Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II CA´LCULO 3 —– SEGUNDO SEMESTRE DE 2011 Estudo dirigido 3: Teorema de Green 1. Seja C a curva obtida pela unia˜o dos gra´ficos y = senx e y = 2 senx para 0 ≤ x ≤ pi; orientamos C no sentido anti-hora´rio. Calcule a integral abaixo de duas formas: (i) pela definic¸a˜o; (ii) pelo teorema de Green. ˆ C (1 + y2) dx+ y dy 2. Sejam F o campo vetorial no plano definido por F(x, y) = (2xy + y2 − y + 2, x2 + 2xy + x+ yey3) e C o arco da elipse 4x2 + 9y2 = 36 no semiplano y ≥ 0. Calcule a integral de F ao longo de C desde o ponto A(3, 0) ate´ o ponto B(−3, 0). Sugesta˜o: Considere a curva γ obtida unindo C ao segmento de reta BA e aplique o teo- rema de Green a` curva fechada γ; reflita agora sobre como proceder para obter a integral sobre a curva C acima e conclua o ca´lculo. 3. Quais das regio˜es a seguir sa˜o simplesmente conexas? Justifique. (i) R2 − {(1, 1)}; (ii) R2 − l, onde l e´ o semi-eixo {(x, 0) : x ≤ 0}; (iii) R2 − S, onde S e´ o segmento {(x, 0) : 1 ≤ x ≤ 2}. 4. Calcule a a´rea da regia˜o interior a` curva r(t) = (cos t, sen3t) (0 ≤ t ≤ 2pi). 5. Sejam C1 e C2 os c´ırculos x 2 +y2 = 9 e x2 +y2 = 1, orientados no sentido anti-hora´rio. Se F(x, y) = (x2 + x x2 + y2 , x3 + y3), calcule ´ C1 F · dr− ´ C2 F · dr de duas formas: (i) usando o teorema de Green; (ii) calculando diretamente as duas integrais. E´ poss´ıvel usar o teorema de Green para calcular cada integral separadamente? Por queˆ? 6. Seja F o campo vetorial em R2 − {(0, 0)} dado por F(x, y) = (−y, x) x2 + y2 . (a) Se C e´ o c´ırculo x2 + y2 = R2 percorrido no sentido anti-hora´rio, calcule ´ C F · dr. (b) Justifique: Se γ e´ uma curva simples fechada (orientada no sentido anti-hora´rio) que circunda a origem (isto e´, (0, 0) ∈ int(γ)), enta˜o ´ γ F · dr = 2pi. Qual e´ o valor desta integral se (0, 0) e´ exterior a` curva? (c) (Aplicac¸a˜o de Ca´lculo 3 a Ca´lculo 1) Use o resultado acima no caso em que γ e´ a elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 para concluir que ˆ 2pi 0 1 a2 cos2 t+ b2 sen2 t dt = 2pi ab .
Compartilhar