Equação da Reta

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Equação da Reta
A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano (x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos determinar sua equação.
Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença.
Equação geral da reta
Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.
Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.
Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:
Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:
(ya - yb) x + (xb - xa) y + xayb - xbya = 0
Vamos chamar:
a = (ya - yb)
b = (xb - xa)
c = xayb - xbya
A equação geral da reta é definida como:
ax + by + c = 0
Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.
Exemplo
Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).
Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.
Desenvolvendo o determinante, encontramos:
(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:
9x - 4y + 41 = 0
Equação reduzida da reta
Coeficiente angular
Podemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x.
Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que:
m = tg θ
O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos pertencentes a reta.
Como m = tg θ, então:
Exemplo
Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3).
Sendo,
x1 = 1 e y1 = 4
x2 = 2 e y2 = 3
Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, podemos definir sua equação.
Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta:
Exemplo
Determine uma equação da reta que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular 3.
Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
Coeficiente linear
O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n).
Utilizando esse ponto, temos:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (Equação reduzida da reta).
Exemplo
Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y.
Como temos a equação reduzida da reta, então:
m = 1
Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
O ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto será P(0,5)
Equação segmentária da reta
Podemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y:
Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos:
Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta:
Exemplo
Escreva na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2.
Primeiro vamos encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular:
Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta: