidade de tempo.
Quando precisar fazer ajustes, porque período e taxa não combinam, faça 
SEMPRE no período e NUNCA na taxa.
Figura 2 – Cálculo taxa de juro
Fonte: Freepik
Vamos Relembrar os Arredondamentos
O que deve ser levado em consideração no arredondamento é parte do número que 
se quer desprezar. Todo número possui uma parte inteira e uma decimal.
Regra 1: Se for desprezar: 0, 1, 2, 3 ou 4, mantenha o número imediatamente anterior.
11
Regra 2: Se for desprezar: 5, 6, 7, 8 ou 9, acrescente um ao número imediatamente anterior.
Vejamos alguns exemplos:
Tabela 5 – Arredondamentos
Número O que quero? Arredondado
10,3 Somente inteiro Regra 1: 10
154,75 Uma casa decimal Regra 2: 154,8
24,751 Uma casa decimal Regra 1: 24,8
24,755 Duas casas decimais Regra 2: 24,76
1.238,26 Uma casa decimal Regra 2: 1.238,3
1.500,3456 Somente inteiro Regra 1: 1.500
Para os cálculos, usamos arredondamentos e 6 casas decimais.
Fórmula para cálculo do valor futuro (fv) ou montante e do valor presente ou capital
Para calcular o valor futuro (FV), devemos conhecer o valor presente (PV), o período 
(n) e a taxa de juro (i).
Tabela 6 – Fórmula
FV = PV. (1 + i ) n
FV Valor Futuro ou Montante
PV Valor atual ou capital
i Taxa de juros
n Período da aplicação
Para usar esta fórmula, a taxa ( i ) e o período ( n ) devem estar na mesma 
unidade de tempo.
A taxa deve ser usada na forma unitária.
12
Vejamos alguns exemplos de aplicação:
Exemplo 1: Calcule o montante de um capital de R$ 5 mil, aplicado à taxa de 4% ao 
mês, durante 5 meses, sob o regime de juro composto.
Tabela 7 – Cálculo do montante
Dados Solução Algébrica
FV = ? FV = PV. (1 + i ) n
PV = 5000 FV = 5000. (1+ 0,04) 5
i = 4% a. m. (dividir por 100) FV = 5000 . (1,216653...)
n = 5 meses FV = 6083,26
Usando a calculadora HP 12-C, é possível calcular qualquer uma das variáveis da 
fórmula FV = PV. (1 + i ) n. Para isso, devemos conhecer três delas a fim de que seja 
calculada a quarta variável.
Tabela 8
Teclas da HP 12-C
Do inglês Present Value, representa o 
capital.
Do inglês Future Value, representa o 
montante.
Do inglês interest, representa a taxa.
Representa o tempo de aplicação.
PV
FV
i
n
13
Solução HP 12-C
 
[REG] (limpa todas os registros armazenados na memória)
5000 
4 
5 
 
R$ 6.083,26
No próximo exemplo, veremos como proceder para calcular o valor presente ou ca-
pital. Devemos conhecer o valor futuro (FV), período (n) e a taxa de juro (i).
Exemplo 2: No final de dois anos, uma pessoa deverá efetuar o pagamento de R$ 
2 mil, referente ao valor de um empréstimo feito hoje. A taxa utilizada foi de 4% ao 
mês, sob o regime de juro composto. Qual foi o valor que a pessoa emprestou?
Tabela 9 – Cálculo do capital
Dados Solução Algébrica
FV = 2000 FV = PV. (1 + i ) n
PV = ? 2000 = PV. (1+ 0,04) 24
i = 4% a. m. (dividir por 100) 2000 = PV . (2,563304...)
n = 2 anos (ajustar para mês) 2000 / 2,563304... = PV
2 . 12 meses = 24 meses PV = 780,24
PVCHS
FV
i
n
f
14
Solução HP 12-C
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória)
2000 
4 
24 
 
R$ 780,24
Fórmula para Cálculo do Período de Aplicação
Para calcular o período de aplicação, devemos usar o logaritmo (LN). A calculadora 
HP-12C possui, em azul, a função (LN), que significa logaritmo neperiano. Para usá-
-la, precisamos conhecer o valor futuro (FV), o valor presente (PV) e a taxa de juro (i).
Tabela 10 – Fórmula
FV Valor Futuro ou Montante
PV Valor atual ou capital
i Taxa de juros
n Período da aplicação
LN Logaritmo neperiano (em azul na HP 12-C)
Para usar essa fórmula, a taxa (i) e o período (n) devem estar na mesma 
unidade de tempo.
A taxa deve ser usada na forma unitária.
PV
CHS FV
i
n
f
(1 )
FVLN
PVn
LN i
� �
� �
� ��
�
15
Exemplo 3: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 poderá ser liquidado 
em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa de juro composto 
contratada é de 3% ao mês?
Tabela 11 – Cálculo do período
Dados Solução Algébrica
FV = 41524,33
PV = 24278,43
i = 3% a. m. (dividir por 100)
n = ?
n = 18 meses e 0,156731 dias
Para saber quantos dias (0,156731 x 
30) = 5 dias
Solução HP 12-C
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória)
41524,33 
24278,43 
3 
 
19 meses
Sempre que usarmos a HP 12-C, o prazo será arredondado para maior.
PV
CHS FV
i
n
f
(1 )
41524,33
24278,43
(1 0,03)
 1,710338...
 1,03
0,536691...
0,029558...
18,156731
FVLN
PVn
LN i
LN
n
LN
LNn
LN
n
n
� �
� �
� ��
�
� �
� �
� ��
�
�
�
�
16
Fórmula para Cálculo da Taxa (i)
Para calcular a taxa de juro, é necessário conhecer o valor futuro (FV), o valor presen-
te (PV) e o período (QQ/QT), que SEMPRE deverá ser informado em dias.
Tabela 12 – Fórmula
FV Valor Futuro ou Montante
PV Valor atual ou capital
i Taxa de juros
QQ Quanto eu Quero (prazo a ser calculado)
QT Quanto eu Tenho (prazo que foi informado)
O período (
QQ
QT
� �
� �
� �
) deve ser informado em dias.
Vamos observar um exemplo de aplicação.
Exemplo 4: A Loja do Bom Preço financia a venda de uma máquina no valor de R$ 
10.210,72, para o pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 
276 dias. Qual é a taxa mensal cobrada pela loja?
Tabela 13 – Cálculo da taxa
Dados Solução algébrica
FV = 14520,68
PV = 10210,72
imensal = ?
n = 276 dias
Observe que, quando colocamos 30 no 
QQ, já havíamos previsto a taxa mensal.
1 100
QQ
QTFVi
PV
� �
� �� �� � �� �� �� �
� �
� �
� �
� �
30
276
0,1086956...
1 100
14520,68 1 100
10210,72
1,422101... 1 100
1,039017... 1 100
0,039017 100
3,90 
QQ
QTFVi
PV
i
i
i
i
i ao mês
� �
� �� �� � �� �� �� �
� 
� �
� �� �� � �� �� �� �
� 
� �� � �� 
� � �
� �
�
17
Solução HP 12-C
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória)
10210,72 
14520,68 
276 
30 
3,90% ao mês
f
CHS
n i
PV
FV
ENTER
:
18
1 – Qual será o montante, se considerarmos uma aplicação de R$ 10 mil a uma taxa 
de juros compostos de 5% aa, pelo prazo de 5 anos? 
a) R$ 12.000,00
b) R$ 1.050,00
c) R$3.125,00
d) R$ 12.762,00
e) R$ 500,00
2 – Qual será a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação de R$ 3 mil que 
produz um montante de R$ 3.168,67 ao final de 6 meses?
a) 6%
b) 61%
c) 0,61%
d) 0,06%
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Atividades de Fixação
Atenção, estudante! Veja o gabarito desta atividade de fixação no fim 
deste conteúdo.
19
Matemática Financeira – Só Matemática
https://bit.ly/47jpHC6
Leituras
Material Complementar
Cálculo Exato
https://bit.ly/40N69DR
Faz a Conta – Juros Simples e Juros Compostos
https://bit.ly/3SZQrDc
Web HP 12C Emulator 
Site que traz a calculadora HP-12C virtual.
https://bit.ly/47jq4fY
Sites
20
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: métodos algébricos. HP- 12C, 
Microsoft Excel. 2 ed. Ver. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. 13 ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 
2009.
NAVARRO, C. Entendendo a matemática dos juros compostos. Dinheirama. 
Disponível em: . Acesso em: 07/06/2011.
VERAS. L. L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações 
no mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. 5 ed. São Paulo: Atlas, 
2005.
Referências
21
Questão 1
d) ) R$ 12.762,00
Justificativa: O montante da aplicação será R$12.762,00.
Passo 1: coletar os dados do enunciado.
Passo 2: Aplique os dados coletados no passo 1 na fórmula FV=PV×(1+i)n
Passo 1:
PV=R$10.000,00
n=5 anos
i = 5%a.a = = 0,05 a.a 5
100
FV=?
Passo 2 :
FV=PV×1+in
FV=10000 x (1+0,05)5
FV=10000 x (1,05)5
FV=10000 × 1,2762=12.762
Portanto, o montante da aplicação é R$12.762,00.
Gabarito
22
Gabarito
Questão 2
c) 0,61%
Justificativa: A taxa da aplicação é 0,61% am. Vejamos a resolução do problema.
Passo 1: coletar os dados do enunciado.
Passo 2: Aplique os dados coletados no passo 1 na fórmula FV=PV×1+in, ou seja 
𝑖 = 
𝐹𝑉
𝑃𝑉
1
𝑛
− 1
Passo 1:
PV=R$3000,00
n=4 meses
i= ?
FV=3.168
Passo 2 :
𝑖 = 
𝐹𝑉
𝑃𝑉
1
𝑛
− 1
𝑖 = 
3168
3000
1
4
− 1
i= (1,056)^0,25-1=1,0061-1=0,0061
Ou seja i= 0,0061 ×100=0,61%