Cálculo 1

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CÁLCULO 3
RESUMO EDO’S
Variáveis Separáveis
Forma:
• Mdx + Ndy = 0 
Verificar: 
• M = f(x) e N = f(y)
Solução:
• ∫Mdx + ∫Ndy = c 
Exemplo:
Considere a equação diferencial:
(x2+1) dx+(y) dy = 0
Passo 1: Verificar se é de variáveis separáveis:
( M(x) depende só de x, e N(y) depende só de 
y): 
•M(x)=x2+1 → depende só de x
•N(y)=y → depende só de y
 É de variáveis separáveis!
Passo 2: Resolver com integrais separadas:
• ∫(x2+1) dx+∫y dy = c
Fazendo as integrais:
• ∫(x2+1) dx = 𝑥
3
3
 + 𝑥
• ∫y dy= 𝑦
2
2
Agora juntamos tudo:
•
𝑥3
3
 + 𝑥 + 𝑦
2
2
 = c 
 Essa é a solução implícita da equação 
diferencial.
Homogêneas
Forma:
• M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Verificar:
• M(tx,ty) = tn M(x,y)
• N(tx,ty) = tn N(x,y) 
Solução:
• Mudança de variável: 
 y = ux x = vy
 
 dy = udx + xdu dx = vdy + ydv
• Manipulações algébricas
• EDO de variáveis separáveis 
• Resolver/ Integrar
• Voltar para a variável inicial
Exemplo:
Considere a equação: 
(x+y)dx−xdy=0 
Passo 1: Verificar se é homogénea:
Queremos ver se:
• M(tx,ty)=tn M(x,y), N(tx,ty)=tnN(x,y) 
Temos:
• M(x,y)=x+y
• N(x,y)=−x
Agora substituindo:
• M(tx,ty)= tx+ty -- t(x+y) -- t1M(x,y)
• N(tx,ty)= −tx -- t(−x) -- t1N(x,y)
 Homogênea de grau 1
Passo 2: Mudança de variável – você escolhe 
se quer substituir y ou x (escolher sempre o 
mais fácil):
• Vamos usar y=ux ⇒ dy=udx+xdu
Substituindo na equação:
• (x+y) dx−x dy = 0
• (x+ux) dx−x[udx+xdu]= 0
Passo 3: manipular a equação, isolando o que 
der, e multiplicando:
• x(1+u) dx−xudx- x2du = 0
Agora cancelamos xudx com −xudx
• x dx−x2 du= 0
Passo 4: EDO de variáveis separáveis (A EDO 
se torna de variáveis separáveis quando, 
após a substituição, conseguimos isolar 
cada diferencial com uma função da sua 
própria variável).
Divida ambos os lados por x2 ( x2 pois 
você consegue simplificar a equação)
•
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑑𝑢
Passo 5: Resolver/Integrar (Integramos 
ambos os lados):
• ∫ 𝑑𝑥
𝑥
 = ∫du ⇒ ln∣x∣=u+C
Lembrando que a integral de dx/x é ln|x|, e a 
integral de du, é u.
Passo 6: Voltar para a variável inicial, ou seja, 
substituir o u, pelo u que você determinou no 
passo 2 (u = y/x):
• ln|x| = 
𝑦
𝑥
 + c 
 Essa é a solução implícita da 
equação.
Exatas
Forma:
• M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Verificar:
•
𝜕𝑀
𝜕𝑦
 = 𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
Solução:
M(x,y) = 𝜕𝑓
𝜕𝑥
 N(x,y) = 𝜕𝑓
𝜕𝑦
• Encontrar f:
f(x,y) = ∫ M(x,y)dx + g(y)
• Derivar f(x,y) em relação a y 
• Comparar com N(x,y) = 𝜕𝑓
𝜕𝑦
• Encontrar g(y) integrando g’(y)
• Reescrever f (x,y) com g(y)
• Igualar f(x,y) a c 
Exemplo:
Considere a EDO:
(2xy+1) dx+(x2+cos y) dy = 0
Passo 1: Verificar se é exata ( se a derivada for
igual, é exata):
Dado:
• M(x,y)=2xy+ 1 
• N(x,y)=x2+cos y
Vamos derivar:
•
𝜕𝑀
𝜕𝑦
 = 𝜕
𝜕𝑦
 (2xy + 1) = 2x
•
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 = 𝜕
𝜕𝑥
 (x2 + cos y) = 2x
 Como 𝝏𝑴
𝝏𝒚
 = 𝝏𝑵
𝝏𝒙
 a equação é exata!
Passo 2: Encontrar f(x,y).
Sabemos:
• M = 𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 2xy + 1 
Vamos integrar M em relação a x:
• f(x,y) = ∫ (2xy + 1)dx -- x2y + x + g(y)
Passo 3: Derivar f(x,y) em relação a y.
• f(x,y) = x2y + x + g(y)
•
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= x2 + g’(y)
Passo 4: Comparar com N(x,y) = 𝝏𝒇
𝝏𝒚
Temos:
• N(x,y) = x2+ cos y
•
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= x2 + g’(y)
Então:
• g′(y)=cos y
IGUAL
Passo 5: Encontrar g(y) integrando g’(y):
• g(y) = ∫ cos y dy -- sen y 
Passo 6: Reescrever f(x,y) com g(y):
• f(x,y) = x2y + x + sen y 
Passo 7: Igualar f(x,y) a c:
x2y + x + sen y = c
 Essa é a solução implícita da 
equação exata!
Lineares de 1ª Ordem
Forma:
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 (𝑥)
Solução:
• Escrever na forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 (𝑥)
• Encontrar o fator de integração:
µ (x) = e ∫p(x)dx
• Multiplicar a EDO por µ (x) 
• Escrever o primeiro lado da igualdade 
como a derivada do produto
(µ (x) y)’ = 𝑄 µ (x) 
• Resolver/Integrar
Exemplo:
Dada a EDO:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑥 
Passo 1: Escrever na forma:
Já está na forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)
Com:
𝑃 𝑥 = 2
𝑄(𝑥) = x 
passo 2: Encontrar o fator de integração:
µ (x) = e ∫p(x)dx -- µ (x) = e ∫2dx -- e2x
Passo 3: Multiplicar a EDO por µ (x):
e2x 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + 2𝑦e2x = 𝑥e2x
Passo 4: Escrever o primeiro lado da igualdade 
como a derivada do produto:
𝑑
𝑑𝑥
(e2xy) = xe2x
Passo 5: Integrar/Resolver:
∫ 𝑑
𝑑𝑥
(e2xy) dx = ∫ xe2x dx
O lado esquerdo é simples:
e2xy
O lado direito, integramos por partes:
A técnica de integração por partes vem da 
regra do produto da derivada, mas 
rearranjada pra integrar. A fórmula é:
∫ udv = uv - ∫ vdu
Etapas passo a passo:
1.Escolher u → parte que você vai derivar (fica 
mais simples depois)
2.Escolher dv → o resto (vai ser integrado)
3.Derivar u → obtém du
4.Integrar dv → obtém v
5.Aplicar a fórmula:
∫ udv = uv - ∫ vdu
Resolvendo: = ∫ xe2x dx
1. Escolha:
• u = x (porque derivar x fica mais simples)
• dv = e2xdx
2. Deriva e integra:
• du = 1dx
• v = 1
2
e2x
3. Aplica a fórmula:
• ∫xe2xdx = uv - ∫ vdu
• x 1
2
e2x - ∫ 1
2
e2x dx
•
1
2
xe2x - 1
4
e2x+ c 
4. Resposta Final:
1
2
xe2x - 1
4
e2x+ c 
Passo 6: Resolver para y:
e2xy = 1
2
xe2x - 1
4
e2x+ c 
Divide tudo por e2x:
y = 1
2
x - 1
4
 + ce-2x
 Resposta final:
y(x) = = 1
2
x - 1
4
 + ce-2x
Bernoulli
Forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + p(x)y = Q(x) yn
Solução:
• Multiplicar por yn
• Mudança de variável:
t = y1-n e 𝑑𝑡
𝑑𝑥
 = (1 – n) y-n 𝑑𝑦
𝑑𝑥
• Equação Linear
• Voltar para a variável y 
Exemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + 2y = 6y2
Passo 1: Identificar a fórmula:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + P(x)y = Q(x) yn
Neste caso:
• P(x) = 2
• Q(X) = 6
• n = 2
Passo 2: Multiplicar por yn -- y-2:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y-2 + 2y-1= 6
Passo 3: Mudança de variável:
Use a substituição: 
t = y1-n e 𝑑𝑡
𝑑𝑥
 = (1 – n) y-n 𝑑𝑦
𝑑𝑥
Como n =2, temos:
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= (1-2)y-2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 -- y-2𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = - 𝑑𝑡
𝑑𝑥
Substituindo na equação:
- 𝑑𝑡
𝑑𝑥
 + 2y-1 = 6 -- - 𝑑𝑡
𝑑𝑥
 + 2t = 6 -- 𝑑𝑡
𝑑𝑥
 - 2t = 6
Passo 4: Resolvendo a equação linear:
Agora temos uma equação linear em t:
 𝑑𝑡
𝑑𝑥
 - 2t = 6 ; p(x) = -2
Usamos o fator de integração:
µ (x) = e ∫p(x)dx -- µ (x) = e ∫-2dx -- e-2x
Multiplicamos tudo por e-2x:
 𝑑𝑡
𝑑𝑥
e-2x - 2t e-2x= 6e-2x
Integramos ambos os lados:
t e-2x = 3e-2x + c
t = -3 + ce-2x
Passo 5: Voltar para a variável y:
Lembrar que t = y-1, então:
y-1= -3 + ce-2x -- y = 1
−3+ce−2x
 Solução Final:
y(x) = 1
−3+ce−2x
Homogêneas de Coeficientes 
Constantes
Forma: 
ar2+br+c= 0
Solução: 
Passo 1: Resolver a homogênea associada:
ay′′+by′+cy=0⇒yh(x)
Passo 2: Achar uma solução particular yp(x) 
que satisfaça a equação completa:
Depende de f(x):
 Cuidado com coincidência com a solução 
homogênea:
Se o termo de yp já aparece em yh, multiplica 
por x ou x2 até não repetir.
Passo 3: Solução Geral:
y(x)=yh(x)+yp(x)
Passo 1: Forma característica (equação 
auxiliar):
ar2+br+c= 0
Resolver a equação do 2º grau → analisa 
as raízes r
Tipos de soluções:
Duas raízes reais distintas r1≠r2
y(x)=C1er1x+C2er2x
Raízes reais iguais r1=r2
y(x)=(C1+C2x)erx
Raízes complexas r=α±βi
 y(x)=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
Não Homogêneas de Coeficientes 
Constantes
Forma: 
ay′′+by′+cy=f(x) – f(x) ≠ 0
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