Aula - Intervalos de Confiança - Proporção Populacional

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Prof.: Renato Francisco Merli 
2012 
Inferência Estatística 
Revisão – Aula Passada 
 
T
a
b
e
l
a 
t 
Exercícios 
01) Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 
segundos, um locutor levou em média 29,2 segundos com 
uma S2 = 5,76 segundos. Construir os limites de confiança 
para a média. Dado  = 10% 
 
Resposta: I.C. = [26,38 ; 32,02] 
 
 
Exercícios 
02) Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se 
as seguintes medidas para os diâmetros: 
10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 
 
a) Estimar a média e a variância. 
Respostas: =13,13 2=2,05 
b) Construir um intervalo de confiança para a média sendo  = 5%. 
Respostas: I.C. = [12,60 ; 13,66] 
 
 
Exercícios 
03) Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu-se os seguintes 
pesos: 
250 265 267 269 271 275 
277 281 283 284 287 289 
291 293 293 298 301 303 
306 307 307 309 311 315 
319 322 324 328 335 339 
 Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se 
esta amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 
300 kg. Adote = 5% 
Resposta: Satisfaz, pois com 1 -  = 95% o intervalo é 
[288,33 ; 304,93] 
 
Exercícios 
04) Para avaliar a precisão na embalagem de arroz, a fiscalização 
pesou 28 unidades da marca A, que forneceu os seguintes 
valores: 𝑥 = 4962 gramas e S = 48 gramas. Se o peso médio 
exigido é de 5000 gramas, construa um intervalo de confiança 
para a média embalada pela Marca A, com um nível de 
significância de 5% e responda se a marca deve ser penalizada? 
 
Resposta: I.C=[4943,39 ; 4980,61]. Deve ser penalizada, pois 
não atende o exigido. 
 
R
e
s
u
m
o
 
Intervalo de Confiança para a 
Proporção Populacional (p) 
Inquietações 
 Que porcentagem de peças numa grande remessa 
apresenta defeito? 
 
 Que proporção de eleitores aprova determinado projeto? 
 
 Qual a probabilidade de um aluno do curso primário não 
ser vacinado? 
 
Importante 
 A estimativa de proporções populacionais é semelhante a 
de médias populacionais. 
 
 A distribuição t não é usada para estimativa de proporções. 
 
 
 “Normalmente” em intervalos de 95% e 99% usamos 
gráficos para a estimativa. 
Estimativa Pontual da Proporção 
 O valor esperado de uma proporção amostral é sempre igual 
à verdadeira proporção da população. Usa-se portanto, a 
proporção amostral como estimativa pontual da verdadeira 
proporção: 
 
 Estimativa pontual de p: 𝑝 =
𝑥
𝑛
 
 
 Como não conhecemos o valor de p (populacional) usamos f 
(proporção amostral) como estimador de p. 
 
𝑓 = 𝑝 
Exemplo 
 Em uma pesquisa com 1219 adultos brasileiros, 354 disseram 
que seu esporte favorito para assistir é o voleibol. Encontre 
uma estimativa pontual para a proporção populacional de 
adultos brasileiros que dizem que seu esporte favorito é o 
voleibol. 
 
Solução: Usando n=1219 e x=354, temos 
𝒑 =
𝟑𝟓𝟒
𝟏𝟐𝟏𝟗
 
𝒇 = 𝒑 ≈ 𝟎, 𝟐𝟗𝟎𝟒𝟎𝟐 ≈ 𝟐𝟗, 𝟎𝟒% 
Estimativa Intervalar da Proporção 
 Assim o intervalo de confiança fica: 
 
 
 
 
 
 
 Onde 𝑓 =
𝑥
𝑛
 
 
 
 
   
α α
2 2
f 1- f f 1- f
P f . p f . 1 α
n n
Z Z
 
      
 
 
Estimativa Intervalar da Proporção 
𝑝:
𝑥
𝑛
± 𝑧
𝑥 𝑛 1 − 𝑥 𝑛 
𝑛
 
 
x=número de itens na amostra 
z=desvio padrão normal 
n=tamanho da amostra 
Exemplo 
 Determine um intervalo de 98% de confiança para a 
verdadeira proporção populacional, se x=50 e n=200. 
𝑝:
𝑥
𝑛
± 𝑧
𝑥 𝑛 1 − 𝑥 𝑛 
𝑛
 
 Solução: 
 1-=98% (1-)/2=0,490z=2,33 
 𝒑:
𝟓𝟎
𝟐𝟎𝟎
± 𝟐. 𝟑𝟑
𝟎,𝟐𝟓 (𝟎,𝟕𝟓)
𝟐𝟎𝟎
 
 𝒑: 𝟎, 𝟐𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟕 
 𝑷 𝟎, 𝟏𝟖 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟑𝟐 = 𝟗𝟖% 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Examinamos 500 peças de uma grande produção e encontramos 260 
defeituosas. Com um nível de 90% de confiança, construa um intervalo de 
confiança para a verdadeira proporção de peças defeituosas. 
𝑝:
𝑥
𝑛
± 𝑧
𝑥 𝑛 1 − 𝑥 𝑛 
𝑛
 
 Solução: 
 1-=90% (1-)/2=0,450z=1,64 
 𝒑:
𝟐𝟔𝟎
𝟓𝟎𝟎
± 𝟏, 𝟔𝟒
𝟎,𝟓𝟐 (𝟎,𝟒𝟖)
𝟓𝟎𝟎
 
 𝒑: 𝟎, 𝟓𝟐 ± 𝟎, 𝟎223 
 𝑷 𝟎, 𝟒𝟗𝟕 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟓𝟒𝟐 = 𝟗𝟎% 
 
 
Exemplo 
 
Exercícios 
01) Um grupo de pesquisa governamental constatou que 25% 
das 200 grandes empresas do Estado não pagam em dia os 
tributos estaduais. Supondo que foi tomada uma amostra 
aleatória, estime através de um intervalo com 90% de 
confiança a proporção de empresas que não pagam os 
tributos em dia. 
 
Resposta: I.C = [0,2 ; 0,3] 
 
Exercícios 
02) Em recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes 
de uma grande cidade, 40 se mostraram favoráveis ao 
restabelecimento da pena de morte. Construa um intervalo 
de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos 
habitantes daquela cidade à pena de morte. 
 
Resposta: I.C=[0,13 ; 0,28] 
 
Exercícios 
3) Um grupo de pesquisa de mercado contatou que 25% 
dos 200 fregueses recentemente entrevistados num grande 
shopping center suburbano residem a mais de 15 km do 
local. Suponha que foi tomado uma amostra aleatória. 
Construa um intervalo de 95% de confiança para a 
percentagem efetiva de fregueses que moram a mias de 15 
km do shopping center. 
 
Resposta: I.C=[0,19 ; 0,32]