MATERIA de GA

Prévia do material em texto

Geometria Analítica - Cônicas
Elipse
   
Considerando, num plano
, dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano 
 tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
�� INCLUDEPICTURE "http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/Image2.gif" \* MERGEFORMATINET 
Elementos
�
    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
focos : os pontos F1 e F2  
centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
semi-eixo maior: a 
semi-eixo menor: b 
semidistância focal: c 
vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 
eixo maior: 
eixo menor: 
distância focal: 
�
Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2 Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
Equações:�
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal �� INCLUDEPICTURE "http://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/Image10.gif" \* MERGEFORMATINET 
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical 
�
Hipérbole
  
 Considerando, num plano
 , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
 
�
Elementos
   Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
focos: os pontos F1 e F2 
vértices: os pontos A1 e A2 
centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de 
semi-eixo real: a 
semi-eixo imaginário: b 
semidistância focal: c 
distância focal: 
eixo real: 
eixo imaginário: 
�
 
Equações:Vamos considerar os seguintes casos
�
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox 
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
�
Exercícios
1) (Unimontes – 06/2007) O ponto da reta y = 3x + 2 equidistante de (– 1, 2) e (1, 1) tem coordenadas:
a) (2, – 2).		b) 
.		c) 
.		d) (3, – 3).
2) (Unimontes – Paes/2007) Em um retângulo MNPQ foi inscrito um triângulo de vértices M(0,0), R(2,4) e S(5,2), conforme a figura abaixo. Se Q pertence ao eixo das abscissas, a área do retângulo é:
a) 15			b) 25			c) 16			d) 20
3) (Unimontes – Paes/2004) Considere o triângulo nos pontos A(–1, 1), B(3, 2) e C(0, 5). Se M e N são os pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente, então a medida do segmento MN é igual a:
a) 
 		b) 
			c) 
			d) 
4) (Unimontes – Paes/2008) O segmento 
,M(2,4) e N(5,2), deve ser prolongado até o ponto P, no sentido de M para N, para que seu comprimento se triplique. O ponto P tem coordenadas:
a) (11,– 2)		b) (14,– 4)		c) (8,0)			d) (17,– 6)
5) (UFOP – 2008) O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas. Sendo assim, as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo de vértices (2,2), (– 4, – 2) e (2, – 4) são:
a) 
		b) 
		c) 
		d) 
7) (Unimontes – Paes/2005) O gráfico abaixo nos fornece o valor a ser pago pelo consumo de água, em que uma certa residência. Conforme o gráfico, para o consumo de 28m3, o valor a ser pago é de:
�
a) R$: 36,80		
b) R$: 28,80		
c) R$: 12,80		
d) R$: 44,80
�
�
8) (Unimontes – 12/2007) A reta r contém os pontos (4,2) e (7,3). O valor de k, para que o ponto (16,k) pertença a r, é:
a) 0			b) 4			c) 6			d) – 3
9) (Unimontes – Paes/2008) Um motoboy está no ponto A(2,6) e necessita buscar um talão de cheques em um banco que fica no ponto M(x,0) e leva-lo a um cliente que está no ponto B(8,2). A menor distância possível a ser percorrida pelo motoboy, sendo cada unidade do eixo representada por 1 km, é:
a) 2(
) km	b) 6,5 km		c) 10 km		d) 2(1 + 
) km 
10) (Unimontes – Paes/2008) Um raio luminoso parte do ponto A(3, 10) e reflete-se no ponto B(7, 0), conforme a figura abaixo. A equação da reta suporte do raio refletido é:
a) 2x – 5y – 35 = 0	b) 5x – 2y + 35 = 0	c) 5x – 2y – 35 = 0	d) 5x + 2y + 35 = 0
11) (Unimontes – Paes/2007) Na figura abaixo, temos esboços do gráfico da função logarítmica y = loga x e da reta r.
Se a inclinação da reta r é 
 , a medida do segmento AB é 
 e B está entre A e C, então o valor de a é:
a) 2.			b) 
 			c) 
			d) 4.
 
12) (Unimontes – Paes/2006) Ao traçar o mapa do bairro de Escola Delta, os alunos da 3ª série do ensino médio nomearam as ruas com equações, conforme suas posições. Qual a posição das ruas representadas pelas equações 
 e 
, sendo 
: 3x + 2y – 1 = 0 e 
: 2x + 3y + 4 = 0?
a) Concorrentes		b) Paralelas		c) Reversas		d) Coincidentes
13) (Unimontes – 06/2008) O coeficiente angular da mediatriz do segmento AB, sendo A(– 2,– 3) e B(4, 7), é:
a) 
			b) 
			c) 
			d) 
14) (Unimontes – 2003) Dado um triângulo de vértices A(– 2, 0), B(4, 2) e C(3, 5). É CORRETO afirmar que a reta mediatriz do lado AB intercepta o eixo das ordenadas, em um ponto P, cujas coordenadas são:
a) (0, – 3)		b) (0, 4)			c) 
		d) 
15) (Unimontes – 12/2006) A área do triângulo, cujos lados estão contidos nos eixos coordenados e na equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B
, é
a) 8			b) 
			c) 4			d) 
17) (UNIMONTES) O gráfico da equação x² − 4y² = 0 é
A) uma hipérbole que corta o eixo dos x. B) uma hipérbole que corta o eixo dos y.
C) uma hipérbole que não corta nenhum dos eixos. D) um par de retas.
18) (UNIMONTES) As cônicas representadas pelas equações x² + 2y² = 1 e x² + y² = 2
A) interceptam-se em dois pontos.
B) interceptam-se em quatro pontos.
C) interceptam-se em três pontos.
 D) não se interceptam.
�
19) (UNIMONTES) Os pontos M (4, – 3) e N (1, – 1) são extremos de um dos diâmetros de uma circunferência. A equação geral dessa circunferência é
A) 
 B) 
C) 
 D) 
20) (UNIMONTES) A figura representada pela equação 9x² + 4y² − 36 = 0 é
A) uma elipse. B) uma hipérbole. C) uma parábola. D) uma circunferência.
�
 
_1302781184.unknown
_1302782158.unknown
_1302782417.unknown
_1302783037.unknown
_1403856769.unknown
_1404052972.unknown
_1404053023.unknown
_1404053067.unknown
_1404052839.unknown
_1302783068.unknown
_1302782784.unknown
_1302783005.unknown
_1302782756.unknown
_1302782383.unknown
_1302782397.unknown
_1302782350.unknown
_1302781956.unknown
_1302782145.unknown
_1302782150.unknown
_1302782141.unknown
_1302781938.unknown
_1302781944.unknown
_1302781948.unknown
_1302781247.unknown
_1302762002.unknown
_1302762010.unknown
_1302762149.unknown
_1302762006.unknown
_1302761389.unknown
_1302761998.unknown
_1300715567.unknown
_1300715600.unknown
_1302761355.unknown
_1300715583.unknown
_1300715531.unknown