Aula - Intervalos de Confiança - Erro

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Prof.: Renato Francisco Merli 
2012 
Inferência Estatística 
Erro de Estimação 
 É a diferença entre a média da amostra e a verdadeira média da 
população. 
 Como o intervalo de confiança tem centro na média da amostra, 
o erro máximo provável que está sendo admitido é igual à 
metade da amplitude do intervalo. 
Erro de Estimação 
 Percebemos que quando aumentamos z ou , este erro 
potencial aumenta. 
 
 Podemos concluir também que maiores amostras (aumenta 
n) possuem um potencial de erro menor. 
Exercício 
Suponha que o recolhimento mensal de ICMS da 
Empresa Santos & Cia Ltda, tenha distribuição 
aproximadamente normal com desvio padrão de 
R$ 3.406,70. Para se fazer uma estimativa sobre os 
tributos pagos pela empresa em um determinado 
período, colheu-se uma amostra de 8 meses obtendo-se 
um recolhimento médio de R$ 9.434,50 de ICMS. 
Encontre o erro da estimativa e o intervalo com 98% de 
confiança. 
R= e=2806,37 [6628,13 ; 12240,87] 
 
Solução 
 =3.406,70 
 n=8 
 Média== 9.434,50 
 1-=98%  0,98/2=0,490  z=2,33 
 e=2.33.
𝟑.𝟒𝟎𝟔,𝟕𝟎
𝟖
=2806,369 
 I.C=[6628,13 ; 12240,87] 
 
 
 
Ir 
Voltar 
Desvio Padrão Desconhecido 
 Estimativa Pontual da Média: 
Desvio Padrão Desconhecido 
 Estimativa Intervalar da Média 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo de Confiança 
α α
2 2
S S
P X . μ X . 1 α
n n
t t
 
      
 
 
S
ou simplesmente I.C. μ, 1-α X t .α
n2
 
Distribuição de Student 
 Para pequenas amostras a distribuição 
normal apresenta valores menos 
precisos, o que nos leva a utilizar um 
modelo melhor. 
 Por isso iremos conhecer a distribuição 
t de Student. 
 A principal diferença entre a distribuição normal e a t de 
Student é que esta tem mais área nas caudas. 
Distribuição de Student 
 Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo que à 
medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de Student se 
aproxima da distribuição normal. 
 Para calcular o valor de t a ser usado é necessário ter: 
 Um nível de confiança desejado. 
 O número de graus de liberdade a ser utilizado. 
Exemplo 
 Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média 
é de 150 e o desvio padrão é igual a 10. Represente um 
intervalo de confiança em nível de 90%. 
 
 Solução: Como a amostra é menor que 30 elementos, 
então iremos usar a distribuição t de Student. Se 
desejamos um intervalo de confiança de 90%, temos: 
 Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de 
graus de liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24. 
 
 O nível de confiança desejado é (1-)=0,9=>  =0,1 => 
 
 /2=0,05 
 
Solução 
Exemplo 
 O consumo diário de alimentos observado em uma certa 
amostra da população é, em calorias (x100), igual a: 10, 11, 
11, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16. 
 a) Estimar a média e o desvio-padrão; 
 b) Construir um intervalo de confiança para a média com um 
nível de confiança de 90%. 
Amostras
10 Média 13,313
11
11 Desvio 1,7405
12
13 n 16
13
13 gl 15
13
13 a 0,1
14
14 t 1,753
14
15 erro 0,7628
15
16 IC 12,55 14,1
16
 
Exercícios 
01) Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 
segundos, um locutor levou em média 29,2 segundos com uma 
S2 = 5,76 segundos. Construir os limites de confiança para a 
média. Dado a = 10% 
 
R = [26,38 ; 32,02] 
 
 
Exercícios 
02) Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se 
as seguintes medidas para os diâmetros: 
10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 
 
a) Estimar a média e a variância. R = 13,13 2,05 
b) Construir um intervalo de confiança para a média sendo a = 5% 
[12,60 ; 13,66] 
 
 
Exercícios 
03) Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu-se os seguintes pesos: 
250 265 267 269 271 275 277 281 283
 284 
287 289 291 293 293 298 301 303 306
 307 
307 309 311 315 319 322 324 328 335
 339 
 
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta 
amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 300 kg. 
Adote a= 5% 
R = Satisfaz, pois com 1 - a = 95% o intervalo é [288,33 ; 
304,93] 
 
Intervalo de Confiança para a 
Proporção Populacional (p) 
Inquietações 
 Que porcentagem de peças numa grande remessa apresenta 
defeito? 
 
 Que proporção de eleitores aprova determinado projeto? 
 
 Qual a probabilidade de um aluno do curso primário não ser 
vacinado? 
 
Importante 
 A estimativa de proporções populacionais é semelhante a de 
médias populacionais. 
 
 A distribuição t não é usada para estimativa de proporções. 
 
 
 Intervalos de 95% e 99% usamos gráficos para a estimativa. 
Estimativa Pontual da Proporção 
 O valor esperado de uma proporção amostral é sempre igual 
à verdadeira proporção da população. Usa-se portanto, a 
proporção amostral como estimativa pontual da verdadeira 
proporção: 
 
 Estimativa pontual de p: 𝑝 =
𝑥
𝑛
 
 
 Como não conhecemos o valor de p (populacional) usamos f 
(proporção amostral) como estimador de p. 
 
𝑓 = 𝑝 
Estimativa Intervalar da Proporção 
 Assim o intervalo de confiança fica: 
 
 
 
 
 
 
 Onde 𝑓 =
𝑥
𝑛
 
 
 
 
   
α α
2 2
f 1- f f 1- f
P f . p f . 1 α
n n
Z Z
 
      
 
 
Estimativa Intervalar da Proporção 
𝑝:
𝑥
𝑛
± 𝑧
𝑥 𝑛 1 − 𝑥 𝑛 
𝑛
 
 
x=número de itens na amostra 
z=desvio padrão normal 
n=tamanho da amostra 
Exemplo 
 Determine um intervalo de 98% de confiança para a 
verdadeira proporção populacional, se x=50 e n=200. 
𝑝:
𝑥
𝑛
± 𝑧
𝑥 𝑛 1 − 𝑥 𝑛 
𝑛
 
 Solução: 
 1-a=98% (1-a)/2=0,490z=2,33 
 𝒑:
𝟓𝟎
𝟐𝟎𝟎
± 𝟐. 𝟑𝟑
𝟎,𝟐𝟓 (𝟎,𝟕𝟓)
𝟐𝟎𝟎
 
 𝒑: 𝟎, 𝟐𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟕 
 𝑷 𝟎, 𝟏𝟖 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟑𝟐 = 𝟗𝟖% 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Examinamos 500 peças de uma grande produção e encontramos 260 
defeituosas. Com um nível de 90% de confiança, construa um intervalo de 
confiança para a verdadeira proporção de peças defeituosas. 
𝑝:
𝑥
𝑛
± 𝑧
𝑥 𝑛 1 − 𝑥 𝑛 
𝑛
 
 Solução: 
 1-a=90% (1-a)/2=0,450z=1,64 
 𝒑:
𝟐𝟔𝟎
𝟓𝟎𝟎
± 𝟏, 𝟔𝟒
𝟎,𝟓𝟐 (𝟎,𝟒𝟖)
𝟓𝟎𝟎
 
 𝒑: 𝟎, 𝟓𝟐 ± 𝟎, 𝟎223 
 𝑷 𝟎, 𝟒𝟗𝟕 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎, 𝟓𝟒𝟐 = 𝟗𝟎%