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TÓPICOS DE HIDRODINÂMICA II Equação da Continuidade Equação da Energia Aplicações da Equação de Bernoulli Equações Fundamentais do Escoamento Costuma-se denominar de ‘Equações Fundamentais do Escoamento’ as seguintes equações, que representam 3 leis básicas, conforme abaixo: 1) Equação da Continuidade Lei da Conservação de Massa 2) Equação da Energia Primeira Lei da Termodinâmica 3) Equação da Quantidade de Movimento Segunda Lei de Newton Grande parte dos problemas de escoamentos podem ser resolvidos considerando hipóteses simplificadoras, como escoamento unidimensional e permanente. (“ENGENHARIA É A ARTE DE SABER SIMPLIFICAR”) Assim as equações de fluxo acima ficam bastante simplificadas, onde o escoamento então é modelado de acordo com suas características médias (velocidade média, pressão média), com utilização de coeficientes empíricos para corrigir as distorções e as simplificações. Equação da Continuidade Decorrente da Lei de Conservação de Massa; A massa não pode ser criada ou destruída (massa que entra = massa que sai); Portanto, considerando um tubo de seções 1 e 2 (abaixo), a massa do fluido que atravessa cada seção do tubo em um dado intervalo de tempo deve ser a mesma: 𝜌1 . Δ𝑥1 . 𝐴1 = 𝜌2 . Δ𝑥2 . 𝐴2 𝜌1 . 𝑈1 . Δ𝑡1 . 𝐴1 = 𝜌2 . 𝑈2 . Δ𝑡2 . 𝐴2 𝜌1 . 𝑈1 . 𝐴1 = 𝜌2 . 𝑈2 . 𝐴2Como os intervalos de tempo são iguais (Dt1=Dt2): 𝑣 = Δ𝑥 Δ𝑡 Lembrando que: Considerando fluido incompressível (r1=r2): 𝑈1. 𝐴1 = 𝑈2. 𝐴2=Q Exemplo fechar janela Considerando a velocidade média (U): Exercícios de Aplicação 1 Um bocal convergente de 100 mm x 50 mm é colocado num sistema para assegurar uma velocidade de 5 m/s na extremidade menor do bocal. Calcular a velocidade a montante do bocal e a vazão escoada. U=1,25 m/s; Q=9,82 l/s Exercícios de Aplicação 2 Considere um tubo de 300 mm de diâmetro com redução para um tubo de 200 mm de diâmetro. O fluxo de peso (água) é de 3 kN/s. Calcular a vazão em m³/s, bem como as velocidades médias nos tubos de 300 mm e 200 mm. Q=0,3058 m³/s U300 = 4,33 m/s U200 = 9,74 m/s Equação da Energia É derivada das equações diferencias de Euler, que por sua vez deriva das equações diferencias de Navier-Stokes; Hoje a equação da energia é conhecida como equação de Bernoulli. Interessante que Daniel Bernoulli (1700-1782) não “deduziu” matematicamente as equações, mas fez considerações sobre o fenômenos que demonstrou compressão da essência do fenômeno; Foi o matemático Leonhard Euler (1707-1783) quem exprimiu o princípio da forma conhecida, com tratamento matemático não muito diferente do utilizado atualmente. NAVIER-STOKES EULER BERNOULLI Simplificações: • Fluido incompressível • Sem viscosidade (fluido ideal) • Tensão superficial nula Simplificações: • Escoamento permanente • Integração das equações de Euler para uma linha de corrente • Unidimensional • Válida para uma linha de corrente Equação da Energia Linha de Energia Linha de Piezométrica Linha de Corrente Plano de referência 𝑧1 𝑃1 𝛾 𝑣1 2 2𝑔 𝑣2 2 2𝑔 𝑣3 2 2𝑔 𝑃2 𝛾 𝑃3 𝛾 𝑧2 𝑧2 𝑧 + 𝑃 𝛾 + 𝑣2 2𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 (𝑜𝑢 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA MECÂNICA DOS FLUIDOS EQUAÇÃO DE BERNOULLI – Ao longo de uma linha de corrente a energia se conserva EQUAÇÃO DE BERNOULLI Cada termo da equação tem a unidade de distância (metro); Cada termo da equação representa uma energia por unidade de peso. O princípio de Bernoulli diz portanto que a energia permanece constante ao longo de uma linha de corrente em um escoamento de um fluido ideal (viscosidade nula) e incompressível em regime permanente. Portanto pode ser considerado um caso particular do princípio da conservação de energia (primeira Lei da Termodinâmica). A equação acima é válida para um fluido que não existe no mundo real (fluido ideal), além de ser válida apenas para pontos ao longo de uma linha de corrente. O que fazer para usá-la em casos reais em condutos? Equação da Energia 𝑧 + 𝑃 𝛾 + 𝑣2 2𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 En. potencial En. cinética EQUAÇÃO DE BERNOULLI Equação da Energia Para utilizar a equação de Bernoulli em problemas práticos com tubos reais, duas considerações devem ser feitas: 1. considerar a viscosidade 2. considerar a velocidade média no conduto ao invés da velocidade em um ponto (U ao invés de v, ou, em outas palavras, o conjunto de linhas de corrente). Considerar a viscosidade significa considerar perdas de energia (Dh) ao longo do escoamento (lembrar conceito de viscosidade – se há escoamento, há perda de energia). Chamamos esta perda de energia de perda de carga. Considerar a velocidade média torna o problema unidimensional e irá exigir a aplicação de um coeficiente corretivo (a) na velocidade. Este coeficiente é chamado de coeficiente de energia cinética ou, como é mais conhecido, coeficiente de Coriolis. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA TUBOS REAIS U=v U v 𝛼 = 𝐴 𝑣³ 𝑑𝐴 𝑈3 . 𝐴 PARA FLUIDO IDEAL, a = 1 𝛼 = 𝑖=1 𝑛 𝑣𝑖 3 . 𝐴𝑖 𝑈3 . 𝐴 Equação da Energia O coeficiente de Coriolis é portanto função da distribuição de velocidades na seção transversal; Visa corrigir o cálculo da parcela relativa à energia cinética para permitir a adoção da velocidade média do fluxo ao invés da velocidade na linha de corrente. Utiliza-se portanto na equação de Bernoulli, ao invés do termo (v²/2g), o termo (aU²/2g) O coeficiente de Coriolis pode atingir valores significativos em alguns casos particulares. Entretanto, em um grande caso de problemas de escoamentos reais com água, o perfil de velocidades na seção é bastante uniforme, o e o valor de a aproxima-se bastante da unidade. Portanto, em geral, adota-se a = 1. Considerando portanto a viscosidade e a distribuição real de velocidades, e utilizando a velocidade média (U) ao invés da velocidade da partícula, a equação de Bernoulli entre dois pontos do escoamento fica: EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA TUBOS REAIS 𝑧1 + 𝑃1 𝛾 + 𝛼 𝑈1 2 2𝑔 = 𝑧2 + 𝑃2 𝛾 + 𝛼 𝑈2 2 2𝑔 + Δℎ1−2 As linhas piezométrica e de energia em um escoamento de um conduto possuem a característica abaixo. Para fins práticos, devido à diferença de grandezas entre as pressões atuantes e o diâmetro do conduto, considera-se a mesma pressão em todos os pontos da seção do conduto. Por isso a altura piezométrica é tomada do eixo do conduto; É importante também que nos pontos de aplicação de Bernoulli o escoamento seja o mais uniforme possível (linhas de corrente mais paralelas possível) Equação da Energia EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA TUBOS REAIS 𝑧1 𝑧2 𝑃1 𝛾 𝑃2 𝛾 𝛼 𝑈1 2 2𝑔 𝛼 𝑈2 2 2𝑔 Δℎ Na sequência vamos comentar sobre algumas das aplicações mais comuns da equação de Bernoulli: • Escoamento em orifícios; • Tubo de Pitot; • Tubo de Venturi; • Força de Sustentação em aviões. MAIS ALGUMAS CURIOSIDADES.... Equação da Energia APLICAÇÕES BERNOULLI Bernoulli Euler Equação de Euler – considerada uma das “mais belas” equações de todos os tempos O escoamento por um orifício pode ser resolvido pela aplicação da equação de Bernoulli Aplicações da Equação de Bernoulli ESCOAMENTO EM ORIFÍCIOS Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2, e considerando as perdas de carga desprezíveis e o escoamento permanente: 𝑧1 + 𝑃1 𝛾 + 𝑣1 2 2𝑔 = 𝑧2 + 𝑃2 𝛾 + 𝑣2 2 2𝑔 P2 desprezível (muito próxima da Patm) ℎ = 𝑣2 2 2𝑔 𝑣2 = 2𝑔ℎ A expressão acima é conhecida como PRINCÍPIO DE TORRICELLI Como os efeitos gravitacionais são muito maiores do que os viscosos, o princípio de Torricellifornece bons resultados para fluidos reais (erro ~2%). Mas sabendo a velocidade, como determinar a vazão? Aplicações da Equação de Bernoulli ESCOAMENTO EM ORIFÍCIOS A seção contraída do jato após o orifício não possui as mesmas dimensões do orifício. E o valor calculado da velocidade pela equação de Torricelli é válido para a seção contraída. Na verdade para um resultado mais preciso, e se se conhece apenas a área do orifício, a vazão pelo orifício é definida pela seguinte expressão: Q = 𝐶𝑐 . 𝐶𝑣 . 𝐴. 2𝑔ℎ Onde: Cv = coeficiente de velocidade ~0,98 Cc = coeficiente de contração = Ac/A A = área do orifício A equação acima é totalmente confirmada pelos experimentos. Cc x Cv também é chamado simplesmente de Cd (coeficiente de descarga) O valor do coeficiente de contração varia conforme as características do orifício, e podem ser obtidos na literatura. Para o orifício da figura seu valor é de 0,62. Abaixo alguns coeficientes de contração para várias configurações de descarga (baseado em experimentos) Aplicações da Equação de Bernoulli ESCOAMENTO EM ORIFÍCIOS orifício contraídaseção c A A c . 61,0cc 00,1cc 61,0cc 50,0cc Os tubos de Pitot são utilizados para medir a velocidade do fluxo. A primeira aplicação deste tipo de tubo para medição de velocidades deve-se a Henry Pitot (1695-1771), e data 1732; É um dos instrumentos mais precisos de medida de velocidade, com aplicações importantes nos diversos momentos da engenharia; O tubo de Pitot é muito utilizado em aviões. Apesar de não ter sido comprovado, o mau funcionamento do tubo de Pitot foi apontado como uma das causas do acidente da AirFrance em maio de 2009, que vitimou 228 pessoas. Aplicações da Equação de Bernoulli TUBO DE PITOT Aplicações da Equação de Bernoulli TUBO DE PITOT Os tubos de Pitot são também conhecidos como tubos de estagnação (porque dentro deles a velocidade é zero). A diferença da medida entre um tubo de Pitot e um piezômetro fornece a altura de velocidade. O tubo de Pitot portanto mede a elevação da linha de energia no ponto e medição. Despreza-se para isso a perda de carga entre o piezômetro e o Pitot. O tubo de Pitot não fornece a velocidade média, mas a velocidade no ponto (v ao invés de U) Aplicações da Equação de Bernoulli TUBO DE VENTURI Consiste em um tubo onde é provocada uma redução de seção, seguido de um trecho com seção contínua e posteriormente um retorno gradual à seção original O tubo de Venturi é um instrumento bastante utilizado para medição de vazão. Utiliza os conceitos da equação de Bernoulli e da equação da continuidade para tal. Aplicações da Equação de Bernoulli TUBO DE VENTURI Na seção contraída, ocorre, de acordo com a equação da continuidade, um aumento da velocidade, e de acordo com o princípio de Bernoulli, uma redução da pressão e aumento da carga cinética. Considerando as perdas de carga desprezíveis entre os pontos 1 e 2, podemos considerar um fluido ideal e aplicar Bernoullli: 𝑧1 + 𝑃1 𝛾 + 𝛼 𝑈1 2 2𝑔 = 𝑧2 + 𝑃2 𝛾 + 𝛼 𝑈2 2 2𝑔 Aplicações da Equação de Bernoulli TUBO DE VENTURI 𝑧1 + 𝑃1 𝛾 + 𝛼 𝑈1 2 2𝑔 = 𝑧2 + 𝑃2 𝛾 + 𝛼 𝑈2 2 2𝑔 Considerando a1=a1=1 e rearranjando os termos: 𝑧1 + 𝑃1 𝛾 + 𝑈1 2 2𝑔 = 𝑧2 + 𝑃2 𝛾 + 𝑈2 2 2𝑔 Dh Δℎ = 𝑈2 2 2𝑔 − 𝑈1 2 2𝑔 𝑧1 + 𝑃1 𝛾 − 𝑧2 + 𝑃2 𝛾 = 𝑈2 2 2𝑔 − 𝑈1 2 2𝑔 Dh Considerando a equação da continuidade (U1A1=U2A2=Q): Δℎ = 𝑈1 2. 𝐴1 2 2𝑔. 𝐴2 2 − 𝑈1 2 2𝑔 Δℎ = 𝐴1 2 𝐴2 2 𝑈1 2 2𝑔 − 𝑈1 2 2𝑔 Δℎ = 𝑈1 2 2𝑔 𝐴1 𝐴2 2 − 1 𝑈1 2 = 2𝑔. Δℎ 𝐴1 𝐴2 2 − 1 𝑈1 2 = 2𝑔. Δℎ 𝐴1 2 − 𝐴2 2 𝐴2 2 𝑈1 2 = 2𝑔. Δℎ. 𝐴2 2 𝐴1 2 − 𝐴2 2 𝑄 = 𝐴2. 𝐴1 𝐴1 2 − 𝐴2 2 2𝑔Δℎ 𝑄 = 𝐾 2𝑔Δℎ Chamando este fatore de K Dev ido à possibilidade de perdas de carga no fluxo K é calibrado em laboratório para medições de precisão Aplicações da Equação de Bernoulli FORÇA DE SUSTENTAÇÃOEM AVIÕES Quando um avião se desloca horizontalmente ou com uma pequena inclinação para cima, a velocidade do ar acima da asa é maior do que na face inferior, devido ao formato da asa. Consequentemente a pressão do até maior embaixo do que em cima da asa. A diferença de pressão aplicada à área da asa do avião provoca o surgimento de uma força de sustentação de baixo para cima que permite o aparelho se manter no ar sem cair. Exercício de Aplicação 3 Um fluido ideal de peso específico 7,9 kN/m³ escoa através de um orifício de borda delgada. O manômetro B acusa 41 kN/m² e o manômetro A 14 kN/m². Determinar a velocidade média do fluxo no tubo. Resposta: U =v = 2,86 m/s Exercício de Aplicação 4 Determinar a vazão que efluente do bocal. A densidade relativa do fluido que escoa é 1,0. Considere o fluido ideal. Resposta: 29,1 l/s Exercício de Aplicação 5 Determinar a vazão que escoa no tubo de Venturi indicado Resposta: 51 l/s