Lista de Exercícios - Integrais

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II- 2007/2
Lista de Exerc´ıcios No. 3
1. Resolva as seguintes integrais indefinidas:
1)
∫
lnx
x3
dx 2)
∫
dx
1 +
√
x+ 1
3)
∫
dx
cos2 x sinx
4)
∫
x2 arctanxdx
5)
∫
x3
x2 + 2x+ 2
dx 6)
∫
cosxdx
cosx+ sinx
7)
∫ 3√1 + lnx
x
dx 8)
∫
sec3(x− 2)dx
9)
∫
x arcsinxdx 10)
∫
sin(lnx)dx
11)
∫
x sec2 xdx 12)
∫
x lnx√
x2 − 4dx
2. Calcule as seguintes integrais definidas.
1)
∫ 5
1
√
x− 1dx 2)
∫ 0
−1/4
dx
1 + 2x
dx
3)
∫ pi
0
(2x+ 1) cos(2x)dx 4)
∫ 3
1
dx
x2(x2 + 1)
5)
∫ 3
2
√
x2 − 4
x4
dx 6)
∫ 5/3
2/3
dx
9x2 + 6x− 8
7)
∫ 4
3
dx
x3 + x2 − 6x 8)
∫ 0
−1
x+ 2
x2 + 6x+ 10
dx
3. Determine o valor de a)
∫ 2
−1
| |x| − 1|dx b)
∫ 1
−2
|x(x2 − 1)|dx.
4. Calcule
∫ 3
−3
f(x)dx se f(x) =

1 , x < 0
x+ 1 , 0 ≤ x < 1
−2x+ 4 , x ≥ 1
5. Determine os valores de b para que
∫ b
0
(x2 − 2x− 8)dx = −24.
6. Sabendo que
∫ 5
−1
f(x)dx = 10,
∫ 3
0
f(x)dx = 4 e
∫ 5
3
f(x)dx = −2, determine o valor de∫ 0
−1
f(x)dx e
∫ 5
0
f(x)dx.
7. Determine a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas.
(a) y = x e y = x2 − 2x+ 3.
(b) y = x2, y = 0 e y = −x+ 4.
(c) x = 0, y = x2 e y = (x− 2)2.
(d) x = y2 e y = x.
(e) x = y3 − 3y e y = 4y − y2.
(f) y = |x| e y = cosx.
(g) y = | sinx| e y = 4
pi2
x2.
8. Determine a a´rea da regia˜o limitada pelos gra´ficos de
f(x) =

x+ 2 , x < 0
2 , 0 ≤ x < 2
−2x+ 6 , x ≥ 2
e g(x) =
{ −x , x < 2/5
2(x− 1)/3 , x ≥ 2/5
9. a) Determine a a´rea da regia˜o limitada por y = sin(ax), y = cos(ax) e x = 0.
b) Que acontece quando a→ +∞?
10. Definimos a integral impro´pria
∫ +∞
a
f(x)dx pondo
∫ +∞
a
f(x)dx = lim
b→+∞
∫ b
a
f(x)dx.
Quando o limite existe dizemos que a integral impro´pria e´ convergente. Caso contra´rio
dizemos que e´ divergente.
a) Calcule
∫ +∞
0
e−kxdx, k = constante. Para que valores de k a integral e´ divergente?
b) Que condic¸a˜o deve satisfazer k para que
∫ +∞
0
dx
(1 + x)k
seja convergente?
11. Determine o volume do Toro so´lido z2 + (R−
√
x2 + y2)2 = r2 com R > r.toro
12. Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela regia˜o limitada por y = −x(x−4), y =
2x em torno de (a) o eixo X, (b) o eixo Y , (c) a reta y = 4 e (d) a reta x = 2.
13. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas dadas,
em torno dos eixos espicificados.
(a) x = 0, y = ex, x = 1 em torno de y = 0 e x = 0.
(b) x = y(2− y), x = 0 em torno dos eixos x = 0 e x = 4.
(c) x = y(1− y), y = x+ 1 em torno de y = 1.
(d) y = x2, y = sin(pi2x) em torno de x = 0 e x = −1.