Notas de aula cap 4

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NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Capítulo 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Luiz Fernando Nunes 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear ii 
Índice 
 
 
 
4 Espaços Vetoriais ..................................................................................................... 1 
4.1 Definição e Espaços Vetoriais .......................................................................... 1 
4.2 Algumas propriedades de um espaço vetorial .................................................. 1 
4.2.1 Exemplos de Espaços Vetoriais .................................................................. 1 
4.2.2 Outros exemplos de espaços vetoriais ........................................................ 3 
4.2.3 Outros exercícios ......................................................................................... 5 
4.3 Subespaços Vetoriais ........................................................................................ 5 
4.3.1 Definição de subespaços Vetoriais ............................................................. 5 
4.3.2 Exemplos de subespaços Vetoriais ............................................................. 6 
4.3.3 Intersecção de Subespaços Vetoriais .......................................................... 8 
4.3.4 Soma de subespaços Vetoriais .................................................................... 9 
4.3.5 Combinações Lineares .............................................................................. 11 
4.3.6 Subespaços Gerados .................................................................................. 12 
4.4 Dependência e Independência Linear ............................................................. 15 
4.4.1 Alguns exemplos de conjuntos de vetores que são LI ou LD ................... 15 
4.4.2 Outros exercícios sobre dependência e independência linear ................... 17 
4.5 Base de um Espaço Vetorial ........................................................................... 18 
4.5.1 Alguns exemplos ....................................................................................... 18 
4.5.2 Mudança de Base ...................................................................................... 20 
4.6 Espaços Vetoriais com Produto Interno .......................................................... 25 
4.7 Espaços Vetoriais Normados .......................................................................... 25 
4.7.1 Ângulo entre dois Vetores ......................................................................... 25 
4.8 Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt .......................................... 25 
4.9 Referências Bibliográficas .............................................................................. 25 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 
4 Espaços Vetoriais 
4.1 Definição e Espaços Vetoriais 
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas duas operações chamadas 
de adição e multiplicação por escalar, que são “fechadas” em V, isto é: 
Adição: 
VvuVvu  ,,
 
Multiplicação por escalar: 
VuVu  ,e
 
O conjunto V com estas duas operações é chamado de Espaço Vetorial Real (ou 
Espaço Vetorial sobre 

), se forem verificados os seguintes axiomas (
Vwvu  ,,
 e 
 ,
): 
 
V1) 
    wvuwvu 
 
V2) 
uvvu 
 
V3)
v0vV0  ;
 
V4) 
0vvVv  )(;)(
 
V5) 
  vuvu 
 
V6) 
  vvv 
 
V7) 
   vv 
 
V8) 
vv 1
 
 
Estes Axiomas são chamados de Axiomas de Espaço Vetorial. 
4.2 Algumas propriedades de um espaço vetorial 
a) O vetor nulo é único. 
b) Cada vetor 
Vu
 admite apenas um simétrico 
Vu  )(
 
c) Para quaisquer vetores u, v, w 
V
, se u + w = v + w, então u = v 
d) Qualquer que seja 
Vu
, tem-se 
  uu 
 
e) Quaisquer que sejam os vetores u, v 
V
, existe um e somente um vetor w
V
, tal 
que: 
vwu 
 
f) Qualquer que seja 
Vu
, tem-se 
0u 0
 
g) Qualquer que seja 

, tem-se 
00 
 
h) 
0u 
 implica que 
0
 ou 
0u 
 
i) Qualquer que seja 
Vu
, tem-se 
  uu 1
 
j) Quaisquer que sejam 
Vu
 e 

, tem-se 
     uuu 
 
 
4.2.1 Exemplos de Espaços Vetoriais 
 
1. Verifique que o conjunto 
   2121
2 e;, xxxxV
, com as operações assim 
definidas: 
Adição: 
     22112121 ,,, yxyxyyxx 
 
Multiplicação por escalar: 
   2121 ,, xxxx 
 
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o 2 ) 
é um espaço vetorial. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 
 
Devemos verificar todos os axiomas considerando: 
 21, xxx 
, 
 21, yyy 
, 
 21, zzz 
 e 
,
 
 
V1) 
    zyxzyx 
 
 
  zyx       212121 ,,, zzyyxx 
=
   221121 ,, zyzyxx 
=
    222111 , zyxzyx 
=
    222111 , zyxzyx 
=
   212211 ,, zzyxyx 
=
      212121 ,,, zzyyxx 
=
  zyx 
 
 
V2) 
xyyx 
 
 
yx 
=
   2121 ,, yyxx 
=
 2211 , yxyx 
=
 2211 , xyxy 
=
   2121 ,, xxyy 
=
xy 
 
 
V3) 
x0xV0  ;
 
 
Tome 
 0,00
, então: 
   0,0, 21  xx0x
=
 0,0 21  xx
=
 21, xx
= x 
 
V4) 
0xxVx  )(;)(
 
 
Tome 
   21, xxx 
, então: 
)( xx 
=
 21, xx
+
 21, xx 
=
    2211 , xxxx 
=
  00,0
 
 
V5) 
  yxyx 
 
 
      2121 ,, yyxxyx 
=
 2211 , yxyx 
=
    2211 , yxyx 
=
 2211 , yxyx 
= 
 21, xx 
+
 21, yy 
=
 21, xx
+
 21, yy
=
yx 
 
 
V6) 
  xxx 
 
 
  x
=
   21, xx
=
    21, xx 
=
 2211 , xxxx 
=
   2121 ,, xxxx 
=
   2121 ,, xxxx 
=
xx 
 
 
V7) 
   xx 
 
 
     21, xxx 
=
    21, xx 
=
    21 , xx 
=
 21, xx 
=
  21, xx
=
 x
 
 
V8) 
xx 1
 
 
      xxxxxxxx  212121 ,1,1,11
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 3 
2. Verifique que o conjunto 
   321321
3 e,;,, xxxxxxV
, com as operações 
assim definidas: 
Adição: 
     332211321321 ,,,,,, yxyxyxyyyxxx 
 
Multiplicação por escalar: 
   321321 ,,,, xxxxxx 
 
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o 
3
) 
é um espaço vetorial. 
3. Generalize para o 
n
, isto é, com base nos exemplos anteriores, verifique que o 
conjunto 
   nn
n xxxxxxV ,.....,,;,.....,, 2121
, com as operações assim 
definidas: 
Adição: 
     nnnn yxyxyxyyyxxx  ,.....,,,.....,,,.....,, 22112121
 
Multiplicação por escalar: 
   nn xxxxxx  ,.....,,,.....,, 2121
 
(operações usuais de adição e multiplicação por escalar para o n ) 
é um espaço vetorial. 
4.2.2 Outros exemplos de espaços vetoriais 
4. O espaço constituído do conjunto das matrizes 
  };][{   ijnmijnmnm aaAM
, 
com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de matriz por número 
real. 
5. O espaço 
 nP
 constituído pelo conjunto dos polinômios de coeficientes reais com 
grau menor ou igual a n, mais o polinômio nulo, com as operações usuais de adição de 
polinômios e multiplicação de polinômio por número real. 
Obs.: Verifique que:            
       




nn
nn
PxpPxp
PxpxpPxpxp
11
2121
,
, 
6. O espaço 
 IC
constituído pelo conjunto das funções contínuas definidas de 
I
 em 

, com as operações de adição de funções e multiplicação de função por número real 
definidas como: 
      xgxfxgf 
 e 
    xfxf 
 
7. Verifique que o conjunto 
  0,;, 2121  xxxxV
, com as operações assim 
definidas: 
Adição: 
     22112121 ,,, yxyxyyxx 
 
Multiplicação por escalar: 
    2121 ,, xxxx
 
é um espaço vetorial.OBS: estas operações não são as operações usuais de adição e multiplicação por 
escalar. Por esta razão foram utilizados os símbolos diferentes: 

 e  para representá-las, 
evitando quaisquer confusões com as operações usuais. 
 
 
Devemos verificar todos os axiomas. Para isto consideremos: 
 21, xxx 
, 
 21, yyy 
, 
 21, zzz 
 e 
 ,
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 4 
 
V1) 
    zyxzyx 
 
 
 zyx 
=
      212121 ,,, zzyyxx 
=
   221121 ,, zyzyxx 
=
    222111 , zyxzyx 
=
    222111 , zyxzyx 
=
   212211 ,, zzyxyx 
=
      212121 ,,, zzyyxx    zyx 
 
 
V2) 
xyyx 
 
 
yx
=
   2121 ,, yyxx 
=
 2211 , yxyx 
=
 2211 , xyxy 
=
   2121 ,, xxyy 
=
xy
 
 
V3) 
x0xV0  ;
 
 
Tome 
 1,10
, então: 
   1,1, 21  xx0x
=
 1,1 21  xx
=
 21, xx
= x 
 
V4) 
  Vxxx  21,
, 
0xxVx  )(;)(
 
 
Tome 
  






21
1
,
1
xx
x
, então: 
)( xx 
=
 21, xx







21
1
,
1
xx
=





















2
2
1
1
1
,
1
x
x
x
x
=
  01,1
 
 
V5) 
  yxyx  
 
 
      2121 ,, yyxxyx  
=
 2211 , yxyx  
= 
      2211 , yxyx
=
   2211 , yxyx
= 
  21 , xx    21 , yy
=
 21, xx
  21, yy
=
yx  
 
 
V6) 
  xxx  
 
 
  x
=
   21, xx
=
     21 , xx
=
   2211 , xxxx
=
     2121 ,, xxxx
=
   2121 ,, xxxx  
=
xx  
 
 
V7) 
   xx  
 
 
     21, xxx  
=
  21 , xx
=
    




 
21 , xx
=
  21 , xx
=
  21, xx 
=
 x 
 
 
V8) 
xx 1
 
 
      xxxxxxxx  21121121 ,,,11 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 5 
 
4.2.3 Outros exercícios 
 
8. Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 
2V
), com as operações assim definidas: 
Adição: 
     22112121 ,,, yxyxyyxx 
 
Multiplicação por escalar (não usual): 
   2121 ,, xxxx  
 
Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que 
axiomas não são verificados? 
Resposta: O axioma V6 não é verificado. 
 
9. Considere o conjunto V de todos os pares ordenados de números reais (ou seja, 
2V
), com as operações assim definidas: 
Adição (não usual): 
     0,,, 112121 yxyyxx 
 
Multiplicação por escalar: 
   2121 ,, xxxx 
 
Verifique que o conjunto V com estas operações não é um espaço vetorial. Que 
axiomas não são verificados? 
Resposta: Os axiomas V3 e V6 não são verificados. 
 
10. Considere o conjunto de todos os números reais (ou seja, 
V
), com as operações 
assim definidas: 
Adição (não usual): 
 yxyx ,max
 
Multiplicação por escalar: 
xx 
 
V
 é um espaço vetorial com estas operações? Justifique sua resposta. 
 
 
4.3 Subespaços Vetoriais 
4.3.1 Definição de subespaços Vetoriais 
 
Sejam dados 



 ) de vazionãoosubconjunt um é ( ,
evetorialespaçoum
VWWVW
V 
W é denominado um subespaço vetorial de V quando: 
(i) 
WvuWvu ,
 
(ii) 
WuWu  ,
 
 
 
OBS: 
a) 
W0WuWu  0,0
 
b) Dado um espaço vetorial V, existem pelo menos dois subespaços vetoriais de V, que 
são chamados de subespaços triviais e são: 



}{
e
0
V 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 6 
4.3.2 Exemplos de subespaços Vetoriais 
11. Se 
2W
 é uma reta que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do 
2
. 
 
Demonstração: Seja 
0 byax
 a equação cartesiana de uma reta que passa pela 
origem. Neste caso, W é o conjunto de todos os pares ordenados 
 yx,
 que satisfazem esta 
equação. 
Então, devemos provar que se: 
(i) 
WvuWvu ,
 e 
(ii) 
WuWu  ,
 
 
Considerando 
 11, yxu 
 e 
 22 , yxv 
, temos: 
 
(i) Se 
Wvu, 011  byax
 e 
022  byax
 

 Somando membro a membro 
obtemos: 
    02121  yybxxa

 Logo, o par ordenado 
  vuyyxx  2121 ,
 
também satisfaz à equação
0 byax
, assim concluímos que 
Wvu 
. 
 
(ii) 
 Wu,  11, yxu 
 e 
011 byax
 

 Multiplicando os dois 
membros da expressão 
011 byax
 por 

 obtemos: 
  011  byax

 
    011  ybxa

 Logo, o par ordenado 
  uyx   11,
 também satisfaz à 
equação
0 byax
, assim concluímos que 
Wu
. 
 
12. Se 3W é um plano que passa pela origem, então W é um subespaço vetorial do 
3
. 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 7 
Demonstração: Seja 
0 czbyax
 a equação cartesiana de um plano que passa 
pela origem. Neste caso, W é o conjunto de todas as triplas ordenadas 
 zyx ,,
 que satisfazem 
esta equação. 
Então, devemos provar que se: 
(i) 
WvuWvu ,
 e 
(ii) 
WuWu  ,
 
 
Considerando 
 111 ,, zyxu 
 e 
 222 ,, zyxv 
, temos: 
 
(i) Se 
Wvu, 0111  czbyax
 e 
0222  czbyax
 

 Somando membro 
a membro obtemos: 
      0212121  zzcyybxxa

Logo, a tripla ordenada 
  vuzzyyxx  212121 ,,
 também satisfaz à equação
0 czbyax
, assim 
concluímos que 
Wvu 
. 
 
(ii) 
 Wu,  111 ,, zyxu 
 e 
0111  czbyax
 

 
Multiplicando os dois membros da expressão 
0111  czbyax
 por 

 obtemos: 
  0111  czbyax
       0111  zcybxa

 Logo, a tripla ordenada 
  uzyx  111 ,,
 também satisfaz à equação
0 czbyax
, assim concluímos que 
Wu
. 
 
OBS: Podemos provar também, que qualquer reta que passa pela origem é também um 
subespaço vetorial do 3 . 
 
13. O conjunto W das matrizes triangulares superiores (ou inferiores) 
nn
 é um 
subespaço vetorial de 
  };][{   ijnnijnnnn aaAM
. 
Isto significa que: 
(i) a soma de duas matrizes triangulares superiores (ou inferiores) 
nn
 é também uma 
matriz triangular superior (ou inferior) 
nn
, e que: 
(ii) o produto de uma matriz triangular superior (ou inferior) 
nn
 por um número real 
é também uma matriz triangular superior (ou inferior) 
nn
. 
 
 
14. Seja 
  };][{ 222222   ijij aaAMV
, isto é: 
  },,,;{22 





  dcba
dc
ba
MV
. Então, o conjunto 
},,;
00
{ 





 ba
ba
W
 é 
um subespaço vetorial de V. 
Basta verificar que: 
(i) a soma de duas matrizes quaisquer 
22
, que possuam os elementos 
21a
 e 
22a
 
iguais a zero será uma matriz 
22
 que também tem os elementos 
21a
 e 
22a
 nulos, e que: 
(ii) o produto de uma matriz qualquer 
22
, que possua os elementos 
21a
 e 
22a
 iguais 
a zero, por um número real, será uma matriz 
22
 que também tem os elementos 
21a
 e 
22a
 
nulos. 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 8 
15. Dado um sistema de equações lineares homogêneo, do tipo 
0xA 
, onde A é a 
matriz dos coeficientes das incógnitas, 













nx
x
x
x

2
1
 é o vetor das incógnitas e 













0
0
0

0 é o 
vetor dos termos independentes (todos nulos, pois o sistema é homogêneo), então o 
conjunto das soluções deste sistema é um subespaço vetorial de 
1nM
. 
Isto quer dizer que: 
(i) a soma de duas soluções deste sistema é também solução do sistema, e que: 
(ii) o produto de uma solução deste sistema por um número real é também solução 
deste sistema. 
Isto pode ser provado da seguinte forma: 
(i) Se 













nx
x
x
x

2
1
 e 













ny
y
y
y

2
1
 são soluções do referido sistema, então temos que 
0xA 
 e 
0yA 
. Somando estes resultados, membro a membro, obtemos 
 xA
0yA 
   0yxA 
. Logo o vetor 
 yx













nx
x
x

2
1



























nnn yx
yx
yx
y
y
y

22
11
2
1
 é também 
solução do sistema. 
(ii) Se 













nx
x
x
x

2
1
 é solução do sistema, então 
0xA 
. Multiplicando os dois lados 
desta igualdade pelo número real 

 obtemos: 
    0xA0xA 
. Logo o vetor 
 x





























nn x
x
x
x
x
x

2
1
2
1
 é também solução do sistema. 
4.3.3 Intersecção de Subespaços Vetoriais 
Se 
1W
 e 
2W
 são subespaços vetoriais de V, então 
21 WW 
 é também um subespaço 
vetorial de V. 
Demonstração: 
 
(i) 
  21, WWvu  21 ,e, WvuWvu
 
     21 e WvuWvu   21 WWvu 
 
 
(ii) 
 2121 e, WuWuWWu
 
 21 e WuWu 21 WWu 
. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 9 
As figuras abaixo apresentam dois casos para ilustrar que a intersecção de dois 
subespaços vetoriais de V é também um subespaço vetorial de V: 
 
a) Se 
1W
 e 
2W
 são retas que passam pela origem (e portanto são subespaços vetoriais 
do 
2
), então 
}{21 0WW 
, isto é, a intersecção de 
1W
 e 
2W
 é um conjunto unitário 
constituído pela origem do sistema cartesiano (
 0,00
), que já sabemos que é um dos 
subespaços triviais do 
2
. 
 
 
b) Se 
1W
 e 
2W
 são planos que passam pela origem (e portanto são subespaços 
vetoriais do 
3
), então 
21 WW 
 é uma reta que também passa pela origem (no caso da figura 
é o eixo das cotas, isto é, o eixo z), que também é um subespaço vetorial do 3 . 
 
 
OBS: Encontre alguns contra-exemplos para provar que se 
1W
 e 
2W
 são subespaços 
vetoriais de V, então 
21 WW 
 não é necessariamente um subespaço vetorial de V (isto é, a 
união de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço vetorial). 
4.3.4 Soma de subespaços Vetoriais 
Sejam 
1W
 e 
2W
 dois subespaços vetoriais de V. 
Definimos a soma destes dois subespaços como: 
 
}ecom,:{ 22112121 WwWwwwvVvWW 
. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 10 
Podemos provar que o conjunto 
21 WW 
, assim definido, é um subespaço vetorial de 
V. 
Para isto, devemos provar que 
21 WW 
 é “fechado” em relação à soma de vetores e à 
multiplicação de vetor por número real, isto é, devemos mostrar que: 
 
(i) 
  21, WWvu    21 WWvu 
 
 
(ii) 
  21, WWv  21 WWv 
. 
 
Provemos primeiramente o item (i): 
 
  21, WWvu 2
''
2
'
21
''
1
'
1
''
2
''
1
'
2
'
1 ,e,com,e WwwWwwwwvwwu 
 
       

21
''
2
'
2
''
1
'
1
''
2
''
1
'
2
'
1
WW
wwwwwwwwvu


   21 WWvu 
. 
Agora provemos o item (ii): 
 
  21, WWv 221121 ecom, WwWwwwv 
2211 e WwWw     212121 WWvwwww 
. 
 
OBS: 
a) 
 211 WWW 
 e 
 212 WWW 
; 
Basta lembrarmos que 
}ecom,:{ 22112121 WwWwwwvVvWW 
. 
Se tomarmos 
 0wv0w 12 1w
, logo 
 211 WWW 
. 
Se tomarmos 
 21 w0v0w 2w
, logo 
 212 WWW 
. 
 
b) 
21 WW 
 é denominado “soma” de 
1W
 com 
2W
 (não é união); 
 
c) Pode ocorrer que 
}{21 0WW 
, isto é, a intersecção de 
1W
 com 
2W
 pode resultar em 
um conjunto unitário constituído apenas pelo vetor nulo. Neste caso, denotaremos a soma por 
21 WW 
 e a chamaremos de soma direta. 
Alguns exercícios sobre subespaços vetoriais 
16. Na sequência são apresentados alguns subconjuntos do 2 ou do 3 . Verifique quais 
deles são subespaços vetoriais (do 2 ou do 3 , respectivamente) considerando as 
operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
a) 
  }/,{ xyyxS 
 Resposta: Sim. 
b) 
  }/,{ 2xyyxS 
 Resposta: Não. 
c) 
  }03/,{  yxyxS
 Resposta: Sim. 
d) 
  }/,{ xyyxS 
 Resposta: Não. 
e) 
  }2/,,{ yxzzyxS 
 Resposta: Sim. 
f) 
  }423/,,{  yxzzyxS
 Resposta: Não. 
g) 
  }/,,{ 2xzzyxS 
 Resposta: Não. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 11 
17. Seja o subespaço vetorial do 
4
 definido por: 
  }0e02/,,,{ 4  tzyxtzyxS
. Verifique se os vetores que seguem 
pertencem a S: 
a) 
 0,3,2,1
 Resposta: Não. 
b) 
 0,5,1,3
 Resposta: Sim. 
c) 
 1,1,1,1
 Resposta: Não. 
d) 
 0,3,2,1 
 Resposta: Sim. 
18. Seja o subespaço vetorial do 
 22M
, com as operações usuais de adição de matrizes 
e multiplicação de matriz por número real definido por: 
},;
2
{ 







 ba
bba
aba
S
. 
a) o vetor 
?
21
65
S





 Resposta: Sim. 
b) Qual o valor de k para que 
?
32
4
S
k







 Resposta: 2k . 
 
4.3.5 Combinações Lineares 
Sejam os vetores 
Vvvv n ,,, 21 
 e os escalares 
 n,,, 21 
. Qualquer 
vetor 
Vv
 da forma 
nnvvv  2211
 é uma combinação linear dos vetores 
nvvv ,,, 21 
, com coeficientes 
n ,,, 21 
. 
 
Alguns exercícios sobre combinações lineares 
19. Considere os vetores do 3 :  2,3,1u e  1,4,2 v . 
 
a) Escreva o vetor 
 7,18,4 w
 como combinação linear de u e v. 
Resolução: 
vuw 
 
     1,4,22,3,17,18,4 
 








72
1843
42



 2
 e 
3
 vuw 32 
 
 
 
b) Mostrar que o vetor 
 6,3,4 t
 não pode ser escrito como combinação linear de u 
e v. 
Resolução: 
Basta mostrar que o sistema 








62
343
42



 é impossível. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 12 
c) Determine o valor de k para que o vetor 
 7,,1  kq
 possa ser escrito como 
combinação linear de u e v. 
Resolução: 








72
43
12



k
 Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que 
13k
. 
 
d) Determine a relação que deve existir entre x, y, z de modo que o vetor 
 zyx ,,
 
possa ser escrito como combinação linear de u e v. 
Resolução: 








z
y
x



2
43
2

 Basta mostrar que para que este sistema seja SPD é necessário que 
02  zyx
. 
20. Mostre que o vetor 
  24,3 t
 pode ser escrito de infinitas maneiras como 
combinações lineares de 
 0,1u
, 
 1,0v
 e 
 1,2 w
. 
Resolução: 
wvut 
 
       1,21,00,14,3 
 





4
32  Basta mostrar para que este sistema é SPI. 
 
4.3.6 Subespaços Gerados 
Seja V um espaço vetorial e 
Vvvv n ,,, 21 
. Então o conjunto: 
VaaavavavaS nnn  },,,;{ 212211 
 é denominado conjunto 
gerado por 
nvvv ,,, 21 
. 
 
Representação: 
],,,[ 21 nvvvS 
. 
OBS: 
a) 
nvvv ,,, 21  ],,,[ 21 nvvv 
, pois: 
nni vavavav  2211
, com 
1ia
 e 
0ja
 se 
ij 
. 
b) 
],,,[ 21 nvvv0 
, basta fazer 
0ia
, 
i
. 
 
 
Proposição: O conjunto gerado por 
nvvv ,,, 21 
, isto é 
],,,[ 21 nvvvS 
 é um 
subespaço vetorial de V. 
Então, devemos provar que se: 
(i) 
SvuSvu ,
 e 
(ii) 
SuSu  ,
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 13 
(i) 
nnvavavauSvu  2211,
 e 
nnvbvbvbv  2211
. 
Somando estas duas últimas expressões, membro a membro, obtemos 
      nnn vbavbavbavu  222111
Svu 
 
 
(ii)
 Su,  nnvavavau  2211
=
      nn vavava  2211
Su
 
 
Alguns exemplos de subespaços gerados: 
21. 3V e 3v , então o subespaço gerado por v é uma reta que passa pela origem 
do sistema cartesiano e tem v como vetor diretor, isto é 
};{][  avavS
. 
22. 3V e 3
21, vv
, tais que 
 avva 21
, então o subespaço gerado por 
21, vv
 é um plano que passa pela origem do sistema cartesiano e tem 
21, vv
 como 
vetores diretores, isto é 
},;{],[ 21221121  aavavavvS
. 
23. 2V ,    1,0e0,1 21  vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , 
isto é, ache 
],[ 21 vv
. 
Resolução: 
},;{],[ 21221121  aavavavvS
=
    },;1,00,1{ 2121  aaaa
=
  },;,{ 2121 aaaa
= 2 . 
24. 3V , 
     1,0,0e0,1,0,0,0,1321  vvv
, encontre o subespaço vetorial gerado 
por 
1v
, 
2v
 e 
3v
, isto é, ache 
],,[ 321 vvv
. 
Resolução: 
},,;{],,[ 321332211321  aaavavavavvvS
=
      },,;1,0,00,1,00,0,1{ 321321  aaaaaa
=
  },,;,,{ 321321 aaaaaa
= 3 . 
25. 3V ,    0,1,0e0,0,1 21  vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 2v , 
isto é, ache 
],[ 21 vv
. 
Resolução: 
},;{],[ 21221121  aavavavvS
=
    },;0,1,00,0,1{ 2121  aaaa
=
  },;0,,{ 2121 aaaa
, isto é, é o plano que contém os eixos x e y ( xOy). 
26. 3V ,    1,1,2e1,2,1 21  vv , encontre o subespaço vetorial gerado por 1v e 
2v
, isto é, ache 
],[ 21 vv
. 
 
Resolução: 
},;{],[ 21221121  aavavavvS
=
    },;1,1,21,2,1{ 2121  aaaa
=
  },;,2,2{ 21212121  aaaaaaaa
, isto é: 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 14 
 ],[ 21 vvS       },;,2,2,,/,,{ 21212121
3  aaaaaaaazyxzyx
. 
 
Desta forma, para que uma tripla ordenada 
 zyx ,,
 possa pertencer a este subespaço 
gerado é necessário que:








zaa
yaa
xaa
21
21
21
2
2
 e isto ocorrerá se: 
 













z
y
x
11
12
21













zx
yx
x
30
250
21

















5
53
00
250
21
zyx
yx
x
 Logo devemos ter 
0
5
53

 zyx  053  zyx
 (que é um plano que passa pela origem). 
 
27. Ache um conjunto de geradores do seguinte subespaço: 
  }0/,,,{ 4  tzyxtzyxU
. 
 
Resolução: 
 
Fazendo 
tzyxtzyx  0
, então: 
  }0/,,,{ 4  tzyxtzyxU
=
  }/,,,{ 4 tzyxtzyx 
= 
  },,,,,,{  tzytzytzy
=
      },,/1,0,0,10,1,0,10,0,1,1{  tzytzy
 
Assim, 
      ]1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1[ U
 
 
28. Consideremos no espaço vetorial 3V os seguintes subespaços vetoriais: 
    ]1,1,1,0,0,1[U
 e 
    ]1,0,0,0,1,0[V
. Determinar um conjunto de geradores de 
VU 
. 
 
Resolução: 
 
VwUwVUw  e
, então 
 ,,,
 tais que: 
       1,0,00,1,01,1,10,0,1          ,0,00,,0,,0,0,
    ,,0,,
, logo: 







 0
 
 
Assim, os vetores 
VUw 
 são do tipo 
       1,0,00,1,01,1,10,0,1 
, ou 
 1,1,0w
. 
 
Desta forma, temos que 
VU 
=
  ]1,1,0[
. 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 15 
29. São Subespaços vetoriais de 
 IC
 os seguintes subconjuntos: 
      },/{  IttftfICfU
, é o conjunto das funções pares. 
      },/{  IttftfICfV
, é o conjunto das funções ímpares. 
Mostre que 
  VUIC 
, isto é, que 
 IC
 é soma direta de U com V. 
 
Resolução: 
Primeiro mostraremos que 
  VUIC 
: 
 
Toda função real f definida em I pode ser decomposta como: 
     thtgtf 
, 
It
, onde 
 
   
2
tftf
tg


 e 
 
   
2
tftf
th


. Como temos que: 
 
   
 tg
tftf
tg 


2
 e 
 
   
 th
tftf
th 


2
, então 
Ug 
 e 
Vh
. 
Portanto 
  VUIC 
. 
 
Agora mostraremos que 
  VUIC 
: 
Se 
VUf 
, então 
   tftf 
 e 
   tftf 
, 
It
. Logo, somando membro 
a membro, obtemos: 
    0tf0tf 2    VUIC 
, isto é, a soma é direta. 
30. Verifique que o espaço vetorial 
 22M
, com as operações usuais de adição de 
matrizes e multiplicação de matriz por número real, é gerado pelo seguinte conjunto 
de vetores: 
}
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
{ 























 
31. Quantos vetores, no mínimo, são necessários para gerar o espaço vetorial n ? 
Resposta: n vetores. 
4.4 Dependência e Independência Linear 
Seja V um espaço vetorial e 
Vvvv n ,,, 21 
. Diz-se que o conjunto 
},,,{ 21 nvvv 
 é linearmente independente (LI) quando: 
 0vavava nn2211 021  naaa 
 
(Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os coeficientes de tal 
combinação linear deverão ser todos iguais a zero). 
Caso contrário, isto é, se 
0vavava nn  2211
 e 
0 ja
 para algum j, 
dizemos que 
},,,{ 21 nvvv 
 é um conjunto linearmente dependente (LD). 
4.4.1 Alguns exemplos de conjuntos de vetores que são LI ou LD 
32. Seja 2V e o conjunto formado pelos vetores 
1v
 e 
2v
, sendo 
   2,4e1,2 21  vv
. Então este conjunto 
},{ 21 vv
 é LI ou LD ? 
Resposta: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem que os 
coeficientes sejam todos nulos, exemplo: 
  0vv  21 12
, isto é: 
      0,02,411,22 
. 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 16 
 
33. Seja 2V e o conjunto formado pelos vetores 
1v
 e 
2v
, sendo 
   1,0e0,1 21  vv
. Então este conjunto 
},{ 21 vv
 é LI ou LD ? 
Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os 
coeficientes deverão ser iguais a zero: 
     0,01,00,1 212211  aa0vava

   






0
0
0,0,
2
1
21
a
a
aa
 
 
34. Seja 2V e o conjunto formado pelos vetores 
1v
, 
2v
 e 
3v
, sendo 
     1,1e0,1,1,2 321  vvv
. Então este conjunto 
},,{ 321 vvv
 é LI ou LD ? 
Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que 
os coeficientes sejam nulos. 
       0,01,10,11,2 321332211  aaa0vavava






0
02
31
321
aa
aaa 






0101
0112 






 0110
0101  Logo o sistema é SPI, tendo infinitas soluções. Logo o 
referido conjunto é realmente LD. 
 
35. Seja 3V e o conjunto formado pelos vetores 
1v
, 
2v
 e 
3v
, sendo 
     5,4,5e1,4,3,2,0,1 321  vvv
. Então este conjunto 
},,{ 321 vvv
 é LI ou LD ? 
Resposta: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que 
os coeficientes sejam nulos. 
Para confirmar isto basta fazer: 
       0,0,05,4,51,4,32,0,1 321332211  aaa0vavava









052
0440
053
321
321
321
aaa
aaa
aaa

Escalonando podemos mostrar que este sistema é SPI. Logo o 
referido conjunto é realmente LD. 
Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que 
       0,0,05,4,511,4,312,0,122 321  0vvv
, isto é, podemos construir combinações 
lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos. 
 
36. Seja 3V e o conjunto formado pelos vetores 
1v
, 
2v
 e 
3v
, sendo 
     1,0,0e0,1,0,0,0,1 321  vvv
. Então este conjunto 
},,{ 321 vvv
 é LI ou LD ? 
Resposta: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os 
coeficientes deverão ser iguais a zero: 
       0,0,01,0,00,1,00,0,1 321332211  aaa0vavava

 
   









0
0
0
0,0,0,,
3
2
1
321
a
a
a
aaa
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 17 
 
Proposição: 
},,,{ 21 nvvv 
 é (LD) 

um dos vetores pode ser escrito como combinação 
linear dos outros. 
Demonstração: 
},,,{ 21 nvvv 
 é (LD) 

0vavava nn  2211
 com 
0ja
 para 
algum j 

podemos isolar o vetor 
jv
 ( o vetor que tem coeficiente 
0ja
), obtendo 
n
j
n
jj
j v
a
a
v
a
a
v
a
a
v


























 2
2
1
1 
um dos vetores pode ser escrito como 
combinação linear dos outros. 
4.4.2 Outros exercícios sobre dependência e independência linear 
37. Mostre que o conjunto 
}cos,sen,1{ 22 xx
 de vetores de 
  ,C
 é LD. 
Resolução: 
Basta lembrar da relação 
 1cossen 22 xx    0xx 22 cos1sen111
isto é, 
temos uma combinação linear nula sem que os coeficientes sejam todos nulos. 
 
38. Mostre que o conjunto 
},,1{ 2xx ee
 de vetores de 
 1,0C
 é LI. 
Resolução: 
Vamos partir de uma combinação linear nula destes vetores: 
 0eceba xx 21
 derivando tudo em relação a x obtemos: 
 0eceb xx 22
dividindo os dois membros da igualdade por 
xe
 obtemos: 
0ecb x2
 derivando novamente tudo em relação a x encontramos: 
 0ec x2
 
dividindo novamente os dois membros da igualdade por xe concluímos que: 002  cc 

logo 
0b
 e 
0a
. Ou seja, toda combinação linear nula destes vetores implicará que os 
coeficientes também deverão ser nulos. Assim, o referido conjunto é LI. 
 
39. Determinar os valores de m e n, para que os seguintes conjuntos de vetores do 3 
sejam LI. 
a) 
     }3,,1,4,0,2,1,5,3{ mm
 

resposta: 
0m
 
b) 
    }10,1,2,5,3,1{ m
 

resposta: 
5m
 
c) 
   }1,,3,,2,6{  mnmn
 

resposta: 
1m
 ou 
0n
 
 
Resolução de “a”: 
 
       0,0,03,,14,0,21,5,3 321332211  maama0vavava

 








0341
005
023
321
321
321
aaa
maama
aaa











0123
005
0341
mm 












08100
014200
0341
mm 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 18 










 07100
0450
0341
mm











000
0450
0341
m

Para que o sistema seja SPD devemos ter: 
0m
. 
 
4.5 Base de um Espaço Vetorial 
Seja V um espaço vetorial e 
Vvvv n ,,, 21 
. 
},,,{ 21 nvvv 
 é uma base de V se e somente se: 
(i) 
],,,[ 21 nvvv 
=V 
(ii) 
},,,{ 21 nvvv 
 é (LI) 
 
4.5.1 Alguns exemplos 
 
40. Verifique que o conjunto 
},{ 21 vv
, onde 
   1,0e0,1 21  vv
 é uma base do espaço 
vetorial 2V . (Esta base é chamada de base canônica do 2 ). 
Basta provar que este conjunto gera o 
2
 e é um conjunto LI, isto é: 
(i) 
    ]1,0,0,1[
=V 
(ii) 
   }1,0,0,1{
 é (LI) 
41. Verifique que o conjunto 
},{ 21 vv
, onde 
   0,4e0,1 21  vv
 não é uma base do 
espaço vetorial 2V . 
Basta provar que este conjunto não gera o 2 , ou que o mesmo não é LI. 
42. Seja o espaço vetorial nV  e o conjunto 
},,,{ 21 neee 
, onde: 
 0,0,,0,0,11 e
, 
 0,0,,0,1,02 e
, ... , 
 1,0,,0,0,0 ne
. 
Então 
},,,{ 21 neee 
 é uma base do n chamado de base canônica do n . 
 
Proposição: Seja 
},,,{ 21 nvvv 
 um conjunto de n vetores não nulos de um espaço 
vetorial V. Se 
Vvvv n ],,,[ 21 
, então podemos extrair uma base para V deste conjunto. 
 
Proposição: Seja V um espaço vetorial tal que 
},,,{ 21 nvvv 
 gera V. Sejam ainda, 
m vetores quaisquer de V: 
mwww ,,, 21 
com m > n. Então 
},,,{ 21 mwww 
 é (LD). 
Isto significa que se n vetores geram um espaço vetorial V, qualquer conjunto com 
mais do que n vetores é necessariamente LD. 
 
Demonstração: 
 0www mm2211 ??,?, 21  m
 
Seja 
},,,{ 21 rvvv 
 com 
nr 
 uma base de V, obtida de 
},,,{ 21 nvvv 
. 
Então: 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 19 










rrmmmm
rr
rr
vavavaw
vavavaw
vavavaw




2211
22221122
12211111
 
 
      rrrr vavavavavava 2222112212211111  
  0vavava rrmmmm  2211

 
 
 
      2222212111212111 vaaavaaa mmmm  
   0vaaa rmrmrr 2211
O conjunto 
},,,{ 21 rvvv 
 é (LI) pois é uma 
base, logo: 










0
0
0
2211
2222121
1212111
mrmrr
mm
mm
aaa
aaa
aaa







 
 
Como 
mr 
, isto é, o número de equações é menor que o número de incógnitas neste 
sistema homogêneo de equações lineares, concluímos que o mesmo é um sistema do tipo 
S.P.I., logo 
},,,{ 21 mwww 
 é (LD). 
 
 
Proposição: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de 
vetores. 
 
Demonstração: 
Vamos supor que um espaço vetorial V tem duas bases, com diferentes números de 
vetores, isto é: 
},,,{ 21 nvvv 
 e 
},,,{ 21 mwww 
, com 
mn 
, são bases de V. Neste 
caso podemos concluir que: 
a) Como 
Vwww m ],,,[ 21 
 e 
},,,{ 21 nvvv 
 é (LI) temos que 
nm 
. 
b) Como 
Vvvv n ],,,[ 21 
 e 
},,,{ 21 mwww 
 é (LI) temos que 
mn 
. 
Se temos 
nm 
 e 
mn 
, então só pode ocorrer m = n. 
 
OBS: Este número de vetores que é constante para todas as bases de um espaço vetorial é 
denominado “dimensão” do espaço. Podemos representar a dimensão de V por DIM V. 
Neste material trataremos apenas de espaços vetoriais de dimensões finitas. 
 
Proposição: Dada uma base 
},,,{ 21 nvvv 
 de V, então cada vetor 
Vv
 é 
escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de 

. 
 
Demonstração: 
Seja 
Vv
 um vetor genérico de V, então podemos escrever 
nnvavavav  2211
. Suponhamos, por “redução ao absurdo” que 
nnvbvbvbv  2211
, com 
jj ab 
 para algum j. 
Subtraindo as duas combinações lineares, membro a membro, obtemos: 
      nnn vbavbavba0  222111
.Fazendo: 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 20 
      nnn cbacbacba  ,,, 222111 
obtemos: 
0vcvcvc nn  2211
, com 
0jc
 para algum j. Isto nos leva a concluir que 
},,,{ 21 nvvv 
 é (LD), o que é um absurdo, 
pois 
},,,{ 21 nvvv 
 é uma base de V. Desta forma, não é possível de se escrever v como 
duas combinações lineares diferentes com vetores da mesma base. 
 
Definição: Seja V um espaço vetorial e 
},,,{ 21 nvvv 
 uma base ordenada de V. 
Dado 
Vv
, sendo 
nnvavavav  2211
, escrevemos: 











na
a
v 
1
][ 
 e dizemos que 
][v
representa as coordenadas de v na base ordenada 

. 
4.5.2 Mudança de Base 
Seja V um espaço vetorial e: 
},,,{ 21 nuuu 
 e 
},,,{' 21 nwww 
 duas bases ordenadas de V. 
Seja ainda 
Vv
, um vetor genérico de V. 
Supondo que 











nx
x
v 
1
][ 
 e 











ny
y
v 
1
'][ 
, isto é: 
nnuxuxuxv  2211
 e 
nnwywywyv  2211
, ache a relação entre 
][v
 
e 
'][ v
. 
Resolução: 
 
Podemos escrever os vetores da base ordenada 

 como combinações lineares dos 
vetores da base ordenada 
'
: 










nnnnnn
nn
nn
wawawau
wawawau
wawawau




2211
22221122
12211111
 
Substituindo estas combinações lineares em 
nnuxuxuxv  2211
, obtemos: 
      nnnn wawawaxwawawaxv 2222112212211111
 
 nnnnnn wawawax  2211
. Aplicando a propriedade distributiva e 
isolando os vetores da base 
'
, obtemos: 
     
  

  
 2222221111122111
21
waxaxaxwaxaxaxv
y
nn
y
nn
 
  n
y
nnnnn waxaxax
n
  
 2211
, logo 










nnnnnn
nn
nn
axaxaxy
axaxaxy
axaxaxy




2211
22222112
11221111
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 21 






















































nnnnn
n
n
nnnnn
nn
nn
n x
x
x
aaa
aaa
aaa
axaxax
axaxax
axaxax
y
y
y










2
1
21
22221
11211
2211
2222211
1122111
2
1
 
 
 
Logo 
  

 ][][ '' vIv 
 
Onde a matriz 
   'I
é chamada de matriz de mudança da base 

 para a base 
'
. 
 
Alguns exemplos de mudança de base 
43. Dados 
2V
 e as bases 
   }4,3,1,2{ 
 e 
   }1,0,0,1{'
, determine: 
(i) 
   'I
 
(ii) 
][v
 
(iii) 
'][ v
 
 
Resolução: 
 
(i) 
  ?' 

I
 
       21112111 ,1,00,11,2 aaaa 
 
       22122212 ,1,00,14,3 aaaa 
 
  













41
32
2221
1211
'
aa
aa
I 
 
 
(ii) 
?][ v
 
   4,31,2
?
2
?
1 xxv 
 
   212121 4,32, xxxxvv 
 





221
121
4
32
vxx
vxx 






 2
1
41
32
v
v 





 
1
2
32
41
v
v 
 






21
2
2110
41
vv
v
 
  






11/210
41
21
2
vv
v  
  






11/210
11/3401
21
21
vv
vv   
 




11/2
11/34
212
211
vvx
vvx 
 
Desta forma temos que 
][v
 
  





11/2
11/34
21
21
vv
vv 
 
(iii) 
?][ ' v
 
  

 ][][ '' vIv 
 








41
32
][ 'v
 
  












2
1
21
21
11/2
11/34
v
v
vv
vv 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 22 
44. Com as mesmas bases 

 e 
'
 do exercício anterior, determine 
  'I
. 
Resolução: 
       211121112111 4,324,31,20,1 aaaaaa 
 
       221222122212 4,324,31,21,0 aaaaaa 
 
 





04
132
2111
2111
aa
aa 





11/1
11/4
21
11
a
a 
 





14
032
2212
2212
aa
aa 





11/2
11/3
22
12
a
a 
 
Logo 
  




 

11/211/1
11/311/4
'
I
 
Determine também 
'][ v
 e 
][v
: 
?][ ' v
 
        21
?
2
?
121 ,1,00,1, xxxxvvv







2
1
'][
v
v
v 
 
?][ v
 
  '
' ][][ 

 vIv  










 

2
1
11/211/1
11/311/4
v
v 
  






11/2
11/34
21
21
vv
vv 
 
OBS: Nos dois exercícios anteriores observamos que: 
 
     

 '
' II


















 
10
01
41
32
11/211/1
11/311/4 
 
     ''



 II











 






 10
01
11/211/1
11/311/4
41
32 
 
Então podemos concluir que 
     1''

 

 II
 
 
Outros exercícios envolvendo bases de um espaço vetorial 
45. No espaço vetorial 3 , consideremos as bases 
},,{ 321 eee
 e 
},,{' 321 ggg
, 
tais que: 
 








3213
3212
311
2
2
eeeg
eeeg
eeg
, determine 
   'I
 e 
  'I
 
 
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 23 
Respostas: 
 











111
210
121
'I e 
    






















2
1
2
1
2
1
101
2
3
2
1
2
1
1'
' II 
46. Consideremos o subespaço vetorial do espaço 
 33M
 (com as operações usuais de 
adição de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das 
matrizes simétricas. Determine uma base para este subespaço. 
Resolução: 
As matrizes simétricas 
33
 são da forma: 










fec
edb
cba
. 
Podemos escrever estas matrizes como: 










fec
edb
cba
= 
a










000
000
001
+
d










000
010
000
+
f










100
000
000
+
b










000
001
010
+
c










001
000
100
+
e










010
100
000
 
Logo o conjunto: 
{ 










000
000
001
,










000
010
000
,










100
000
000
,










000
001
010
,










001
000
100
,










010
100
000
} 
gera o referido subespaço. 
Agora basta provar que este conjunto é LI. 
47. Determinar as coordenadas da matriz 





 
02
11 de  22M , em relação à base: 
}
21
00
,
02
00
,
00
10
,
10
01
{ 























 
 
Resolução: 





























 
21
00
02
00
00
10
10
01
02
11
dcba

 











02
22
1
1
da
dc
b
a














2
1
4
5
1
1
d
c
b
a
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 24 
48. Determinar as coordenadas do polinômio 
  3
321 Ptt
, em relação: 
a) à base canônica deste espaço, que é 
},,,1{ 32 ttt
. 
b) à base: 
}1,1,1,1{ 32 ttt 
 
 
Resolução: 
a) 
 321 tt 321 tdtctba   1a
,
2b
,
0c
 e 
1d
 
 
b) 
 321 tt        32 1111 tdtctba  
 
 321 tt          32 tdtctbdcba
 











1
0
2
1
d
c
b
dcba












1
0
2
2
d
c
b
a
 
 
49. Consideremos o subespaço vetorial do espaço 
 22M
 (com as operações usuais de 
adição de matrizes e multiplicação de matriz por número real), constituído das 
matrizes 
}0:{ 





 zyx
tz
yx
U
 
a) Mostre que os seguintes conjuntos são bases de U: 
 
}
10
00
,
01
01
,
00
11
{ 

















B
 
}
10
00
,
01
10
,
01
01
{ 










 






C
 
b) Achar 
  BCI
 e 
 CBI
 
Resolução: 
a) Para mostrar que B e C geram U, observe que: 
Fazendo 
 zyxzyx 0























 
10
00
01
01
00
11
tzy
tz
yzy 
Fazendo 
 yxzzyx 0











 












 10
00
01
10
01
01
tyx
tyx
yx 
Agora é só provar que B e C são LI. 
 
b) Para achar 
  BCI
 vamos escrever os vetores de B como combinações lineares dos 
vetores de C: 











 












10
00
01
10
01
01
00
11
cba
 











 












10
00
01
10
01
01
01
01
fed
 











 












10
00
01
10
01
01
10
00
ihg
 
 Geometria Analítica e Álgebra Linear 25 
Resolvendo os sistemas de equações gerados obtemos:  











100
001
011
B
CI
. 
Finalmente, temos que 
 CBI
=
   1BCI
=









 
100
011
010
 
 
4.6 Espaços Vetoriais com Produto Interno 
4.7 Espaços Vetoriais Normados 
4.7.1 Ângulo entre dois Vetores 
4.8 Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt 
 
4.9 Referências Bibliográficas 
 
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 
1990. 
3. LIPSCHULTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982. 
4. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: 
McGraw-Hill do Brasil, 1990.