Planos

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CAPÍTULO 6
PLANOS
6.1 Equação geral do plano
Seja A um ponto de um plano π e ~n um vetor não nulo ortogonal a π. Um ponto P
pertence a π se os vetores ~n e
−→
AP são ortogonais, isto é, ~n ·
−→
AP = 0.
π : ax+ by + cz + d = 0
6.2 Equação vetorial do plano
Sejam A um ponto de um plano π e, ~u e ~v são dois vetores não colineares paralelos a π.
Se o ponto P pertence ao plano π então existem dois números reais h e t, tais que
−→
AP = h~u + t~v ou
P = A+ h~u+ t~v.
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + h(a1, b1, c1) +
t(a2, b2, c2)
6.3 Equações paramétricas do plano
Da equação vetorial do plano, vem:
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Geometria Analítica Notas de aula


x = x1 + a1h+ a2t
y = y1 + b1h+ b2t
z = z1 + c1h+ c2t
6.4 Planos paralelos aos eixos coordenados
(a) Se um plano π é paralelo ao eixo Ox, o seu vetor normal ~n é ortogonal ao vetor ~i, e portanto
~n = (0, b, c). Neste caso, a equação de π tem a forma by + cz + d = 0.
(b) Se um plano π é paralelo ao eixo Oy, o seu vetor normal ~n é ortogonal ao vetor ~j, e portanto,
~n = (a, 0, c). Neste caso, a equação de π tem a forma ax+ cz + d = 0.
(c) Se um plano π é paralelo ao eixo Oz, o seu vetor normal ~n é ortogonal ao vetor ~k, e portanto,
~n = (a, b, 0). Neste caso, a equação de π tem a forma ax+ by + d = 0.
Importante: Se uma das componentes do vetor normal é nula, o plano é paralelo ao
eixo correspondente a componente nula (a variável ausente na equação, indica o eixo ao qual o plano
é paralelo).
6.5 Planos paralelos aos planos coordenados
(a) Se um plano π é paralelo ao plano xOy, qualquer vetor normal ~n tem a direção do vetor ~k, e
portanto, ~n = (0, 0, c). Neste caso, a equação de π tem a forma cz + d = 0.
(b) Se um plano π é paralelo ao plano xOz, qualquer vetor normal ~n tem a direção do vetor ~j,e
portanto, ~n = (0, b, 0). Neste caso, a equação de π tem a forma by + d = 0.
(c) Se um plano π é paralelo ao plano yOz, qualquer vetor normal ~n tem a direção do vetor ~i, e
portanto, ~n = (a, 0, 0). Neste caso, a equação de π tem a forma ax+ d = 0.
Importante: Se duas componentes do vetor normal forem nulas, o plano é paralelo
ao plano correspondente as componentes nulas (as variáveis ausentes na equação, indicam o plano
coordenado ao qual o plano é paralelo).
6.6 Ângulo de dois planos
O ângulo entre dois planos π1 e π2 é a medida do ângulo entre duas retas r1 e r2, respec-
tivamente, perpendiculares a π1 e π2.
cos θ =
|~n1 · ~n2|
‖~n1‖‖~n2‖
0 ≤ θ ≤
π
2
π1 ‖ π2 ⇐⇒ ~n1 ‖ ~n2
π1 ⊥ π2 ⇐⇒ ~n1 ⊥ ~n2
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Geometria Analítica Notas de aula
6.7 Intersecção de dois planos
Planos paralelos não possuem intersecção.
A intersecção dos planos π1 e π2 é a reta r cu-
jas equações são obtidas resolvendo-se o sistema
formado pelas equações de π1 e π2.
{
π1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0
π2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
Observação: Sejam
{
y = mx+ n
z = px+ q
as equações reduzidas da reta r, intersecção dos
planos π1 e π2. Cada equação de r pode ser obtida através da eliminação no sistema acima da variável
ausente na equação.
6.8 Ângulo de uma reta com um plano
O ângulo φ, da reta r com o plano é o complementar do ângulo entre a reta r e uma reta
s perpendicular a π, com 0 ≤ φ ≤
π
2
.
cosα =
|~v · ~n|
‖~v‖‖~n‖
φ =
π
2
− α
6.9 Intersecção de reta com plano
Quando a reta r for paralela ao plano π, então não
haverá interseção entre reta e plano. Neste caso,
o sistema formado pelas equações da reta r e do
plano π não possuirá solução.
Quando a reta r for concorrente ao plano π, então
a intersecção entre plano e reta será um ponto P .
As coordenadas deste ponto são obtidas com a so-
lução do sistema formado pelas equações da reta
r e do plano π.
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Geometria Analítica Notas de aula
Há ainda a situação em que a reta r está contida no plano, e neste caso, todos os pontos
da reta estarão no plano. Neste caso, o sistema formado pelas equações da reta r e do plano π será
considerado indeterminado, pois possuirá infinitas soluções.
6.10 Exercícios
1. Determine a equação geral do plano π que:
(a) passa pelo ponto A(2, 3, 5), sendo ~n = (1,−1, 2) um vetor normal a π.
(b) passa pelo ponto A(1,−2, 3) e é paralelo aos vetores ~v1 = (1, 1, 1) e ~v2 = (1,−1, 2).
(c) passa pelos pontos A(2, 1, 0), B(1, 0, 2) e C(0, 0, 1).
(d) passa pelos pontos A(2, 1, 0), B(1, 0, 2) e é paralelo ao vetor ~v = (2,−1,−3).
(e) contém as retas r1 :
{
y = 2x− 1
z = x+ 1
e r2 :
x− 1
2
=
y + 1
3
= z
(f) contém as retas r1 :


x = 1− t
y = t
z = 3− t
e r2 : x− 2 = −y = z
(g) passa pelo ponto A(1, 0, 1) e é perpendicular à reta


x = 2
y = 1− t
z = 3t
2. Determine a equação vetorial do plano π que:
(a) passa pelo ponto A(1, 2,−1) e é paralelo aos vetores ~v1 = (2, 0, 1) e ~v2 = (−1, 1, 0).
(b) passa pelos pontos A(1,−1, 0), B(0, 1,−1) e C(1, 0, 1).
(c) Determine as equações paramétricas dos planos dos itens acima.
3. Determine a equação do plano que passa pelos pontos A e B e é paralelo ao eixo:
(a) Ox, sendo A(0, 2, 0) e B(0, 0, 3)
(b) Oy, sendo A(2, 0, 0) e B(0, 0, 3)
(c) Oz, sendo A(0, 5, 0) e B(−4, 0, 0)
(d) Represente graficamente os planos dos itens acima.
4. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A(3, 1,−2) e é paralelo ao plano:
(a) xOz
(b) xOy
(c) yOz
(d) Represente graficamente os planos dos itens acima.
5. Determine a equação geral do plano:
(a) xOz
(b) xOy
(c) yOz
(d) que passa pelo ponto A(1,−1, 1) e é paralelo aos vetores ~v1 =~i−~j e ~v2 =~i+~j.
6. Determine a medida do ângulo entre os planos π1 : y − z + 2 = 0 e π2 : x+ y − 3 = 0.
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Geometria Analítica Notas de aula
7. Determine o valor de p de modo que os planos π1 : x + 2y + pz − 3 = 0 e π2 : x + py + 2z = 0
sejam:
(a) paralelos
(b) perpendiculares
8. Determine as equações da reta intersecção dos planos:
(a) π1 : 2x− 3y + z − 2 = 0 e π2 : x+ 2y − 2z = 0
(b) π1 : 3x− y + z − 3 = 0 e π2 : x+ 3y + 2z + 4 = 0
9. Determine o ângulo da reta r com o plano π:
(a) r :


x = t
y = 2− t
z = 5
e π : x− 2 = 0
(b) r :
x− 1
2
=
y + 2
−1
; z = 3 e π : x+ 2y − 3z + 12 = 0
(c) r :
{
y = x− 2
z = 1− x
e π : 2x+ 2y − 2z + 5 = 0
10. Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π:
(a) r :


x = 1− t
y = 2t
z = 5
e π : 2x+ 3y − z + 2 = 0
(b) r :
{
y = 2x− 1
z = x+ 2
e π : 3x− 2y + 2z − 3 = 0
11. Represente graficamente os planos:
(a) 2x− y + 3z − 6 = 0
(b) x+ 2y − 1 = 0
(c) x+ y + z − 2 = 0
(d) x− 1 = 0
12. Sejam o plano π : x− 3y + 2z + 2 = 0 e a reta r :
x− 1
−2
=
y − 4
−1
; z = 3.
(a) Determine o ponto do plano que tem abscissa zero e ordenada igual ao triplo da cota.
(b) A reta r está contida no plano? Justifique.
(c) Escreva as equações de uma reta que é perpendicular ao plano.
(d) Encontre a intersecção do plano de equação 2x+ y − 3z + 3 = 0 com o plano π.
(e) Encontrar o ângulo entre o plano de equação 2x+ y − 3z + 3 = 0 e o plano π.
(f) Achar a intersecção da reta s :
{
y = 2− x
z =
x− 1
2
com o plano π.
(g) Achar a medida do ângulo da reta x = y = z com o plano π.
(h) Quais as posições dos planos π1 : y − 4 = 0 e π2 : 2x + 3z − 1 = 0 em relação aos eixos
coordenados?
13. Calcule o ponto de intersecção da reta que passa pelos pontos A(0, 0, 1) e B(2, 8,−1) com o plano
π : x+ 4y − z + 7 = 0.
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Geometria Analítica Notas de aula
Gabarito
1. .
(a) 3x− y − 2z + 1 = 0
(b) x− 3y − z + 1 = 0
(c) 5x+ y + 3z − 11 = 0
(d) −x+ y − z + 2 = 0
(e) 3x+ 4y + z − 6 = 0
(f) y − 3z + 3 = 0
2. .
(a) (x, y, z) = (1, 2,−1) + h(2, 0, 1) + t(−1, 1, 0)
(b) (x, y, z) = (1,−1, 0) + h(−1, 2,−1) + t(0, 1, 1)
(c) pia :


x = 1 + 2h− t
y = 2 + t
z = −1 + h
e
pib :


x = 1− h
y = −1 + 2h+ t
z = −h+ t
3. .
(a) 3y + 2z − 6 = 0
(b) 3x+ 2z − 6 = 0
(c) 5x− 4y + 20 = 0
(d) .
4. .
(a) y − 1 = 0
(b) z + 2 = 0
(c) x− 3 = 0
(d) .
5. .
(a) y = 0
(b) z = 0
(c) x = 0
(d) z − 1 = 0
6. 90
o
7. .
(a) p = 2
(b) p = −
1
4
8. .
(a)


y =
5x
4
− 1
z =
7x
4
− 1
(b)
{
y = x− 2
z = −2x+ 1
9. .
(a) 45
o
(b) 0
o
(c) 90
o
10. .
(a) I
(
3
4
,
1
2
, 5
)
(b) I(−3,−7,−1)
11. .12. .
(a)
(
0,
6
7
,
2
7
)
(b) Não, pois...
(c) .
(d)


y = x+
12
7
z = x+
11
7
(e) 60
o
(f) (1, 1, 0)
(g) 0
o
(h) pi1 ⊥ Oy e pi2 ‖ Oy
13.
(
−
1
3
,−
4
3
,
4
3
)
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	Vetores
	O vetor geométrico
	Casos particulares de vetores
	Exercícios
	Abordagem algébrica: vetores no plano
	Operações com vetores
	Expressão analítica de um vetor
	Vetor definido por dois pontos
	Paralelismo de vetores
	Módulo ou norma de um vetor
	Abordagem algébrica: vetores no espaço
	Combinação linear de vetores
	Exercícios sobre vetores
	Produto Escalar
	Propriedades do produto escalar
	Ângulo entre dois vetores
	Projeção de um vetor sobre outro
	Exercícios
	Produto vetorial
	Propriedades do produto vetorial
	Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
	Exercícios
	Produto misto
	Propriedades do produto misto
	Vetores coplanares
	Interpretação geométrica do módulo do produto misto
	Exercícios
	Retas
	Equações da reta
	Equação vetorial da reta
	Equações paramétricas da reta
	Equações simétricas da reta
	Equações reduzidas da reta
	Retas paralelas aos eixos coordenados
	Retas paralelas aos planos coordenados
	Ângulo de duas retas
	Retas paralelas
	Retas ortogonais
	Reta ortogonal a duas retas
	Intersecção de duas retas
	Retas coplanares
	Exercícios
	Planos
	Equação geral do plano
	Equação vetorial do plano
	Equações paramétricas do plano
	Planos paralelos aos eixos coordenados
	Planos paralelos aos planos coordenados
	Ângulo de dois planos
	Intersecção de dois planos
	Ângulo de uma reta com um plano
	Intersecção de reta com plano
	Exercícios
	Distâncias
	Distância entre dois pontos
	Distância de um ponto a uma reta
	Distância de um ponto a um plano
	Distância entre duas retas
	Distância entre uma reta e um plano
	Distância entre dois planos
	Exercícios
	Cônicas
	Parábola
	Parábola com eixo vertical
	Parábola com eixo horizontal
	Exercícios sobre parábola
	Circunferência
	Exercícios sobre circunferências
	Elipse
	Equações reduzidas da elipse
	Exercícios sobre elipses
	Hipérbole
	Equações reduzidas da hipérbole
	Exercícios