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Profª Lilian Brazile 1 Reta Condições de Alinhamento de Três Pontos: Dados três pontos 𝐴 = (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴), 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) e 𝐶 = (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶), representados geometricamente abaixo. Os três pontos estão alinhados se, e somente se, | 𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝟏 𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝟏 𝒙𝑪 𝒚𝑪 𝟏 | = 𝟎 Exemplo: Verifique se os pontos 𝐴 = (−1,3), 𝐵 = (5,2) e 𝐶 = (0,4) estão alinhados: | −1 3 1 5 2 1 0 4 1 | −1 3 5 2 0 4 = −1.2.1 + 3.1.0 + 1.5.4 − 1.2.0 − (−1).1.4 − 3.5.1 = = −2 + 0 + 20 − 0 + 4 − 15 = 37 ≠ 0 ∴ os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não estão alinhados. Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial Equação da Reta Profª Lilian Brazile Profª Lilian Brazile 2 Equação Geral de uma Reta: Dados três pontos 𝐴 = (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴), 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) e 𝑋 = (𝑥, 𝑦), sendo 𝑋 um ponto genérico da reta que passa por 𝐴 e 𝐵, representados geometricamente abaixo. Como os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝑋 estão alinhados, temos: | 𝑥 𝑦 1 𝑥𝐵 𝑦𝐵 1 𝑥𝐶 𝑦𝐶 1 | = 0 𝑥𝐴𝑦𝐵 + 𝑦𝐴𝑥 + 𝑥𝐵𝑦 − 𝑦𝐵𝑥 − 𝑥𝐴𝑦 − 𝑦𝐴𝑥𝐵 = 0 𝑥(𝑦𝐴 − 𝑦𝐵) + 𝑦(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴) + 𝑥𝐴𝑦𝐵 − 𝑥𝐵𝑦𝐴 = 0 Logo, a equação geral da reta é dada por: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 Exemplo: Escreva a equação geral da reta que passa pelos pontos 𝐴 = (3, −2) e 𝐵 = (0,1). | 𝑥 𝑦 1 3 −2 1 0 1 1 | 𝑥 𝑦 3 −2 0 1 = 0 𝑥. (−2). 1 + 𝑦. 1.0 + 1.3.1 − 1. (−2). 0 − 𝑥. 1.1 − 𝑦. 3.1 = 0 −2𝑥 + 3 − 𝑥 − 3𝑦 = 0 −3𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 Profª Lilian Brazile 3 Equação Reduzida de uma Reta: Isolando a variável 𝑦, na equação geral da reta, encontramos a equação reduzida da reta: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 𝑏 𝑦 = − 𝑎 𝑏 𝑥 − 𝑐 𝑏 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 Onde 𝑚 é o coeficiente angular da reta e 𝑛 é o coeficiente linear da reta. O coeficiente angular é dado por 𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼, onde 𝛼 é o ângulo de inclinação da reta, ou seja, o ângulo entre a reta e o eixo 𝑥 e, o coeficiente linear indica onde o eixo y é “cortado”. o Se 𝑚 > 0 ⟹ 𝛼 < 90° ⟹ reta crescente; o Se 𝑚 < 0 ⟹ 𝛼 > 90° ⟹ reta decrescente; o Se 𝑚 = 0 ⟹ 𝛼 = 0° ⟹ reta paralela ao eixo 𝑦; o Se não existir o 𝑚 ⟹ 𝛼 = 90° ⟹ reta paralela ao eixo 𝑥; Profª Lilian Brazile 4 Exemplo: Escreva a equação reduzida da reta −3𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0. −3𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 −3𝑦 = 3𝑥 − 3 𝑦 = 3𝑥 − 3 −3 𝑦 = −3𝑥 + 3 3 𝑦 = −𝑥 + 1 Onde o coeficiente angular 𝑚 = −1 e, o coeficiente linear 𝑛 = 1. Equação Fundamental de uma Reta: É determinada pela expressão 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 · (𝑥 − 𝑥0) , logo 𝑚 = 𝑦−𝑦0 𝑥−𝑥0 . Exemplos: 1) Determinar a equação da geral e reduzida da reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝐴 = (−1,4) e tem coeficiente angular igual a 2. 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 · (𝑥 − 𝑥0) 𝑦 − 4 = 2 · (𝑥 − (−1)) 𝑦 − 4 = 2 · (𝑥 + 1) 𝑦 = 2𝑥 + 2 + 4 𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 6 equação reduzida da reta 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 equação geral da reta Profª Lilian Brazile 5 2) Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto 𝐴 = (−3,2) e 𝐵 = (−3, −1). 𝑚 = 𝑦 − 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 𝑚 = −1 − 2 3 − 3 = − 3 −6 𝑚 = 1 2 Profª Lilian Brazile 6 EXERCÍCIOS 1) Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: a) 𝐴 = (1,3), 𝐵 = (2,1) e 𝐶 = (3,4) b) 𝐴 = (4,5), 𝐵 = (−4,4) e 𝐶 = (0, −1) c) 𝐴 = (−8, −1), 𝐵 = (−4, −6) e 𝐶 = (−1,4) d) 𝐴 = (2,0), 𝐵 = (1,1) e 𝐶 = (−2,6) e) 𝐴 = (0,2), 𝐵 = (0,1) e 𝐶 = (0,3) f) 𝐴 = (−2,6), 𝐵 = (2,0) e 𝐶 = (1,1) 2) Escreva a equação geral e reduzida da reta 𝑟 que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 e, indique o coeficiente angular e linear, em cada caso: a) 𝐴 = (−2,1) e 𝐵 = (−1,2) b) 𝐴 = (0, −2) e 𝐵 = (−7,5) c) 𝐴 = (3, −1) e 𝐵 = (1,6) d) 𝐴 = (−2, −4) e 𝐵 = (−1, −1) e) 𝐴 = (−3,0) e 𝐵 = (2,3) f) 𝐴 = (−5,7) e 𝐵 = (2, −3) g) 𝐴 = (−1,0) e 𝐵 = (0,2) h) 𝐴 = (3,0) e 𝐵 = (0,5) i) 𝐴 = (7,0) e 𝐵 = (0,6) j) 𝐴 = (2,0) e 𝐵 = (0, −1) k) 𝐴 = (−3,0) e 𝐵 = (0,3) l) 𝐴 = (−5,0) e 𝐵 = (0, −3)
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