Avaliação Final (Discursiva) - Individual - Questão 1 - CDI

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a) Equação característica e solução geral Justificativa: para EDO linear homogênea com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y(t) = = porque a derivada de é proporcional a o que transforma a EDO numa equação algébrica em Substituindo Isto é a equação característica. Podemos resolver a quadrática: Calcula-se o discriminante: = Fórmula de Bhaskara: Computando as duas raízes: -6 + 13 = -6 2 -11-13 Justificativa final: raízes reais e distintas => duas soluções fundamentais independentes Portanto a solução geral é combinação linear:b) Solução do PVI = 1, 0 Passo 1 impondo y(0) 1. Substituindo t = 0: = (Equação (1)). (Isto vem de e⁰ = 1.) Passo 2 derivada e condição = 0. Derivando a solução geral: Em t = 0: (Equação (2)). Justificativa: resolvemos o sistema linear de duas equações (1) e (2) para encontrar C₁,C₂. Passo 3 resolver o sistema. De (1): C₂ 1 C₁. Substituindo em (2): Então Passo 4 solução particular do PVI. Verificação rápida (justificativa de consistência) Condições iniciais: Substituindo y, y', y" na EDO dá identicamente zero (verificação algébrica direta): portanto a solução satisfaz a EDO. Observação concisa sobre comportamento Os modos são (pólo em T 4, crescimento exponencial) e (decaimento). Como existe uma raiz positiva (r = 4), = o sistema é instável: para a solução cresce exponencialmente dominada por apesar do coeficiente 1/13 ser pequeno.