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SEÇÕES CÔNICAS
CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Disciplina: CCE0005 / Turma: 3042
Profª: Ana Lúcia
SEÇÕES CÔNICAS
Grupo:
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PARÁBOLA
As parábolas são curvas que aparecem em diversas situações, tais como a trajetória de uma pedra lançada obliquamente, no formato de um farol de automóvel e de um forno solar e também em uma ponte pênsil. O grego Apolônio descobriu que a parábola é um caso especial de curvas obtidas seccionando um cone por um plano, sendo por isso, chamadas de seções cônicas, os quais incluem as hipérboles e as elipses. Uma parábola é um conjunto de pontos de um plano (lugar geométrico) que são equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d. 
O ponto fixo  chama-se foco, reta fixa  chama-se diretriz e  é a distância focal. Para determinar uma equação simples desta curva, colocamos um sistema de coordenadas cartesianas de modo que o eixo  é paralelo a diretriz, o foco passe pelo eixo  .
Desta forma,  e . A reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é chamdo de eixo da parábola, na figura acima, o eixo da parábola é o eixo . Além disso, o ponto da parábola que intercepta o seu eixo é chamado é o vértice . Note que neste caso,  passa pela origem do sistema de coordenadas. Sendo  um ponto arbitrário da parábola, utilizando-se a fórmula da distância, temos
Esta é a equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem tendo para o eixo dos .
Analisando a expressão , conclui-se que,  e  tem o mesmo sinal. Assim, se  a parábola tem concavidade voltada para cima e se  a parábola tem concavidade voltada para baixo. Podemos representar esses fatos com a imagem que vem á seguir.
De forma análoga, se a diretriz é paralela ao eixo ,  e , a equação reduzida é dada por  e conforme o sinal de , temos a concavidade voltada para esquerda () ou voltada para direita no caso em que .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercício 1 :
 Determine a equação do arco parabólico com base e altura  como mostrado na figura abaixo.
Resolução: Sendo V(b/2,h) da expressão (3) segue que 
Como o arco passa pela origem do sistema de coordenadas, então
 Logo, 
Exercício 2:
 Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Resolução:
Temos p/2 = 2∴ p = 4 Daí, por substituição direta, vem: y² = 2.4.x ∴ y² = 8x ou y²- 8x = 0.
Exercício 3:
Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).
Resolução: x²- 4x - 4y + 8 = 0
Exercício 4:
 Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no pontoV(0,1)?
Resolução
Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 ∴ p = 6. Logo,(x - 0)² = 2.6(y - 1) ∴ x² = 12y – 12 ∴ 
x²- 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
ELIPSE
Elipse é um tipo de secção cônica, se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas do cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse.
A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.
Definição: Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c). 
Elementos da Elipse:
F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor
c/a → excentricidade
Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2 .
Equação da Elipse.
1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x.
Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:
2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.
Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será:
Exemplo 1. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.
Solução: temos que
2a = 12 → a =6
2b = 8 → b = 4
Assim, 
Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.
Solução: temos que
Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 → b = 4
Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos:
a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5
Assim, a equação reduzida da elipse será:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercício 1 :
Determine a excentricidade da elipse de equação 16x² + 25y² - 400=
Solução: temos que 16x² + 25y² = 400. Observe que a equação da elipse não está em sua forma reduzida. Vamos dividir ambos os membros por 400. 
(16x² + 25y² = 400)/ (400)
x²/25 + y²/16 = 1
Portanto a² = 25 e b² = 16, logo: a = 5 e b = 4
Sendo a² = b² + c²
25 = 16 + c²
c² = 9 = c =3
Então: e = c/a = 3/5 = 0,6
Exercício 2 :
Determine a distância focal da elipse 9x² + 25y²-225 = 0
 (9x² + 25y² = 225)/ (225) x²/25 + y²/9 = 1
Deduzimos assim: a² = 25 e b² = 9, logo: a = 5, b = 3
Sendo a² = b² + c²
25 - 9 = c² = c = 4
Então, F1(-4,0) e F2(4,0)
Portanto: d = 2c
d = 2.4 = 8u.c
Exercício 3 :
Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.
Resolvendo a equação:
x² - 25 = 0 x² = 25 x = ± 5
Sabendo que a distância entre as raízes da equação é o eixo maior da elipse, podemos concluir que esse eixo esta localizado no eixo x e que seu valor é 10. 
Assim: d = 2a = 10 = a = 5
Admitindo que e = 3/5, podemos dizer que c = 3
Com os valores de c e a, conseguimos encontrar b. Já que:
a² = b² + c², 25 = b² + 9 = b = 4
Então, a equação da elipse é = x²/25 + y²/16 = 1
HIPÉRBOLE
No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c). 
A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados. 
Hipérbole com focos sobre o eixo x.
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Hipérbole com focos sobre o eixo y
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole
2c → é a distância focal. 
c2 = a2 + b2  → relação fundamental. 
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 
2a → é a medida do eixo real. 
2b → é a medida do eixo imaginário. 
c/a → é a excentricidade
Exemplo1
Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. 
Solução: 
De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. 
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 
2a = 16 → a = 8 
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: 
c2 = a2 + b2  
102 = 82 + b2 
b2 = 100 – 64 
b2 = 36 
b = 6 
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:
Exemplo 2 
Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação: 
Solução:
Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c). 
Da equação da hipérbole obtemos que: 
a2 = 16 → a = 4 
b2 = 9 → b = 3 
Utilizando a relação fundamental, teremos: 
c2 = a2 + b2 
c2 = 16 + 9 
c2 = 25 
c = 5 
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercício 1
Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16 y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16 y2 = 400.
Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como: c2 = a2 + b2, vem substituindo e efetuando que c = 
Portanto a excentricidade e será igual a: e = c/a = = 1,6
Resposta: 1,60.
Exercício 2 :
Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .
SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:
Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = .
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2.
Exercício 3 :
Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito. 
Dada a hipérbole de equação: 
Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações: 
R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x 
Veja a figura ao lado:
CIRCUNFERÊNCIA
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
 Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
Equação geral
 Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercício 1
(PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b.
Resposta
A equação da circunferência que possui centro C(0, 3) e raio r = 5 é dada por:
(x – 0)² + (y – 3)² = 5² → x² + (y – 3)² = 25.
Sabendo que o ponto (3, b) pertence à circunferência, temos que:
3² + (b – 3)² = 25 → 9 + (b – 3)² = 25 → (b – 3)² = 25 – 9 → (b – 3)² = 16
b – 3 = 4 → b = 4 + 3 → b = 7
b – 3 = – 4 → b = – 4 + 3 → b = – 1
O valor da coordenada b pode ser –1 ou 7.
Exercício 1
(FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).
Resposta 
Sabendo que o ponto A(1 ,1) pertence à circunferência e que o centro possui coordenadas C(2, 1), temos que a distância entre A e C é o raio da circunferência. Dessa forma temos que d(A, C) = r.
Se o raio da circunferência é igual a 1 e o centro é dado por (2, 1), temos que a equação da circunferência é dada por: (x – 2)² + (y – 1)² = 1.
Exercício 3
(ITA-SP) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta   com a circunferência x² + y² = 400?
Resposta 
Vamos obter os pontos de intersecção da reta e da circunferência através da resolução do seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema por substituição:
2x + y = 20
y = 20 – 2x
Substituindo y na 2ª equação:
x² + y² = 400
x² + (20 – 2x)² = 400
x² + 400 – 80x + 4x² = 400
5x² – 80x + 400 – 400 = 0
5x² – 80x = 0
5x * (x – 16) = 0
 
5x = 0
x’ = 0
x – 16 = 0
x’’ = 16
Substituindo x = 0 e x = 16, na equação y = 20 – 2x:
x = 0
y = 20 – 2 * 0
y = 20 
S = {0, 20}
x = 16
y = 20 – 2 * 16
y = 20 – 32
y = – 12
S = {16, –12}
Os pontos de intersecção são: {0, 20} e {16, –12}. Vamos agora estabelecer a distância entre eles:
A distância entre os pontos de intersecção da reta e da circunferência é igual a 16√5.
http://jr-construtora.eng.br/ga_alfa_resolvidos3.php
http://www.brasilescola.com/matematica/elipse.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Elipse
http://pt.wikipedia.org/wiki/Hiperbole
http://exercicios.brasilescola.com
http://www.somatematica.com.br
BIBLIOGRAFIA