Aula - Intervalos de Confiança

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Prof.: Renato Francisco Merli 
2012 
Inferência Estatística 
O que é? 
 Inferência Estatística é poder fazer afirmações sobre 
características de uma população, baseando-se em 
resultados de uma amostra. 
 O uso de informações da amostra para concluir 
sobre o todo faz parte da atividade diária da maioria 
das pessoas. 
 Basta observar como uma cozinheira verifica se o 
prato tem ou não a quantia adequada de sal. 
O que é? 
 Ou ainda, quando uma dona de casa, após 
experimentar um pedaço de laranja numa banca de 
feira, decide se as compras ou não. 
 Essas são decisões baseadas em procedimentos 
amostrais. 
 O objetivo de nosso estudo é conhecer algumas 
técnicas de inferência aplicada em situações 
científicas. 
 
Estimação 
 A estimação é o processo que consiste no uso de 
dados da amostra (dados amostrais) para estimar 
valores de parâmetros populacionais desconhecidos, 
tais como média, desvio padrão, proporções etc. 
 
 É um raciocínio tipicamente indutivo, em que se 
generalizam resultados da parte (amostra) para o 
todo (população). 
 
Alguns Conceitos 
 Parâmetro: alguma característica descritiva dos 
elementos de uma população (média, proporção, 
variância,...). 
 
 
 Estimador ou Estatística: alguma informação 
determinada a partir de dados amostrais. 
 
Estimativas Pontuais e Intervalares 
Estimativas Pontuais 
 É quando fazemos uma única estimativa (um valor) 
para um determinado parâmetro populacional. 
Vejamos os exemplos: 
Estimativas Intervalares 
 É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de 
valores possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro 
populacional. Vejamos: 
 
 
 
 Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores 
em torno do parâmetro amostral, no qual julgamos, 
com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da 
população. 
 A esse intervalo chamamos intervalo de confiança. 
Intervalos de Confiança 
 Trata-se de uma técnica para se fazer inferência estatística. 
Ou seja, a partir de um intervalo de confiança, construído 
com os elementos amostrais, pode-se inferir sobre um 
parâmetro populacional. 
 
 Intervalo de confiança é um intervalo de valores, limitado 
por um valor mínimo e um valor máximo, usado 
para estimar um parâmetro desconhecido da população, 
de forma que permita afirmar que o verdadeiro valor do 
parâmetro estará contido nesse intervalo. 
 
Intervalo de Confiança 
 Vamos então considerar o intervalo de valores [a, b], 
simétricos em torno da média do parâmetro , tal 
que a probabilidade de  pertencer ao intervalo seja 
igual a 1 - , isto é: 
 
Nível de Confiança 
 Esta probabilidade 1 -  é chamada de nível de 
confiança (ou grau de certeza), é preestabelecido 
pelo pesquisador e significa que, retiradas todas as 
amostras da população e construídos todos os 
intervalos de confiança, poderemos dizer que 
(1 - )% destes intervalos conterão o parâmetro . 
Nível de Significância 
 Da mesma forma, podemos afirmar que para cada 
intervalo, teremos % de probabilidade de que o 
mesmo não contenha . Este é o erro que estaremos 
cometendo e é chamado nível de significância ou grau 
de incerteza ou grau de desconfiança. 
Importante 
 Quanto maior for o nível de confiança, maior 
será a amplitude do intervalo. 
 Sendo conveniente, o nível de confiança pode ser 
aumentado até tão próximo de 100% quanto se queira, 
mas isso resultará em intervalos de amplitude cada vez 
maiores, o que significa perda de previsão na 
estimação. 
 Para amostras de tamanho n fixo, confiança e precisão 
variam em sentidos opostos, quanto mais confiança 
se deseja, menor a precisão encontrada. 
 
Determinando o IC 
 Para encontrarmos um intervalo de confiança para 
um determinado parâmetro  , devemos obter um 
intervalo [a, b], centrado em , tal que: 
 
P(a    b) = 1 - . 
 
Estimativa da Média Populacional 
 Para efetuar a Estimativa de Médias de uma 
População utiliza-se o Desvio Padrão da 
distribuição que constitui a amostra (distribuição 
amostral), devendo-se levar em consideração se o 
Desvio padrão (ou a variância) da população é ou 
não conhecido. 
Desvio Padrão Conhecido 
 Estimativa Pontual da Média: 
Desvio Padrão Conhecido 
 Estimativa Intervalar da Média 
A Estimativa Intervalar da Média Populacional baseia-se 
na hipótese de que a Distribuição das Médias Amostrais 
é normal, daí usarmos a nova variável z. 
Intervalo de Confiança 
α α
2 2
σ σ
P X Z . μ X Z . 1 α
n n
 
      
 
 
σ
ou simplesmente I.C. μ, 1-α X Z .α
n2
 
 Fixando-se um nível de confiança 1 - , tem-se: 
 
Ou seja : P -Z Z Z 1 - αα α
2 2
 
   
 
 
Exemplo 1 
 A duração da vida de uma peça de equipamento é tal 
que  = 5 horas. Foram amostradas 100 dessas 
peças obtendo-se a média de 500 horas. Deseja-se 
construir um intervalo de confiança para a 
verdadeira duração média da peça com nível de 95% 
de confiança. 
 
Solução 
  = 5 horas 
 n = 100 
 =500 
 =5% 
 95%=0,95 
 0,95/2=0,475 
Solução 
 P μ 500,98499,02 95% 0,95   
σ
 Z .α
n2
5
500 1,96.
100
500 0,98
 


Exemplo 2 
 Um pesquisador está estudando a resistência média 
de um determinado material. Ele sabe que esta 
variável é normalmente distribuída com desvio 
padrão de 2 unidades. Utilizando os valores 4,9; 7,0; 
8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,2; 5,7; 6,2 unidades obtidos de 
uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de 
confiança para a resistência média com um nível de 
confiança de 95%. 
Solução 
  = 2 
 n = 9 
 Média==6,22222 
=5% 
Solução 
   P 4,915 μ 7,529 4,915;7,529 95% 0,95    
σ
 Z .α
n2
2
6,222.. 1,96.
9
6,222 1,30666
 


Exemplo 3 
 Considerando que uma amostra de cem elementos 
extraída de uma população aproximadamente normal, 
cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média de 35,6, 
construir intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% 
para a média dessa população. 
O que temos? 
  = 2 
 n = 100 
 
 Média==35,6 
=10%, 5% e 1% 
Solução 
Exercícios 
01) Foram retiradas 25 peças da produção diária de 
uma máquina, encontrando-se para uma certa medida 
uma média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas 
têm distribuição normal com desvio padrão 1,2 mm, 
construir intervalos de confiança para a média aos 
níveis de: 
a) 90% R = [4,81 ; 5,59] 
b) 95% R = [4,73 ; 5,67] 
c) 99% R = [4,58 ; 5,82] 
 
Exercícios 
02) De uma distribuição normal com 2=1,96,obteve-
se a seguinte amostra: 25,2; 26,0: 26,4; 27,1; 28,2; 
28,4. Determinar o intervalo de confiança para a média 
da população, sendo o nível de significância de: 
 
a)  = 0,05 R = [25,76 ; 28] 
b)  = 0,10 R = [25,84 ; 27,82] 
 
Exercícios 
03) Suponha que a altura dos alunos de nossa 
faculdade tenham distribuição normal com  = 15 
cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos 
obtendo-se a média =175 cm. Construir, ao nível de 
confiança de 95% o intervalo para a verdadeira altura 
média dos alunos. 
 
R= [172,06 ; 177,94] 
 
Exercícios 
04) Dados n = 10, = 110 e  = 10, determinar os 
intervalos de confiança para  aos níveis de 90% e 95%. 
R= [104,81 ; 115,19], [103,8 ; 116,2] 
05) Feito um ensaio de corrosão com 64 peças de um 
lote de produção, verificou-se que o tempo que a peça 
suportou nesse teste apresentou uma média de 200 
horas. Sabe-se que o desvio padrão populacional vale 16 
horas, construir um intervalo de confiança para a média 
populacional com 95% de confiança. 
R = [1,96,08h; 203,92h] 
 
 
 
Exercícios 
06) Suponha que o faturamento bruto mensal da 
Empresa Santos & Cia Ltda, tenha distribuição normal 
com desvio padrão de R$ 4.959.390.00. Para se fazer 
uma estimativa sobre o faturamento bruto da 
empresa, colheu-se uma amostra de 12 meses 
obtendo-seum faturamento bruto médio de R$ 
15.600.000. Determine o intervalo com 95% de 
confiança para o verdadeiro faturamento médio. 
R=[12.793.960,95 ; 18.406.039,05] 
 
Exercícios 
 
07) Suponha que o recolhimento mensal de ICMS da 
Empresa Santos & Cia Ltda, tenha distribuição 
aproximadamente normal com desvio padrão de R$ 
3.406,70. Para se fazer uma estimativa sobre os tributos 
pagos pela empresa em u determinado período, colheu-
se uma amostra de 8 meses obtendo-se um recolhimento 
médio de R$ 9.434,50 de ICMS. Encontre o erro da 
estimativa e o intervalo com 98% de confiança. 
R= e=2806,37 [6628,13 ; 12240,87] 
 
Erro de Estimação 
 É a diferença entre a média da amostra e a 
verdadeira média da população. 
 Como o intervalo de confiança tem centro na média 
da amostra, o erro máximo provável que está sendo 
admitido é igual à metade da amplitude do 
intervalo. 
Erro de Estimação 
 Percebemos que quando aumentamos z ou  este 
erro potencial aumenta. 
 
 Podemos concluir também que maiores amostras 
(aumenta n) possuem um potencial de erro menor. 
Desvio Padrão Desconhecido 
 Estimativa Pontual da Média: 
Desvio Padrão Desconhecido 
 Estimativa Intervalar da Média 
Intervalo de Confiança 
α α
2 2
S S
P X . μ X . 1 α
n n
t t
 
      
 
 
S
ou simplesmente I.C. μ, 1-α X t .α
n2
 
Distribuição de Student 
 Para pequenas amostras a distribuição normal 
apresenta valores menos precisos, o que nos leva a 
utilizar um modelo melhor. Por isso iremos 
conhecer a distribuição t de Student. 
 A principal diferença entre a distribuição normal e a 
t de Student é que esta tem mais área nas caudas. 
Distribuição de Student 
 Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, 
sendo que à medida que a amostra (n) cresce, a 
distribuição t de Student se aproxima da distribuição 
normal. 
 Para calcular o valor de t a ser usado é necessário 
ter: 
Um nível de confiança desejado: 
Qual o número de graus de liberdade a ser 
utilizado. 
Exemplo 
 Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, 
que a sua média 150 e desvio padrão igual a 10. 
Represente um intervalo de confiança em nível de 
90%. 
 
 Solução: Como a amostra é menor que 30 
elementos, então iremos usar a distribuição t de 
Student. Se desejamos um intervalo de confiança de 
90%, temos: 
 Para trabalharmos com a tabela, encontramos o 
número de graus de liberdade, que é: (n-1), logo 
(25-1)=24. 
 O nível de confiança desejado é (1-)=1-0,9=0,1. 
 Conhecendo o número de graus de liberdade e o 
nível de confiança desejado vamos a tabela e 
encontramos o valor t, neste caso igual a 1,7109. 
 
Solução 
Exercícios 
01) Em quatro leituras experimentais de um 
comercial de 30 segundos, um locutor levou em 
média 29,2 segundos com uma S2 = 5,76 segundos. 
Construir os limites de confiança para a média. Dado 
 = 10% 
 
R = [26,38 ; 32,02] 
 
 
Exercícios 
02) Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, 
obtiveram-se as seguintes medidas para os diâmetros: 
10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 
 
a) Estimar a média e a variância. R = 13,13 2,05 
b) Construir um intervalo de confiança para a média 
sendo  = 5% [12,60 ; 13,66]