SEMELHANCA DE POLIGONOS E PITAGORAS

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SEMELHANÇAS TRIÂNGULOS E TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
1. POLÍGONOS SEMELHANTES: 
1.1. RAZÃO DE SEMELHANÇA DOS LADOS. 
Dois polígonos serão semelhantes (~) se: 
→ os ângulos correspondentes forem congruentes (≅); 
→ os lados correspondentes forem proporcionais (=). 
Ex. 01) 
 
 
 
 
 
�̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂� 
AB
MN
=
6
2,4
= 2,5 BC
NP
=
3
1,2
= 2,5 
CD
PQ
=
5
2
= 2,5 DA
QM
=
4
1,6
= 2,5 
Portanto, 𝐀𝐁
𝐌𝐍
=
𝐁𝐂
𝐍𝐏
=
𝐂𝐃
𝐏𝐐
=
𝐃𝐀
𝐐𝐌
= 𝟐, 𝟓 
Logo, quadrilátero ABCD ~ quadrilátero MNPQ 
OBS. Cumprir apenas uma das condições não prova que 
dois polígonos são semelhantes: 
Ex. 02) 
 
 
 
 
�̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂�, �̂� ≅ �̂� 
AB
MN
=
8
6
=
4
3
 BC
NP
=
6
3
= 2 
CD
PQ
=
8
6
=
4
3
 DA
QM
=
6
3
= 2 
Portanto, 𝐀𝐁
𝐌𝐍
=
𝐂𝐃
𝐏𝐐
=
𝟒
𝟑
≠
𝐁𝐂
𝐍𝐏
=
𝐃𝐀
𝐐𝐌
= 𝟐 
Logo, o quadrilátero ABCD não é semelhante ao 
quadrilátero MNPQ. 
Ex. 03) 
 
 
 
 
 
𝐀𝐁
𝐌𝐍
=
𝐁𝐂
𝐍𝐏
=
𝐂𝐃
𝐏𝐐
=
𝐃𝐀
𝐐𝐌
= 𝟐 
Embora os lados correspondentes dos quadriláteros sejam 
proporcionais, os ângulos internos correspondentes não são 
congruentes. 
Logo, o quadrilátero ABCD não é semelhante 
ao quadrilátero MNPQ. 
 
1.2. RAZÃO DE SEMELHANÇA DOS PERÍMETROS. 
Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros 
desses polígonos possuem a mesma razão de dois lados 
correspondentes quaisquer. 
No exemplo 01 temos: 
Perímetro (P) de ABCD: 6 + 3 + 4 + 5 = 18 cm 
Perímetro (P’) de MNPQ: 2,4 + 1,2 + 2 + 1,6 = 7,2 cm 
𝐏
𝐏′
=
𝟏𝟖
𝟕, 𝟐
= 𝟐, 𝟓 
A razão de semelhança entre os perímetros é 2,5. 
 
1.3. RAZÃO DE SEMELHANÇA DAS ÁREAS. 
Quando dois polígonos são semelhantes, a razão entre 
suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança 
entre eles. 
Ex. 04) A figura abaixo mostra dois triângulos semelhantes. Se a 
área do menor é 8 cm2 , qual é a área do maior? 
 
 
 
 
Razão de semelhança entre os lados: Lado do ∆ maior
Lado do ∆ menor
=
3a
a
= 3 
Razão entre as áreas: Razão de semelhança dos lados2 = 32 = 9 
Área do ∆ maior
Área do ∆ menor
= 9 ∴
Área do ∆ maior
8 cm2
= 9 
Área do ∆ maior = 9 ∗ 8 ∴ Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐨 ∆ 𝐦𝐚𝐢𝐨𝐫 = 𝟕𝟐 𝐜𝐦𝟐 
 
PRATIQUE: 
1) Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir. 
a) Dois retângulos são sempre semelhantes. 
b) Dois quadrados são sempre semelhantes. 
c) Dois triângulos são sempre semelhantes. 
d) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. 
e) Dois polígonos regulares com a mesma quantidade de lados 
são sempre semelhantes. 
 
2) Considere os retângulos abaixo e verifique se são 
semelhantes. 
 
 
 
 
3) Verifique se o par de figuras de cada item a seguir é 
semelhante. Sendo semelhante, determine a razão de 
semelhança entre as figuras. 
 
 
 
SEMELHANÇAS TRIÂNGULOS E TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
4) Os hexágonos regulares representados ao lado são semelhantes. 
Qual é a razão de semelhança entre eles? 
 
 
 
 
5) Considere que os trapézios ABCD e MQPN, representados a seguir, 
são semelhantes e que as medidas estão indicadas em centímetro. 
Determine as medidas x, y e z. 
 
 
 
 
 
6) Determine as medidas e área de um trapézio de 108 cm de 
perímetro semelhante ao trapézio abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
7) Os lados de um triângulo têm medidas a = 10 cm, b =
8 cm e c = 5 cm. Determine as medidas dos lados de um triângulo 
semelhante ao triângulo ABC, com 69 cm de perímetro. 
 
 
 
8) A razão de semelhança entre dois triângulos é 6. Se a área do 
triângulo menor é 20 cm2 qual é a área do triângulo maior? 
 
 
 
9) Sabendo que a altura da vara é de 2 m, a sua sombra projetada 
é de 3 m e a distância entre B e C é de 210 m, qual é a altura 
aproximada da pirâmide de Queóps? 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Determine a altura do muro sabendo que a extremidade da 
escada está apoiada no topo do muro. 
 
 
 
 
 
11) Considere um triângulo ABC cujos lados medem: 
• AB = 12 cm 
• BC = 20 cm 
• AC = 16 cm 
Um triângulo DEF, semelhante ao triângulo ABC, tem seu menor 
lado medindo 8 cm. Determine as medidas dos outros dois 
lados desse triângulo. 
 
 
 
12) Determine o valor de x e y na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
13) Um ciclista partindo do pé de uma rampa (ponto C) sobe em 
direção ao ponto mais alto (ponto A). Ao percorrer 12 m, 
encontra-se no ponto B a uma altura de 2,4 m do solo. Sabendo 
que, no ponto mais alto essa rampa tem 4m de altura, 
determine o comprimento AC dessa rampa. 
 
 
 
 
 
14) Determine o valor de x na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
15) No ∆ da figura a seguir, DE // BC. Nessas condições, 
determine o valor de x e y. 
 
 
 
 
y 
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16) Num triângulo ABC, uma reta paralela ao lado BC 
determina o ponto D em AB e E em AC. Sabendo que AD = x, 
DB = x + 4, AE = 4, EC = 6, DE = 6 e BC = y. Determine o valor 
de x e y. 
 
 
 
 
 
17) Renata precisava medir a altura de uma árvore. Para isso 
colocou um pedaço de cano enterrado no chão, formando um 
ângulo de 90º com o solo. Depois mediu os comprimentos das 
sombras da árvore e do cano, obtendo as medidas indicadas na 
figura abaixo. Qual é a medida da altura dessa árvore? 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Sabendo que BE//CD, AD = 20 cm, AC = 12 cm, CD = 16 cm 
e AE = 5 cm, determine os valores de x e y, sendo AB = x e BE = 
y. 
 
 
 
 
 
19) Durante um incêndio num edifício de apartamentos, os 
bombeiros utilizaram uma escada de 10 m para atingir a janela 
do apartamento em fogo. A escada estava colocada a 1 m do 
chão e afastada 6 m do edifício. Qual é a altura do edifício em 
chamas em relação ao chão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) Às 10h 45min de uma manhã ensolarada, as sombras de um 
edifício e de um poste de 8 metros de altura foram medidas ao 
mesmo tempo. Foram encontrados 30 metros e 12 metros, 
respectivamente, conforma a ilustração. De acordo com as 
informações acima, qual a altura h do prédio em cm? 
 
 
 
 
 
21) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir 
são semelhantes, sendo o ângulo AD̂E congruente ao ângulo 
AĈB. Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, 
determine o comprimento do segmento DE. 
 
 
 
 
 
22) Aplicando o teorema fundamental da semelhança, 
determine o valor de x e y na figura abaixo. 
 
 
 
 
23) Sabendo que os segmentos AB e DE são paralelas, 
determine o valor da medida y na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
24) O triângulo abaixo foi dividido em duas partes por meio 
de uma reta paralela a sua base. 
a) Calcule os segmentos x, y e z. 
 
 
 
b) Sabendo que a área do triângulo 
grande é igual a 252, calcule a área 
do triângulo menor e a área do trapézio. 
 
 
 
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2. TEOREMA DE PITÁGORAS 
𝐚𝟐 = 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 
• a: hipotenusa 
• b e c: catetos 
De forma geométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Para o teorema ser aplicado, é necessário que o 
triângulo seja retângulo, a hipotenusa sempre será 
oposta ao ângulo reto (90°). 
 
2.1. APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO TRIÂNGULO 
EQUILÁTERO (TODOS OS LADOS IGUAIS): 
 
 
 
 
 
 
Logo, aplicando o teorema, podemos reescrever a altura (h) em 
função do lado (l): 
hip2 = cat1
2 + cat2
2 4l2 − l2
4
= h2 
l2 = h2 + (
l
2
)
2
 
3l2
4
= h2 
l2 − (
l
2
)
2
= h2 h2 =
3l2
4
 
l2 −
l2
4
= h2 h = √
3l2
4
 
l2
1
−
l2
4
= h2 𝐡 =
𝐥√𝟑
𝟐
 
 
Ex. 01) Descubra o valor da altura de um triângulo equilátero de 
lado 2√2: 
→ Substituindo 2√2 em l, temos: 
hip2 = cat1
2 + cat2
2 8 − 2 = h2 
(2√2)2 = h2 + (
2√2
2
)
2
 6 = h2 
(2√2)2 − (
2√2
2
)
2
= h2 h2 = 6 
4 ∗ 2 −
4 ∗ 2
4
= h2 𝐡 = √𝟔 
Ex. 02) Descubra o valor do lado de um triângulo equilátero de 
altura √6: 
→ Substituindo √6 em h, temos: 
hip2 = cat1
2 + cat2
2 3l2
4
= (√6)2 
l2 = (√6)2 + (
l
2
)
2
 
3l2
4
= 6 
l2 − (
l
2
)
2
= (√6)2 3l2 = 6 ∗ 4 
l2 −
l2
4
= (√6)2 l2 = (
24
3
) 
l2
1
−
l2
4
= (√6)2 l2 = 8 
4l2 − l2
4
= (√6)2𝐥 = 𝟐√𝟐 
 
 
2.2. APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO QUADRADO 
 
 
 
 
 
Logo, aplicando o teorema, podemos reescrever a diagonal (d) 
em função do lado (l): 
hip2 = cat1
2 + cat2
2 
d2 = l2 + l2 
d2 = 2l2 
d = √2l2 
𝐝 = 𝐥√𝟐 
 
Ex. 03) Calcule o valor da diagonal de um quadrado de lado 2√2. 
→ Substituindo 2√2 em l, temos: 
hip2 = cat1
2 + cat2
2 d2 = 8 + 8 
d2 = (2√2)
2
+ (2√2)
2
 d = √16 
d2 = 4 ∗ 2 + 4 ∗ 2 𝐝 = 𝟒 
 
Ex. 04) Calcule o valor do lado de um quadrado de diagonal 2√2. 
→ Substituindo 2√2 em d, temos: 
hip2 = cat1
2 + cat2
2 4 = l2 
(2√2)
2
= l2 + l2 l2 = 4 
(2√2)
2
= 2l2 l = √4 
4 ∗ 2 = 2l2 𝐥 = 𝟐 
 
PRATIQUE: 
26) Calcule a medida da diagonal do quadrado. 
 
 
 
 
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27) Um quadrado tem lados de 12 m de comprimento. Qual é 
o comprimento de sua diagonal? 
 
 
 
28) A diagonal de um quadrado é 19√2 cm. Qual é o 
comprimento de seus lados? 
 
 
 
29) Sabendo que a diagonal de um quadrado mede 8√2 m, 
quanto mede o perímetro do quadrado? 
 
 
 
 
30) Uma formiga partiu de um ponto A, percorreu 3 m no 
sentido leste, depois mais 3m no sentido norte, chegando 
ao ponto B. Qual a menor distância entre esses pontos? 
 
 
 
31) Determine a medida da diagonal de um quadrado de 1600 
cm de área. 
 
 
 
32) Calcule a altura dos triângulos a seguir. 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
33) Encontre o comprimento da altura de um triângulo 
equilátero que tem lados de comprimento 2 m. 
 
 
34) Se a altura de um triângulo equilátero é 6 cm, qual é o 
comprimento de um de seus lados? 
 
 
 
35) O perímetro de um triângulo equilátero é igual a 30 cm. 
Encontre o comprimento de sua altura. 
 
 
 
36) Determine a área do triângulo ao lado, usando o metro 
como unidade de medida. 
 
 
 
 
 
 
37) Calcule a medida da diagonal do paralelepípedo a seguir. 
 
 
 
 
 
38) Uma porteira de fazenda terá a forma de retângulo. Para 
dar rigidez à estrutura, uma barra de madeira será colocada 
na diagonal do retângulo, como você vê no projeto do 
carpinteiro. Com as medidas dadas, qual será o 
comprimento da barra em metros? 
 
 
 
 
 
39) Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
 
 
 
 
 
40) A figura abaixo mostra um muro que tem 3m de altura. 
Sabendo-se que o pé da escada está a 4m do muro, então o 
comprimento da escada é: 
 
 
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41) Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
 
 
 
42) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro, e a 
hipotenusa mede 10cm. A soma dos catetos mede: 
a) 4√5 
b) 6√5 
c) 8√5 
d) 12√5 
e) n.d.a 
 
43) Estou fazendo uma estrutura que terá o formato de um 
triângulo retângulo com dois dos seus maiores lados medindo 8 
m e 10 m. O perímetro dessa estrutura é de quantos metros? 
a) 12. 
b) 24. 
c) 26. 
d) 80. 
e) 36. 
 
44) Qual o perímetro de um quadrado cuja diagonal mede 2 cm? 
a) √2 
b) √8 
c) 4√2 
d) 8√3
2
 
e) 2√3
2
 
 
45) A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles mede 5√8 
cm. Quanto medem os catetos? 
 
 
 
46) Em um retângulo, a medida da diagonal é expressa por (x + 8) 
cm e as medidas dos lados são expressas por x cm e 12 cm. 
Nessas condições, qual é o perímetro desse retângulo? 
 
 
 
47) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada 
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do 
corrimão é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48) Um ciclista acrobático passará de um prédio a outro com 
uma bicicleta especial e sobre um cabo de aço, como 
demonstra o esquema a seguir. Qual é a medida mínima do 
comprimento do cabo de aço? 
 
 
 
 
49) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 20 cm e 
o outro é igual a 3/4 do primeiro. Determine a medida da 
hipotenusa desse triângulo. 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 35 
e) 40 
 
50) Dois prédios construídos num mesmo plano a 12 metros 
de distância um do outro medem 17 m e 22m de altura. 
Deseja-se construir uma passarela a fim de unir seus topos. 
Qual será o menor comprimento possível desta passarela? 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
51) As extremidades de um fio de antena totalmente 
esticado estão presas no topo de um prédio e no topo de um 
poste, respectivamente, de 16m e 4m de altura. 
Considerando-se o terreno horizontal e sabendo-se que a 
distância entre o prédio e o poste é de 9m, o comprimento 
do fio, em metros, é: 
a) 12 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
52) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em Â. Sabendo-se 
que AD = 2, CD = 8 e BD = 5, a medida do lado BC é: