Lista_11_REVISAO_Integrais_Aplicacoes

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
UTFPR — Campus Pato Branco
Lista de Revisa˜o de Conteu´dos - Aplicac¸o˜es de Integrais
1. Calcule a a´rea delimitada pelo eixo x e pela para´bola y = 6− x− x2.
2. Seja f(x) = sen x em [0, 2pi]. Determine:
(a) A integral definida de f(x) no intervalo [0, 2pi].
(b) A a´rea entre o gra´fico de f(x) e o eixo x no intervalo [0, 2pi].
3. Um tumor tem aproximadamente a mesma forma que o so´lido formado pela rotac¸a˜o sob a curva
y =
1
3
√
16− 4x2 em torno do eixo x, onde x e y esta˜o em cm. Determine o volume do tumor.
4. Determine o comprimento da curva y =
1
2
(ex + e−x), 0 ≤ x ≤ 2.
5. Determine a a´rea da regia˜o entre o eixo x e o gra´fico de f(x) = x3 − x2 − 2x, sendo −1 ≤ x ≤ 2.
6. Determine a a´rea da regia˜o compreendida entre a para´bola y = 2− x2 e a reta y = −x.
7. Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x, das regio˜es limitadas pelas retas e
pelas curvas dadas:
(a) y = x, y = 1, x = 0;
(b) y = x2 + 1, y = x+ 3;
(c) y = sec x, y =
√
2, −pi4 ≤ x ≤ pi4 .
8. Determine a a´ra da regia˜o do primeiro quadrante que e´ limitada por y =
√
x, y = x− 2 e pelo eixo x.
9. Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o compreendida entre o
eixo y e a curva x = 2y , 1 ≤ y ≤ 4.
10. Determine a a´rea compreendida entre as curvas x = 2y2, x = 0 e y = 3.
11. A regia˜o entre a curva y =
√
x, 0 ≤ x ≤ 4, e o eixo x gira em torno desse eixo para gerar um so´lido.
Determine seu volume.
12. Determine a a´rea compreendida entre as curvas y = x2 e y = −x2 + 4x.
13. O c´ırculo x2 + y2 = a2 e´ girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Determine seu volume.
14. Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o, em torno da reta y = 1, da regia˜o definida por y =
√
x
e pelas retas y = 1 e x = 4.
15. A regia˜o limitada pelas curvas y = x2 + 1 e por y = −x+ 3 determina um so´lido quando girado em torno
do eixo x. Determine o volume deste so´lido.
16. Determine o comprimento da curva y = (x/2)2/3 de x = 0 a x = 2.
17. Calcule a a´rea da regia˜o entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = cos2 x e o eixo x de [0, 2pi].
18. Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o de cada regia˜o em torno do eixo y:
(a) A regia˜o delimitada pelo triaˆngulo com ve´rtices em (1, 0), (2, 1) e (1, 1);
(b) A regia˜o, no primeiro quadrante, limitada pela para´bola y = x2, pelo eixo x e pela reta x = 2.
19. Calcule a a´rea da regia˜o entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = sen2 x e o eixo x de [0, 2pi].
20. A regia˜o compreendida entre a para´bolda y = x2 e a reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do
eixo y para gerar um so´lido. Determine o volume deste so´lido.
21. Determine o comprimento das curvas:
1
(a) x = 1− t, y = 2 + 3t, −23 ≤ t ≤ 1;
(b) y = x2, −1 ≤ x ≤ 2
(c) x = cos t, y = t+ sen t, 0 ≤ t ≤ pi;
(d) x = t3, y = 3t2/2, 0 ≤ t ≤ √3;
(e) x = 8cos t+ 8t sen t, y = 8cos t− 8t sen t, 0 ≤ t ≤ pi2 ;
22. Determine a a´rea da regia˜o em forma de he´lice compreendida entre a curva x− y3 = 0 e a reta x− y = 0.
23. Determine a a´rea da regia˜o no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2, a curva y = 1x2 e
o eixo x.
RESPOSTAS
1.
125
6
u. a.
2. (a) 0
(b) 4 u. a.
3. V ∼= 15 cm3.
4. ≈ 3, 63 u. c.
5.
37
12
u. a.
6.
9
2
u. a.
7. (a)
2pi
3
u. v.
(b)
117pi
5
u. v.
(c) pi(pi − 2) u. v.
8.
10
3
u. a.
9. 3pi u. v.
10. 18 u. a.
11. 8pi u. v.
12.
8
3
u. a.
13.
4
3
pia3 u. v.
14.
7pi
6
u. v.
15.
117pi
5
u. v.
16. ≈ 2, 27 u. c.
17. pi u. a.
18. (a)
4pi
3
u. v.
(b) 8pi u. v.
19. pi u. a.
20.
8pi
3
u. v.
21. (a)
5
√
10
3
u. c.
(b) ≈ 6, 13 u. c.
(c) xx
(d) 7 u. c.
(e) xx
22.
1
2
u. a.
23. 1 u. a.
Lista elaborada e digitada pela professora Ms. Marieli Musial Tumelero.
Refereˆncia Bibliogra´fica:
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STEWART, James. Ca´lculo. Vol. 2. 6a ed. Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol. 1. 2a ed. Sa˜o Paulo: Makron Books do Brasil,1994.
THOMAS, G. B. Ca´lculo. Vol. 1. 10aed. Sa˜o Paulo: Person, 2002.
2