Lista_06_Integrais_Substituicao_Trigonometricas

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
UTFPR — Campus Pato Branco
Lista 06 - Integrais: Substituic¸a˜o trigonome´tricas
1. Motre que
∫ 4
−4
√
16− x2dx = 8pi
2. Motre que
∫ 4
0
2 ·
√
16− x2dx = 8pi (interprete geome´tricamente o resultado)
3. Motre que
∫ 3
0
√
9− x2dx = 9pi
4
4. Motre que
∫ 3
0
4 ·
√
9− x2dx = 9pi (interprete geome´tricamente o resultado)
5. Motre que
∫ 6
0
4 ·
√
36− x2dx = 36pi (interprete geome´tricamente o resultado)
6. Indique uma mudanc¸a de varia´vel que elimine a raiz do integrando
(a)
∫ √
9− x2dx
(b)
∫ √
9 + x2dx
(c)
∫ √
x2 − 9dx
(d)
∫
x2
√
1− x2dx
(e)
∫ √
3− 4x2dx (Soluc¸a˜o nas respostas)
(f)
∫ √
5− 4x2dx
(g)
∫ √
1− 4x2dx (Soluc¸a˜o nas respostas)
(h)
∫ √
3− 4x2dx
(i)
∫ √
1− (x− 1)2dx
(j)
∫
x
√
x− 1dx
7. Mostre que
∫ √
r2 − x2dx = r
2
2
(
arcsin
(x
r
)
+
x · √r2 − x2
r2
)
+ k
8. Mostre que
∫ √
1 + x2dx =
1
2
(secx tanx+ ln | secx+ tanx|) + k
Dica:
∫
sec3 udu =
1
2
[secu tanu+ ln | secu+ tanu|] + k
1
Respostas!!
1.
2.
3.
4.
5.
6. (a) x = 3 sin θ
(b) x = 3 tan θ
(c) x = 3 sec θ
(d) x = sin θ
(e) x =
√
3
2
sin θ
Soluc¸a˜o:
√
3− 4x2 =
√
3
(
1− 4
3
x2
)
=
√√√√3(1− ( 2x√
3
)2)
,
pois sin θ =
2x√
3
⇒
√
3
2
= x
(f) x =
√
5
2
sin θ
(g) x =
1
2
sin θ
Soluc¸a˜o:
√
1− (2x)2 = √1− (sin θ)2 = √cos2 θ = | cos θ| = cos θ,
sin θ = 2x ⇒ x = 1
2
sin θ
(h) x =
√
3
2
tan θ
(i) x = 1 + sec θ
Soluc¸a˜o: x− 1 = sin θ ⇒ x = 1 + sin θ
(j) x = u2 + 1, u > 0
Assim
∫
x
√
x− 1dx =
∫
(u2 + 1) · u · 2udu = · · ·
Outra forma: x = sec2 θ ⇒ √sec2 θ − 1 =
√
tan2 θ = tan θ.
Assim,
∫
x · √x− 1dx =
∫
sec2 θ tan θ2 sec θ tan θdθ = 2
∫
sec4 θ tan2 θdθ = · · ·
7.
8.
Lista elaborada pelo Professor Dr. Jose´ Donizetti de Lima
Digitac¸a˜o: Larissa h. Vieira
Configurac¸o˜es: Professora Ms. Marieli Musial Tumelero
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