ESTATISTICA_02

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Prof. Airton A. CASTAGNA
Docteur Ingénieur
ESTATÍSTICA (II)
PROBABILIDADE
CONCEITUAÇÃO
Todos nós temos, ainda que
inconsciente, um conceito de
probabilidade.
Intuitivamente as pessoas
Tomam decisões em função dos fatos que têm 
maior probabilidade de ocorrer.
Vejamos os seguintes exemplos:
1) Num confronto direto entre o Barcelona e o 
Arapiraca, há uma chance enorme de o Barcelona sair 
vitorioso. Ao se fazer uma aposta, esta deverá ser no 
Barcelona;
PROBABILIDADE
CONCEITUAÇÃO
2) Se, numa família, há muitos casos de doenças 
cardíacas, então há uma chance maior para que 
membros dessa família venham a sofrer com doenças 
cardíacas;
3) Se estamos fazendo controle de qualidade numa 
fábrica e uma máquina está produzindo muitos pregos 
fora do padrão pré-estabelecido, existe uma grande 
chance que estas máquina continue a produzir pregos 
fora do padrão.
Mas, também intuitivamente sabemos que estas 
probabilidades podem não ocorrer, isto é, há incerteza 
quanto ao resultado real.
PROBABILIDADE
CONCEITUAÇÃO
1’) O Arapiraca, ainda que improvável, pode 
vencer o Barcelona;
2’) Não obstante o histórico familiar, uma pessoa 
originária de uma família com doenças cardíacas 
pode nunca apresentar tais problemas;
3’) Os pregos fora do padrão podem ser mera 
casualidade e a máquina estar funcionando bem.
Se for possível quantificar a incerteza 
associada a cada fator, as decisões a serem 
tomadas tonar-se-ão mais fáceis.
PROBABILIDADE
CONCEITUAÇÃO
Os modelos probabilísticos são aplicados em 
situações que envolvem algum tipo de incerteza ou 
de variabilidade aleatória.
Exemplos:
a) Lançamento de dados
não viciados;
b) Diâmetros de pregos;
c)Número de jornais restantes
numa banca.
PROBABILIDADE
MODELO PROBABILÍSTICO
Nos casos em que os resultados de um experimento 
aleatório podem ser listados (caso discreto) um 
modelo probabilístico pode ser entendido como a 
listagem desses resultados, acompanhados de suas 
respectivas probabilidades.
CONTRUÇÃO DE UM MODELO PROBABILÍSTICO
Definição do
experimento
Definição dos 
resultados possíveis
do experimento
Definição de uma regra que 
obtenha a probabilidade de
cada resultado ocorrer.
PROBABILIDADE
MODELO PROBABILÍSTICO
O conjunto de todos os possíveis resultados do
experimento é chamado de espaço amostral e é
representado pela letra grega Ω.
Exemplos:
a) Lançamento de um dado – Ω = {1,2,3,4,5,6};
b) Carta de baralho ao acaso (naipe) – Ω = {copas, 
espadas, ouros, paus};
c) Número de cartas distribuídas anualmente pelos 
Correios – Ω = {1,2,3,...};
d) Diâmetro de um prego produzido, em mm – Ω = {d, 
tal que d>0}.
PROBABILIDADE
MODELO PROBABILÍSTICO
Um espaço amostral é dito discreto quando ele for
finito ou infinito enumerável; é dito contínuo
quando for infinito, formado por intervalos de
números reais.
Elementos para tomada de decisão podem estar 
vinculados a um conjunto de resultados (ou evento) 
associados ao experimento aleatório.
Ex.: o diâmetro de um eixo metálico, em mm, que sai 
de uma linha de produção, se pertencer a A = {49,0 ≤ 
d ≤ 51,0} então se decide que é adequado.
PROBABILIDADE
MODELO PROBABILÍSTICO
Chamamos de evento a qualquer subconjunto do
espaço amostral:
A é um evento ⇔ A ⊆ Ω
(a) União:
A ∪ B
(b) interseção:
A ∩ B
(c) complementar:
A
A A
A
Ω Ω Ω
B B
PROBABILIDADE
MODELO PROBABILÍSTICO
OPERAÇÕES ENTRE EVENTOS
Operação Conjunto Evento
a) União
A ∪ B
reúne os elementos
de ambos os
conjuntos
ocorre quando ocorrer
pelo menos um deles (A,
B ou ambos)
b) Interseção
A ∩ B
formado somente
pelos elementos que
estão em A e B
ocorre quando ocorrer
ambos os eventos (A e
B)
c) Complementar
A
formado pelos
elementos que não
estão em A
ocorre quando não
ocorrer o evento A (não
A)
PROBABILIDADE
MODELO PROBABILÍSTICO
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e 
somente se eles não puderem ocorrer simultaneamente.
A e B são mutuamente exclusivos ⇔ A ∩ B= ∅
A
B
Ω
PROBABILIDADE
DEFINIÇÃO – CLÁSSICA
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES
Probabilidade do evento complementar
P(A) = 1− P(A)
A
A
Ω
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES
Regra da soma das probabilidades
P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B)
Ω
A
B
A ∩ B
Se A e B mutuamente 
exclusivos, então:
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE DE EVENTOS
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES
Probabilidade condicional. Exemplo
Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a
observação das faces voltadas para cima. Calcule a
probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma 
é menor ou igual a 5.
E1 = faces iguais = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}; e
E2 = soma das faces é menor ou igual a 5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 
3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3,2), (4, 1)}.
Ω
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES
PROBABILIDADE
DEFINIÇÃO – EXPERIMENTAL 
n→∞ n→∞
PROBABILIDADE
DEFINIÇÃO – EXPERIMENTAL 
Exemplo: Um fabricante de lâmpadas fluorescentes 
precisa definir o tempo de garantia de um de seus 
modelos. Estima-se que durem 5.000 horas, mas não 
se tem certeza do comportamento na prática. Assim é 
temerário fixar uma garantia.
Definiu-se um experimento aleatório que consiste 
em ligar a lâmpada e registrar o tempo em horas que 
ela funciona. O espaço amostral é formado pelo 
conjunto de todos os valores maiores que zero:
Ω = {t, tal que t ≥ 0}
Seja o evento:
At = a lâmpada funcionar até o tempo t.
PROBABILIDADE
DEFINIÇÃO – EXPERIMENTAL 
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES 
PROBABILIDADE
AXIOMAS E PROPRIEDADES 
Eventos independentes
Dois ou mais eventos são independentes quando
a ocorrência de um dos eventos não influencia a
probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso:
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
A e B são independentes
P(A∩B) = P(A).P(B)
PROBABILIDADE
EXEMPLO 
Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Se 
retiramos, ao acaso, dois cartões, um após o outro, sem 
reposição:
a) Qual é a probabilidade que ambos sejam amarelos?
Designando de A1 o evento que representa o cartão amarelo 
na i-ésima extração, e V1 o evento que representa o cartão 
vermelho na i-ésima extração (i= 1, 2), temos o seguinte 
espaço amostral: 
Ω = {(A1, A2), (A1, V2), (V1, A2), (V1, V2)}
A probabilidade de interesse é P{(A1, A2)}, que também pode 
ser expressa como P(A1∩A2). Aplicando a regra do produto
P(A1∩A2) = P(A1) * P(A2/A1), calculamos:
PROBABILIDADE
EXEMPLO 
PROBABILIDADE
EXEMPLO 
4 amarelos
8 vermelhos
(total = 12)
A
3 amarelos
8 vermelhos
(total = 11)
A
V
V
4 amarelos
7 vermelhos
(total = 11)
A
V
1ª. extração 2ª. extração
PROBABILIDADE
EXEMPLO 
PROBABILIDADE
EXEMPLO 
PROBABILIDADEEXEMPLO (II)
Realize o exercício anterior, mas com amostragem feita com 
reposição
4 amarelos
8 vermelhos
(total = 12)
A
4 amarelos
8 vermelhos
(total = 12)
A
V
V
4 amarelos
8 vermelhos
(total = 12)
A
V
1ª. extração 2ª. extração
PROBABILIDADE
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
Imagine que você emprega peças vindas de 4 fornecedores 
distintos, com 4 desempenhos de qualidade também 
diferentes. Você conhece a proporção de peças “não 
conformes” de cada um dos fornecedores (p1, p2, p3 e p4). 
Pense num lote formado por peças dos 4 fornecedores. Se 
você selecionar um das peças deste lote qual é a probabilidade 
dela ser “não conforme”?
v v
Peças 
do 
lote
Peças “não conformes”
PROBABILIDADE
Seria fácil calcular se você soubesse qual era a origem da 
peça, mas você não sabe. O teorema da probabilidade total
é que permite solucionar este problema.
Considere o espaço amostral particionado em k eventos, E1, 
E2, E3, ..., Ek, satisfazendo as seguintes condições:
a)Ei⋂Ej = ⌀, para todo i ≠ j (eventos mutuamente exclusivos);
b)E1UE2UE3U...Uk = Ω (eventos exaustivos), e
c)P(Ei) > 0 para i = 1, 2, ... , k.
Partição do espaçoamostral em eventos mutuamente exclusivos.
EEE
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
F
F ⋂ E5
F
⋂ 
E1 F
⋂ 
E8
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
Naturalmente, algumas P(F/Ei)
poderão assumir valor zero por não 
haver interseção entre F e Ei. O 
teorema da probabilidade total pode 
ser interpretado fisicamente como 
uma medida do peso de cada um dos 
eventos Ei na contribuição para 
formar o evento F.
PROBABILIDADE – EXEMPLO (III)
Os eventos Ei representam as procedências das 
peças (fornecedores 1, 2, 3 e 4), e o evento F
representa peça não conforme. Note que os 
eventos Ei são mutuamente exclusivos, pois uma 
peça não pode vir de mais de um fabricante e que o 
evento F tem interseção com todos eles pois todos 
os fornecedores produzem peças não conformes.
PROBABILIDADE – EXEMPLO (III)
Suponha a mesma probabilidade para todos os fornecedores, 
isto é:
P(E1) = P(E2) = P(E3) = P(E4) = 0,25 e as probabilidades de não 
conformidade de cada fabricante sejam: p1 = P(F/E1) = 0,1; p2 = 
P(F/E2) = 0,1; p3 = P(F/E3) = 0,2; p4 = P(F/E4) = 0,4 ; então, usando 
o teorema:
P(F) = (0,25 * 0,1) + (0,25 * 0,1) + (0,25 * 0,2) + (0,25 * 0,4)
P(F) = 0,2
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE – EXEMPLO (IV)