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probabilidade e estatística aplicada à engenharia

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ATIVIDADES 
 
Probabilidade teórica de eventos 
 
EXERCÍCIO 1: Considere todos os números naturais de 4 algarismos distintos (não pode 
repetir) que se pode formar com os algarismos 1,3,4,7,8 e 9. Escolhendo um deles, ao 
acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7? 
 
Casos 
totais 
6. 5. 4. 3 
= 
n(S)=6.5.4.3=360=A6,4 
Casos 
favoráveis 
3 4 3 7 =n(A)=4.3=12=A4,2 
 
P(A)=12/360 = 1/30 = 0,03333 = 3,33% 
 
EXERCÍCIO 2: Num grupo de 75 jovens: 
 16 gostam de música, esporte e leitura; 
 24 gostam de música e esporte; 
 30 gostam de música e leitura; 
 22 gostam de esporte e leitura; 
 6 gostam somente de música; 
 9 gostam somente de esporte; 
 5 gostam somente de leitura. 
 
a) Qual a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele gostar de música? 
b) Qual a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele não gostar de 
nenhuma dessas atividades? 
 
Para solucionar o problema, devemos construir o Diagrama de Venn: 
 
 
 
 2 
 
 
6+8+9+16+14+6+5=64 
75-64=11 
 
n(A) = gostar de música = 6+8+16+14 = 
44 
P(A) = 44/75 = 0,58667 = 58,667% 
 
n(B) = não gostar de nenhuma atividade 
= 11 
P(B) = 11/75 = 0,14667 = 14,667% 
 
EXERCÍCIO 3: Um dado é jogado 3 vezes, uma após a outra. Pergunta-se: 
 
a) Quantos são os números possíveis de se construir em que os 3 algarismos obtidos são 
diferentes. Neste caso, a ordem gera um novo elemento. 
 
 A6,3 = 6.5.4 = 120 resultados com algarismos diferentes. 
 
b) Ao jogar 3 dados em sequência, assumindo a possibilidade de algarismos repetidos, 
qual a probabilidade de a soma dos resultados ser maior ou igual a 16? 
 
3 casos com os números 4+6+6 =16 
Mais 3 casos com os números 5+5+6=16 
Mais 3 casos com os números 6+6+5=17 
Mais 1 caso com os números 6+6+6=18 
Um total de 10 casos. 
 
NTC = número total de casos = 
6.6.6=36.6=216 
P (soma dos result. maior ou igual a 16)= 
NCF/NTC = 10 / 216 = 4,63% 
 
 
 
 3 
EXERCÍCIO 4: Escolha aleatoriamente (“aleatório” indica que os espaços são 
equiprováveis, isto é, que cada ponto amostral tem a mesma probabilidade) 1 carta do 
baralho com 52 cartas. Seja A={a carta é de ouros} e B={a carta é uma figura}. Calcule 
a) P(A) e b) P(B): 
 
23076,0
13
3
52
12
..
..
)(
25,0
4
1
52
13
..
..
)(


cartasdenum
figurasdenum
BP
cartasdenum
ourosdenume
AP
 
 
Regra da soma 
 
EXERCÍCIO 5: 3 cavalos A, B e C estão em uma corrida. A tem 2 vezes mais probabilidade 
de ganhar do que B, e B tem 2 vezes mais probabilidade de ganhar do que C. Quais são 
as probabilidades de vitória de cada um? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? 
Não existe a possibilidade de empate. 
 
P(C)=p 
P(B) = 2p 
P(A) = 2P(B) = 4p 
 
p+2p+4p = 1 
7p =1 
p =1/7 
Assim: 
P(C) = 1/7 
P(B) = 2/7 
P(A) = 4/7 
P(B ou C) = P(B)+P(C) =
7
3
7
1
7
2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
EXERCÍCIO 6: O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil de 
um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião: 
 
 
 
 
 
 
 
Uma pessoa é sorteada ao acaso. 
 
Determine a probabilidade dos eventos: 
A = ser um homem; 
B = ser uma mulher; 
C = ser uma pessoa casada; 
D = ser uma pessoa solteira; 
E = ser uma pessoa viúva; 
F = ser uma pessoa divorciada; 
G = ser homem divorciado; 
H = ser homem ou casados; 
I = ser mulher casada; 
J = ser mulher ou divorciados. 
 
RESPOSTA: 
Estado civil Homem Mulher Total 
Casado 10 8 18 
Solteiro 5 3 8 
Viúvo 7 5 12 
Divorciado 8 4 12 
Total 30 20 50 
 
Estado civil Homem Mulher Total 
Casado 10 8 
Solteiro 5 3 
Viúvo 7 5 
Divorciado 8 4 
Total 
 
 
 
 5 
A = ser um homem P(A)=30/50=60% 
 
B = ser uma mulher b P(B)=20/50=40% 
 
C = ser uma pessoa casada P(C)=18/50=36% 
 
D = ser uma pessoa solteira 
 
P(D)=8/50 =16% 
E = ser uma pessoa desquitada P(E)=12/50 =24% 
 
F = ser uma pessoa divorciada P(F)=12/50 =24% 
 
G = ser homem divorciado P(G) = 8/50= 16% 
 
H = ser homem ou casado P(H) = 30/50 + 18/50 -
10/50 = 76% 
I = ser mulher casada P(I) = 8/50 = 16% 
J = ser mulher ou divorciado P(J) = 20/50 + 12/50 – 
4/50 = 56% 
 
EXERCÍCIO 7: O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil de 
um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião: 
 
Estado civil Homem Mulher Total 
Casado 10 8 18 
Solteiro 5 3 8 
Viúvo 7 5 12 
Divorciado 8 4 12 
Total 30 20 50 
 
 
Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos: 
 
 
 
 6 
P(Homem/casado)= 
P(solteira/mulher)= 
P(mulher/divorciado)= 
 
Solução: 
P(Homem/casado)= P(AD) / P(D) = (10/50) / (18/50) = 10/18 
P(solteiro/mulher)= P(AD) / P(D) = (3/50) / (20/50) = 3/20 
P(mulher/divorciado)= P(AD) / P(D) = (4/50) / (12/50) = 4/12 
 
EXERCÍCIO 8: Sabendo que no lançamento de 3 moedas não aconteceram 2 nem 3 
“coroas”, qual a probabilidade que as 3 moedas sejam “caras”? 
 
Usando o diagrama de árvore temos: 
Ca Ca Ca Evento 1 
Ca Ca Co Evento 2 
Ca Co Ca Evento 3 
Ca Co Co Evento 4 
Co Ca Ca Evento 5 
Co Ca Co Evento 6 
Co Co Ca Evento 7 
Co Co Co Evento 8 
 
O evento Y (não aconteceram 2 nem 3 “coroas”) é composto pelos eventos elementares 
{E1, E2, E3, E5}. O evento que nos interessa é composto por um único evento elementar 
X={E1}. Portanto, a probabilidade de que aconteça X, sabendo que aconteceu Y, é a 
probabilidade condicional P(X/Y) = ¼ = 0,25 = 25% 
 
Ao tomar conhecimento do evento Y, o espaço amostral foi reduzido de 8 para 4 eventos 
elementares. Assim, a probabilidade de 3 moedas serem “caras” aumentou de 12,5% 
para 25%. 
Neste exemplo: 
 
 
 
 7 
%25,0
4
1
.4
.1
)(
)(
)/( 


favoráveiscasos
favorávelcaso
YP
YXP
YXP
 
 
EXERCÍCIO 9: Uma urna contém 3 bolas, 2 verdes e 1 branca. 2 bolas são retiradas em 
sequência, 1 por vez com reposição. Calcule a probabilidade de que a 2ª bola seja 
verde, sabendo que a 1ª também foi verde? 
 
Solução: O espaço amostral inicial é S={VV,VB,BV,BB} 
Evento Y = primeira bola é verde = {VV, VB} 
Evento X = {VV} 
P(X/Y) = ½ = 50% 
 
EXERCÍCIO 10: 2 dados são lançados. Consideremos os eventos: 
 
A={(x1;x2)/x1+x2=10} e 
B={(x1;x2)/x1>x2} 
 
Onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2. 
Avaliar P(A), P(B), P(A/B) e P(B/A). 
 
Solução: 
 
 
Existem 6x6 = 36 possibilidades enumeradas a seguir: 
 
 
 
 8 
 
 
%33,33
3
1
)(
)(
)/(
%66,6
15
1
)(
)(
)/(
%66,41
12
5
36
15
)(
%33,8
12
1
36
3
)(








ANCF
BANCF
ABP
BNCF
BANCF
BAP
BP
AP
 
 
EXERCÍCIO 11: Os estudantes de um colégio, presentes em uma reunião, foram 
classificados por sexo e por opção de área de formação, segundo o quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular as probabilidades de que (probabilidade condicional): 
a- Sendo ALUNA, qual a probabilidade de optar por ADM: P(ADM/F) 
b- Sendo ALUNO, qual a probabilidade de optar por ECONOMIA: P(ECO/M) 
c- Sendo de CIÊNCIAS CONTÁBEIS, qual a probabilidade de ser HOMEM: P(M/CC) 
d- Sendo ALUNO, qual a probabilidade de optar por CIÊNCIAS CONTÁBEIS: P(CC/M) 
 
 
Opção 
Sexo 
Masculino Feminino 
ADM 10 8 
CC 6 5 
ECO 8 4