probabilidade e estatística aplicada à engenharia

Prévia do material em texto

1 
ATIVIDADES 
 
Probabilidade teórica de eventos 
 
EXERCÍCIO 1: Considere todos os números naturais de 4 algarismos distintos (não pode 
repetir) que se pode formar com os algarismos 1,3,4,7,8 e 9. Escolhendo um deles, ao 
acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7? 
 
Casos 
totais 
6. 5. 4. 3 
= 
n(S)=6.5.4.3=360=A6,4 
Casos 
favoráveis 
3 4 3 7 =n(A)=4.3=12=A4,2 
 
P(A)=12/360 = 1/30 = 0,03333 = 3,33% 
 
EXERCÍCIO 2: Num grupo de 75 jovens: 
 16 gostam de música, esporte e leitura; 
 24 gostam de música e esporte; 
 30 gostam de música e leitura; 
 22 gostam de esporte e leitura; 
 6 gostam somente de música; 
 9 gostam somente de esporte; 
 5 gostam somente de leitura. 
 
a) Qual a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele gostar de música? 
b) Qual a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele não gostar de 
nenhuma dessas atividades? 
 
Para solucionar o problema, devemos construir o Diagrama de Venn: 
 
 
 
 2 
 
 
6+8+9+16+14+6+5=64 
75-64=11 
 
n(A) = gostar de música = 6+8+16+14 = 
44 
P(A) = 44/75 = 0,58667 = 58,667% 
 
n(B) = não gostar de nenhuma atividade 
= 11 
P(B) = 11/75 = 0,14667 = 14,667% 
 
EXERCÍCIO 3: Um dado é jogado 3 vezes, uma após a outra. Pergunta-se: 
 
a) Quantos são os números possíveis de se construir em que os 3 algarismos obtidos são 
diferentes. Neste caso, a ordem gera um novo elemento. 
 
 A6,3 = 6.5.4 = 120 resultados com algarismos diferentes. 
 
b) Ao jogar 3 dados em sequência, assumindo a possibilidade de algarismos repetidos, 
qual a probabilidade de a soma dos resultados ser maior ou igual a 16? 
 
3 casos com os números 4+6+6 =16 
Mais 3 casos com os números 5+5+6=16 
Mais 3 casos com os números 6+6+5=17 
Mais 1 caso com os números 6+6+6=18 
Um total de 10 casos. 
 
NTC = número total de casos = 
6.6.6=36.6=216 
P (soma dos result. maior ou igual a 16)= 
NCF/NTC = 10 / 216 = 4,63% 
 
 
 
 3 
EXERCÍCIO 4: Escolha aleatoriamente (“aleatório” indica que os espaços são 
equiprováveis, isto é, que cada ponto amostral tem a mesma probabilidade) 1 carta do 
baralho com 52 cartas. Seja A={a carta é de ouros} e B={a carta é uma figura}. Calcule 
a) P(A) e b) P(B): 
 
23076,0
13
3
52
12
..
..
)(
25,0
4
1
52
13
..
..
)(


cartasdenum
figurasdenum
BP
cartasdenum
ourosdenume
AP
 
 
Regra da soma 
 
EXERCÍCIO 5: 3 cavalos A, B e C estão em uma corrida. A tem 2 vezes mais probabilidade 
de ganhar do que B, e B tem 2 vezes mais probabilidade de ganhar do que C. Quais são 
as probabilidades de vitória de cada um? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? 
Não existe a possibilidade de empate. 
 
P(C)=p 
P(B) = 2p 
P(A) = 2P(B) = 4p 
 
p+2p+4p = 1 
7p =1 
p =1/7 
Assim: 
P(C) = 1/7 
P(B) = 2/7 
P(A) = 4/7 
P(B ou C) = P(B)+P(C) =
7
3
7
1
7
2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
EXERCÍCIO 6: O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil de 
um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião: 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pessoa é sorteada ao acaso. 
 
Determine a probabilidade dos eventos: 
A = ser um homem; 
B = ser uma mulher; 
C = ser uma pessoa casada; 
D = ser uma pessoa solteira; 
E = ser uma pessoa viúva; 
F = ser uma pessoa divorciada; 
G = ser homem divorciado; 
H = ser homem ou casados; 
I = ser mulher casada; 
J = ser mulher ou divorciados. 
 
RESPOSTA: 
Estado civil Homem Mulher Total 
Casado 10 8 18 
Solteiro 5 3 8 
Viúvo 7 5 12 
Divorciado 8 4 12 
Total 30 20 50 
 
Estado civil Homem Mulher Total 
Casado 10 8 
Solteiro 5 3 
Viúvo 7 5 
Divorciado 8 4 
Total 
 
 
 
 5 
A = ser um homem P(A)=30/50=60% 
 
B = ser uma mulher b P(B)=20/50=40% 
 
C = ser uma pessoa casada P(C)=18/50=36% 
 
D = ser uma pessoa solteira 
 
P(D)=8/50 =16% 
E = ser uma pessoa desquitada P(E)=12/50 =24% 
 
F = ser uma pessoa divorciada P(F)=12/50 =24% 
 
G = ser homem divorciado P(G) = 8/50= 16% 
 
H = ser homem ou casado P(H) = 30/50 + 18/50 -
10/50 = 76% 
I = ser mulher casada P(I) = 8/50 = 16% 
J = ser mulher ou divorciado P(J) = 20/50 + 12/50 – 
4/50 = 56% 
 
EXERCÍCIO 7: O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil de 
um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião: 
 
Estado civil Homem Mulher Total 
Casado 10 8 18 
Solteiro 5 3 8 
Viúvo 7 5 12 
Divorciado 8 4 12 
Total 30 20 50 
 
 
Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos: 
 
 
 
 6 
P(Homem/casado)= 
P(solteira/mulher)= 
P(mulher/divorciado)= 
 
Solução: 
P(Homem/casado)= P(AD) / P(D) = (10/50) / (18/50) = 10/18 
P(solteiro/mulher)= P(AD) / P(D) = (3/50) / (20/50) = 3/20 
P(mulher/divorciado)= P(AD) / P(D) = (4/50) / (12/50) = 4/12 
 
EXERCÍCIO 8: Sabendo que no lançamento de 3 moedas não aconteceram 2 nem 3 
“coroas”, qual a probabilidade que as 3 moedas sejam “caras”? 
 
Usando o diagrama de árvore temos: 
Ca Ca Ca Evento 1 
Ca Ca Co Evento 2 
Ca Co Ca Evento 3 
Ca Co Co Evento 4 
Co Ca Ca Evento 5 
Co Ca Co Evento 6 
Co Co Ca Evento 7 
Co Co Co Evento 8 
 
O evento Y (não aconteceram 2 nem 3 “coroas”) é composto pelos eventos elementares 
{E1, E2, E3, E5}. O evento que nos interessa é composto por um único evento elementar 
X={E1}. Portanto, a probabilidade de que aconteça X, sabendo que aconteceu Y, é a 
probabilidade condicional P(X/Y) = ¼ = 0,25 = 25% 
 
Ao tomar conhecimento do evento Y, o espaço amostral foi reduzido de 8 para 4 eventos 
elementares. Assim, a probabilidade de 3 moedas serem “caras” aumentou de 12,5% 
para 25%. 
Neste exemplo: 
 
 
 
 7 
%25,0
4
1
.4
.1
)(
)(
)/( 


favoráveiscasos
favorávelcaso
YP
YXP
YXP
 
 
EXERCÍCIO 9: Uma urna contém 3 bolas, 2 verdes e 1 branca. 2 bolas são retiradas em 
sequência, 1 por vez com reposição. Calcule a probabilidade de que a 2ª bola seja 
verde, sabendo que a 1ª também foi verde? 
 
Solução: O espaço amostral inicial é S={VV,VB,BV,BB} 
Evento Y = primeira bola é verde = {VV, VB} 
Evento X = {VV} 
P(X/Y) = ½ = 50% 
 
EXERCÍCIO 10: 2 dados são lançados. Consideremos os eventos: 
 
A={(x1;x2)/x1+x2=10} e 
B={(x1;x2)/x1>x2} 
 
Onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2. 
Avaliar P(A), P(B), P(A/B) e P(B/A). 
 
Solução: 
 
 
Existem 6x6 = 36 possibilidades enumeradas a seguir: 
 
 
 
 8 
 
 
%33,33
3
1
)(
)(
)/(
%66,6
15
1
)(
)(
)/(
%66,41
12
5
36
15
)(
%33,8
12
1
36
3
)(








ANCF
BANCF
ABP
BNCF
BANCF
BAP
BP
AP
 
 
EXERCÍCIO 11: Os estudantes de um colégio, presentes em uma reunião, foram 
classificados por sexo e por opção de área de formação, segundo o quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular as probabilidades de que (probabilidade condicional): 
a- Sendo ALUNA, qual a probabilidade de optar por ADM: P(ADM/F) 
b- Sendo ALUNO, qual a probabilidade de optar por ECONOMIA: P(ECO/M) 
c- Sendo de CIÊNCIAS CONTÁBEIS, qual a probabilidade de ser HOMEM: P(M/CC) 
d- Sendo ALUNO, qual a probabilidade de optar por CIÊNCIAS CONTÁBEIS: P(CC/M) 
 
 
Opção 
Sexo 
Masculino Feminino 
ADM 10 8 
CC 6 5 
ECO 8 49 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular as probabilidades de que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra do produto 
 
EXERCÍCIO 12: Em uma caixa temos 10 peças das quais 4 são defeituosas. São retiradas 
2 peças, uma após a outra, com reposição. Calcule a probabilidade de ambas serem 
boas? 
 
A={a primeira é boa} 
B={a segunda é boa} 
A e B são independentes. Então: 
 
36,0
25
9
100
36
10
6
10
6
)()()(  BPAPBAP
Opção 
Sexo 
Masculino Feminino TOTAL 
ADM 10 8 18 
CC 6 5 11 
ECO 8 4 12 
TOTAL 24 17 41 
a 
P(ADM/fem) = NCF(ADM  fem) / NCF(fem) = (8/41) / 
(17/41) = 8/17 
b 
P(ECO/masc) = NCF(ECO  masc) / NCF(masc) = (8/41) / 
(24/41) = 8/24 
c 
P(masc /CC) = NCF(masc  CC) / NCF(CC) = (6/41) / (11/41) 
= 6/11 
d 
P(CC/ masc) = NCF(CC  masc) / NCF(masc) = (6/41) / 
(24/41) = 6/24 
 
 
 
 1
0 
 
EXERCÍCIO 13: Em um grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas pela gripe 
A e 11 pela gripe B, não se verificando nenhum caso de incidência conjunta de A e B. 2 
pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente, uma após a outra, sem reposição. 
Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja afetada por A 
e a segunda por B? 
 
Qual a probabilidade da primeira ter gripe A e da segunda ter gripe B? 
 
Esse é um caso de probabilidade condicional. 
 
P(A) e P(B, A tendo ocorrido) = 
%77,20277,0
99
11
100
25

 
 
EXERCÍCIO 14: Uma urna contém 3 bolas pretas e 5 bolas brancas. Quantas bolas azuis 
devem ser colocadas nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a 
probabilidade de que ela seja azul seja igual a 2/3? 
 
 
Solução 1: 
 
Usando uma regra de três simples 
temos: 
8 está para 1/3 
Assim como: 
X está para 2/3 
 
X = 16 bolas azuis 
 
 
Solução 2: 
16
3216
8533
2
)(






n
nn
n
n
n
n
NCT
NCF
aP
 
 
A urna deve ter 16 bolas azuis. 
 
 
 
EXERCÍCIO 15: Considere agora que outra urna contém: 
 
 
 
 1
1 
 1 bola preta; 
 4 bolas brancas; 
 x bolas azuis. 
 
1 bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. 
Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, 1 bola dessa urna. Para que valores de x a 
probabilidade de que as 2 bolas sejam da mesma cor vale ½? 
 
Solução: 
 
NCT = número de casos totais = 
1p+4b+xa = 5+x 
 P(pp)+P(bb)+P(aa)=1/2 
 
 
1..9
2
810
2
3610010
0910
1025342
2
1
)5(
17
2
1
)5()5(
16
)5(
1
55
)(
5
4
5
4
)(
5
1
5
1
)(
2
22
2
2
222
oux
xx
xxx
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
aaP
xx
bbP
xx
ppP




























 
 
 
Pode-se ter 1 ou 9 bolas azuis que a probabilidade de sair 2 bolas da mesma cor será 
50%. 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 16: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. 2 peças são retiradas 
aleatoriamente. Calcule: 
 
 
 
 1
2 
a- A probabilidade de ambas serem defeituosas; 
b- A probabilidade de ambas não serem defeituosas; 
c- A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
 
Primeira maneira de resolver: 
Use a fórmula: 
casosdetotalnumero
favoráveiscasosdenumero
possiveisresultadosdetotalnumero
condiçãoatendemàqueeventosdenumero
AP
...
...
....
.....
)( 
 
66
!10!2
!12
.. 2,12 CocorrerpodeS
 = número total de casos possíveis 
 
LETRA A: A probabilidade de ambas serem defeituosas: 
6
!2!2
!4
.. 2,4 CocorrerpodeA
 = número total de casos favoráveis a A. 
090909,0
11
1
66
6
)( AP
 
 
LETRA B: A probabilidade de ambas não serem defeituosas = ambas serem boas: 
424242,0
33
14
66
28
)(
28
!6!2
!8
.. 2,8


BP
vezesCocorrerpodeB
 
 
LETRA C: A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
C é o complemento de B, então: 
P(C) =1 - P(B) = 1- 14/33 = 19/33 = 0,575757= 57,57% 
 
Segunda maneira de resolver: 
P(ao menos uma defeituosa) = P(uma defeituosa) ou P(duas defeituosas) = 
P(ao menos uma defeituosa) = P(uma.defeituosa)+P(duas.defeituosas) 
 
 
 
 1
3 
%09,9
132
12
11
3
12
4
).(
%48,48
132
3232
11
4
12
8
11
8
12
4
).(




sdefeituosaduasP
defeituosaumaP
 
P(ao menos uma defeituosa) =48,48%+9,09% = 57,57% 
 
EXERCÍCIO 17: Recalcule as respostas do exemplo anterior (que foi calculado 
enumerando-se os casos com combinação), usando probabilidade condicional: 
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas; 
b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas; 
c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa (é o complemento de ambas 
serem boas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
4 
EXERCÍCIO 18: Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao 
pegar, ao acaso, 3 parafusos, qual é a probabilidade de que: 
a)Os 3 sejam perfeitos? 
b) Os 3 sejam defeituosos? 
c) Pelo menos 2 sejam defeituosos? 
d) Pelo menos 1 seja defeituoso? 
 
NCT= número total de casos = Combinação de 50 elementos 3 a 3 = 
19600
23
484950
!3
3,50
3,50 



A
C
 
 
a) 
%3979,72
117600
85140
48
43
49
44
50
45
).3(
.Pr..
%3979,72
19600
14190
).3(
14190
23
434445
!3
3,45
3,45






perfeitosP
lCondicionaeobabilidadporOU
NCT
NCF
perfeitosP
A
C
 
 
b) 
%05102,0
48
3
49
4
50
5
).3(
.Pr..
%05102,0
19600
10
).3(
10
23
345
!3
3,5
3,5






sdefeituosoP
lCondicionaeobabilidadporOU
NCT
NCF
sdefeituosoP
A
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
5 
c) (2 defeituosos  DDP, DPD, PDD) 
%3469387,2%05102,0%2959,2.).3..2(
%2959,2
4490
45
48
45
49
4
50
5
3.).2(
.Pr..
%3496,2%05102,0%2959,2).3..2(
%2959,2
19600
450
).2(
450
1
45
2
45
1,452,5









defouP
defP
lCondicionaeobabilidadporOU
sdefeituosoouP
sdefeituosoP
CC
 
 
d) 
Pelo menos 1 defeituoso = 1 – 3 perfeitos = 1-72,397% = 27,602% 
OU por Probabilidade Condicional: 
Pelo menos 1 defeituoso = 1 def + 2 def + 3 def 
P(1 def) = 
%255102,25
117600
29700
48
44
49
45
50
5
3 
 
 
P(1 def) + P(2def) + P(3def) = 25,255102%+2,3469387% = 27,602% 
 
Teorema de bayes 
 
EXERCÍCIO 19: Um certo programa pode ser usado com uma entre duas sub-rotinas A e 
B, dependendo do problema. A experiência tem mostrado que a sub-rotina A é usada 
40% das vezes e B é usada 60% das vezes. Se A é usada, existe 75% de chance de que o 
programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo. Se B é usada, a chance é 
de 50%. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade 
de que a sub-rotina A tenha sido escolhida? 
 
P(A) = 0,4 e P(R/A) = 0,75 então P(A) x P(R/A) = 0,300 
P(B) = 0,6 e P(R/B) = 0,50 então P(B) x P(R/B) = 0,300 
Logo P(R) = 0,300 + 0,300 = 0,600 
Então, 
 
 
 
 1
6 
P(A/R) = 0,3/0,6 = 0,5 ou 50%. 
 
[Fonte: Estatística Básica – Luiz Gonzaga Morettin 6a edição, p.29]