Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 30 Assunto: Integrais triplas. Coordenadas esféricas Palavras-chaves: integrais triplas, coordenadas esféricas,cálculo de volume Coordenadas esféricas Seja P = (x, y, z) um ponto do espaço R3 em que x, y e z são coordenadas cartesianas de P . As coordenadas esféricas de P são os números θ, ρ e ϕ em que θ é o ângulo (medido no sentido anti-horário) entre o semi-eixo positivo 0x e o segmento de extremidades em (0, 0, 0) e (x, y, 0), ρ é a distância entre os pontos (0, 0, 0) e P e ϕ é o ângulo (medido no sentido anti-horário) entre o semi-eixo positivo 0z e o segmento de extremidades em (0, 0, 0) e P . Vamos denotar por d a distância entre a origem e o ponto (x, y, 0). Temos que sinϕ = d ρ ⇒ d = ρ sinϕ cos θ = x d ⇒ x = d cos θ Portanto, x = ρ sinϕ cos θ, sin θ = y d ⇒ y = d sin θ Logo, y = ρ sinϕ sin θ. E cosϕ = z ρ ⇒ z = ρ cosϕ Portanto, as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas se relacionam como segue x = ρ sinϕ cos θ y = ρ sinϕ sin θ z = ρ cosϕ Consideremos a função ϕ(θ, ρ, ϕ) = (ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) e o conjunto Eθρϕ = {(θ, ρ, ϕ) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ pi} em que r ≥ 0. A função ϕ transforma o conjunto Eθρϕ na esfera E de centro na origem e raio r. Vamos calcular o determinante jacobiano da função ϕ. ∂(x, y, z) ∂(θ, ρ, ϕ) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂θ ∂x ∂ρ ∂x ∂ϕ ∂y ∂θ ∂y ∂ρ ∂y ∂ϕ ∂z ∂θ ∂z ∂ρ ∂z ∂ϕ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣ −ρ sinϕ sin θ sinϕ cos θ ρ cosϕ cos θ ρ sinϕ cos θ sinϕ sin θ ρ cosϕ sin θ 0 cosϕ −ρ sinϕ ∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 sin3 ϕ sin2 θ + ρ2 sinϕ cos2 ϕ sin2 θ + ρ2 sin3 ϕ cos2 θ + ρ2 sinϕ cos2 ϕ cos2 θ = ρ2 sinϕ[sin2 ϕ sin2 θ + cos2 ϕ sin2 θ + sin2 ϕ cos2 θ + cos2 ϕ cos2 θ] = ρ2 sinϕ[sin2 ϕ(sin2 θ + cos2 θ) + cosϕ(sin2 θ + cos2 θ)] = ρ2 sinϕ[sin2 ϕ+ cos2 ϕ] = ρ2 sinϕ Portanto, ∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, ϕ) ∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ Assim, aplicando-se coordenadas esféricas à fórmula de mudança de variável na integral tripla, obtemos ∫ ∫ E ∫ f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ Eθρϕ ∫ f(ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ)ρ2 sinϕ dθdρdϕ Exemplo 1 Calcule ∫ ∫ B ∫ e(x 2+y2+z2) 3 2 dV , onde B é a bola unitária B = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 ≤ 1} Resolução: 2 Para que um ponto P , com coordenadas esféricas θ, ρ e ϕ, percorra toda bola unitária B, devemos ter 0 ≤ θ ≤ 2pi 0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ ϕ ≤ pi Para x = ρ sinϕ cos θ y = ρ sinϕ sin θ z = ρ cosϕ temos que x2 + y2 + z2 = (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2 + (ρ cosϕ)2 = ρ2 sin2 ϕ cos2 θ + ρ sin2 ϕ sin2 θ + ρ2 cos2 ϕ = ρ2[sin2 ϕ cos2 θ + sin2 ϕ sin2 θ + cos2 ϕ] = ρ2[sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ) + cos2 ϕ] = ρ2[sin2 ϕ+ cos2 ϕ] = ρ2 Portanto, ∫ ∫ B ∫ e(x 2+y2+z2) 3 2 dV = ∫ ∫ Bθρϕ ∫ e(ρ 2) 3 2 ρ2 sinϕ dθdρdϕ = ∫ ∫ Bθρϕ ∫ eρ 3 ρ2 sinϕ dθdρdϕ = ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 ∫ 1 0 eρ 3 ρ2 sinϕ dρdϕdθ Temos que ∫ 1 0 eρ 3 ρ2 sinϕ dρ = sinϕ ∫ 1 0 eρ 3 ρ2 dρ = sinϕ [ 1 3 eρ 3 ]1 0 = 1 3 sinϕ [ eρ 3 ]1 0 = 1 3 sinϕ [ e1 3 − e03 ] = 1 3 sinϕ(e− 1) = e− 1 3 sinϕ Logo, ∫ ∫ B ∫ e(x 2+y2+z2) 3 2 dV = ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 e− 1 3 sinϕ dϕdθ = e− 1 3 ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 sinϕ dϕdθ 3 Temos agora que, ∫ pi 0 sinϕ = [ − cosϕ ]pi 0 = [− cospi + cos 0] = [1 + 1] = 2 Portanto, ∫ ∫ B ∫ e(x 2+y2+z2) 3 2 dV = e− 1 3 ∫ 2pi 0 2 dθ = e− 1 3 [ 2θ ]2pi 0 = e− 1 3 [2.2pi − 2.0] = 4 3 pi(e− 1) Exemplo 2 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z =√ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = z. Resolução: A equação x2 + y2 + z2 = z pode ser reescrita como segue x2 + y2 + z2 − z = 0 x2 + y2 + z2 − 2.1 2 .z + ( 1 2 )2 = ( 1 2 )2 (x− 0)2 + (y − 0)2 + ( z − 1 2 )2 = ( 1 2 )2 Portanto, essa equação representa a esfera de centro no ponto ( 0, 0, 1 2 ) e raio 1 2 . A equação dessa esfera em coordenadas esféricas é dada por (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2 + (ρ cosϕ)2 = ρ cosϕ⇒ ρ2 = ρ cosϕ⇒ ρ = cosϕ A equação do cone z = √ x2 + y2 em coordenadas esféricas é dada por ρ cosϕ = √ (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2 = √ ρ2 sin2 ϕ cos2 θ + ρ2 sin2 ϕ sin2 θ = √ ρ2 sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ) = ρ sinϕ Portanto, cosϕ = sinϕ. Como 0 ≤ ϕ ≤ pi, temos que ϕ = pi 4 . Logo ϕ = pi 4 é a equação do cone z = √ x2 + y2 em coordenadas esféricas. 4 Para melhor visualização do sólido, que vamos denotar por E, determinemos a intersecção da esfera com o cone, embora isso não seja necessário para o cálculo da integral { z = x2 + y2 + z2 z = √ x2 = y2 ⇒ { z2 = z − x2 − y2 z2 = x2 + y2 Somando membro a membro essas duas igualdades, obtemos: 2z2 = z ⇒ 2z2 − z = 0⇒ z(2z − 1) = 0⇒ z = 0 ou z = 1 2 Para z = 0, obtemos x2 + y2 = 0. Logo x = y = 0. Portanto, (0, 0, 0) é um ponto de intersecção da esfera com o cone. Para z = 12 , obtemos x 2 = y2 = 1 2 . Portanto, z = 1 2 x2 + y2 = (√ 2 2 )2 Portanto, a esfera e o cone também se interceptam na circunferência de centro no ponto (0, 0, 1 2 ), raio 1 2 e contida em um plano paralelo ao plano xy. Esse sólido pode ser descrito, em coordenadas polares, por { (θ, ρ, ϕ); 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ pi 4 } V = volume de E = ∫ ∫ E ∫ dxdydz = ∫ ∫ Eθρϕ ∫ dθdρdϕ = ∫ 2pi 0 ∫ pi 4 0 ∫ cosϕ 0 ρ2 sinϕ dρdϕdθ Temos que ∫ cosϕ 0 ρ2 sinϕ dρ = sinϕ ∫ cosϕ 0 ρ2 dρ = sinϕ [ ρ3 3 ]cosϕ 0 = 1 3 sinϕ [ ρ3 ]cosϕ 0 = 1 3 sinϕ cos3 ϕ Portanto, V = ∫ 2pi 0 [∫ pi 4 0 1 3 sinϕ cos3 ϕ dϕ ] dθ Calculemos a integral interna 5 ∫ pi 4 0 1 3 sinϕ cos3 ϕ dϕ = 1 3 ∫ pi 4 0 sinϕ cos3 ϕ dϕ = 1 3 [ −1 4 cos4 ϕ ]pi 4 0 = − 1 12 [ cos4 ϕ ]pi 4 0 = − 1 12 [ cos4 pi 4 − cos4 0 ] = − 1 12 (√2 2 )4 − 1 = − 1 12 [ 1 4 − 1 ] = − 1 12 [ −3 4 ] = 1 16 Logo, V = ∫ 2pi 0 1 16 dθ = 1 16 ∫ 2pi 0 dθ = 1 16 [ θ ]2pi 0 = 1 16 [2pi − 0] = pi 8 Exemplo 3 Use a integral tripla para calcular o volume da esfera de raio r. Resolução: Consideremos a esfera E de raio r e centro na origem Temos que V = volume da esfera = ∫ ∫ E ∫ dxdydz Vamos usar coordenadas esféricas. Para isso, devemos considerar o seguinte conjunto Eθρϕ = {(θ, ρ, ϕ) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ pi} e, assim, temos, V = ∫ ∫ E θρϕ ∫ ρ2 sinϕ dθdρdϕ = ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 ∫ r 0 ρ2 sinϕ dρdϕdθ Temos que, ∫ r 0 ρ2 sinϕ dρ = sinϕ ∫ r 0 ρ2 dρ = sinϕ [ ρ3 3 ]r 0 = sinϕ [ r3 3 − 0 3 3 ] = r3 3 sinϕ Então, V = ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 r3 3 sinϕ dϕdθ = r3 3 ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 sinϕ dϕdθ Agora temos que, 6 ∫ pi 0 sinϕ dϕ = [ − cosϕ ]pi 0 = [− cospi + cos 0] = [1 + 1] = 2 Portanto, V = r3 3 ∫ 2pi 0 2 dθ = r3 3 [ 2θ ]2pi 0 = r3 3 [2.2pi − 2.0] = 4 3 pir3 Exemplo 4 Use integrais triplas para determinar o volume do cone circular reto de altura h e raio da base r. Resolução: Consideremos o cone da figura Por semelhança de triângulo, obtemos r ρ = h z ⇒ z = h r ρ Vamos usar coordenadas cilíndricas. Para que um ponto P percorra todo o cone é necessário que as suas coordenadas cilíndricas variem nos seguintes intervalos 0 ≤ θ≤ 2pi 0 ≤ ρ ≤ r h r ρ ≤ z ≤ h Denotando por C o cone, devemos ter então Cθρz = { (θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi; 0 ≤ ρ ≤ r, h r ρ ≤ z ≤ h } Temos então V = volume do cone = ∫ ∫ C ∫ dxdydz = ∫ ∫ Cθρz ∫ ρ dθdρdz = ∫ 2pi 0 ∫ r 0 ∫ h h r ρ ρ dzdρdθ Temos que, ∫ h h r ρ ρ dz = ρ ∫ h h r ρ dz = ρ [ z ]h h r ρ = ρ [ h− h r ρ ] = hρ− h r ρ2 Assim, V = ∫ 2pi 0 ∫ r 0 ( hρ− h r ρ2 ) dρdθ 7 Logo, ∫ r 0 ( hρ− h r ρ2 ) dρ = [ 1 2 hρ2 − h 3r ρ3 ]r 0 = 1 2 hr2 − h 3r r3 = 1 2 hr2 − h 3 r2 = ( 1 2 − 1 3 ) hr2 = 1 6 hr2 Portanto, V = ∫ 2pi 0 1 6 hr2 dθ = 1 6 hr2 ∫ 2pi 0 dθ = 1 6 hr2 [ θ ]2pi 0 = 1 6 hr2[2pi − 0] = 1 3 pir2h 8
Compartilhar