Aula 11 -Modelos probabilísticos va discretas_nova (1)

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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas
Referências: 
Bussab e Morettin, Cap. 6. 
Webster, Cap.5
Distribuição uniforme discreta
Distribuição uniforme discreta
Distribuição uniforme discreta
Exemplo: X = “número de pontos marcados na face superior de um dado”:
 
Distribuição de Bernoulli
Uma variável discreta tipo Bernoulli é aquela que assume apenas dois tipos de resultados possíveis: 1 (sucesso) ou 0 (fracasso). 
Se conhecermos o parâmetro p da distribuição, a probabilidade de sucesso P(X=1)=p, então o comportamento da variável é completamente descrito, pois P(X=0)=(1-p). 
Exemplos: um aluno comparecer (1) ou não comparecer (0) no dia da prova; um carro recém fabricado apresentar (1) ou não apresentar defeito de fabricação (0) ; em um levantamento de dados de domicílios, um chefe de família se encontrar ocupado (1) ou não ocupado (0) no mercado de trabalho; um chefe de família ser do sexo masculino (1) ou feminino (0); em um lançamento de moeda, sair o resultado coroa (1) ou cara (0) etc.
Atribui-se o número um ao resultado que se escolhe chamar de “sucesso” e zero ao resultado que se escolhe chamar de “fracasso” sem que isso carregue qualquer juízo de valor. 
Distribuição de Bernoulli
Distribuição de Bernoulli
Distribuição Binomial
Frequentemente estamos interessados no número de sucessos em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes.
Um exemplo padrão de ensaios de Bernoulli independentes é jogar repetidamente uma moeda. Como o resultado de qualquer lance particular não tem nada a ver com os resultados dos outros lances, a independência é uma hipótese apropriada. 
Mas a independência muitas vezes pode ser uma aproximação razoável em situações mais complicadas.
 Por exemplo: considere o problema de uma companhia aérea que precisa decidir quantas reservas aceitar para um voo de 100 lugares. 
Para qualquer passageiro selecionado aleatoriamente, considere uma variável aleatória de Bernoulli como Y=1 se a pessoa aparecer para embarque, e Y=0 se não aparecer.
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
No Excel, o comando para o cálculo é:
=DISTR.BINOM(num_s; tentativas; probabilidade_s; cumulativo). 
No exemplo dado, para n=120 e p=0,85, queremos:
P(X=101)→ =DISTR.BINOM(101; 120;0,85; FALSO)=0,0962
P(X=102)
...
P(X=120)
Soma das probabilidades: 0,659
Distribuição Binomial
Usando a Tabela:
Numa loja de eletrodomésticos, os vendedores conseguem vender pra 25% dos clientes que atendem. Se um membro da equipe atender 12 fregueses hoje, qual a probabilidade de que realize apenas uma venda? 
Então, neste caso: n=12, x=1 e p=0,25.
Na Tabela: 
1º localizar n=12
2º localizar p=0,25
3º localizar sucesso x=1
P(x=1)=0,1267 ou 12,67% a chance de que apenas uma venda seja feita. 
Distribuição Binomial Acumulada
Ainda com respeito ao caso da companhia aérea, também pode ser de interesse calcular a probabilidade de que 50 ou menos passageiros apareçam para o embarque, o que envolve conhecer a distribuição acumulada da Binomial com n=120, p=0,85 e x=50.
Outro exemplo: seja X uma v.a. discreta que segue uma Binomial assumindo os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. Seja p=0,20.
 O evento A consiste em X=0,1, 2, 3. O evento B consiste em X= 4, 5. 
Pela tabela da Binomial Acumulada, com n=5, p=0,20 e x=3, achamos que P(A) =P(X≤3) =0,9933.
Do mesmo modo, se o interesse for P(B)=P(X≥4)=1-P(A)=0,0067.
Se o interesse for P(1<X≤3)=F(3)-F(1) = 0,9833-0,7373 = 0,246
*OBS: Tabela da Binomial Acumulada: Webster. Tabela C – Binomial Acumulada, p.588-597. Atenção: na Binomial Acumulada, por exemplo, para n=2 tem-se F(x) para X=0 e X=1 apenas, pois F(2)=1 (diferença com relação à tabela da Binomial normal).
Distribuição Binomial Acumulada
Se a probabilidade de sucesso for maior que 0,50, para usar as tabelas da Binomial é preciso pensar no complementar do evento no qual estamos interessados. 
Exemplo: seja p=0,80 e se quer obter P(X≤ 3)
 X (sucesso)= 0 1 2 3 4 5 , com p=0,80
Xc (fracasso)= 5 4 3 2 1 0, com p=0,20 
Olhar na Tabela da Binomial Acumulada:
P(X ≤ 3 / n=5, p=0,80) = 1 – P(Xc ≤ 1/ n=5, p=0,2)
	= 1 – 0,7373 = 0,2627 
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Hipergeométrica
Cálculo no Excel:
=DIST.HIPERGEOM.N(exemplo_s;exemplo_núm;população_s; população_núm)
Onde:
exemplo_s = número de sucessos na amostra(x)
exemplo_núm=tamanho da amostra (n)
população_s= número de indivíduos na população com a característica de sucesso (r)
população_núm= tamanho da população (N)
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson também se trata de uma distribuição de variáveis aleatórias discretas. É usada para se medir a probabilidade da frequência de um evento num determinado período de tempo ou espaço, superfície, volume.
Exemplos cálculos que envolvem uma Poisson (λt):
Passagem de carros nos pedágios por hora
Entrada de clientes na agência a cada meia hora
Saques nos TAE por hora
Acessos até a 1ª hora após abertura do caixa
Número de casos de dengue por dia
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Distribuição Geométrica 
Modelos para Variáveis Discretas
Exercícios 
Webster Cap. 5: 4, 5, 8, 13, 18, 17, 20, 21, 39, 41, 43, 45. 
Bussab & Morettin: Cap. 6 : 1, 2, 7, 8 , 17, 18, 19, 20, 21 ,22, 24, 35.