AS I a IV - Algebra Linear II-convertido

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AS I 
 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
 
e. 
 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
 
 
 
Seja E = R2 espaço vetorial sobre R com as operações usuais de adição e multiplicação por 
escalar. Das alternativas a seguir, assinale a única que representa um subespaço vetorial E. 
a. W = {(x,y), ϵ R2: y ≥ 0} 
b. W = {(x,y), ϵ R2 : x < 0} 
c. W = {(x,y) ϵ R2 : y = x + 2} 
d. W = {(x,y) ϵ R2 : y = 2x} -- ????? 
e. W = {(x,y) ϵ R2 : y = 2} 
 
Seja E=M2x2 o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2, com as operações usuais. 
Considere a matriz U = e seja S= [U] o espaço vetorial de E gerado U. Assinale a 
alternativa correta. 
a. A matriz A = pertence a S. 
 
b. A matriz B = não pertence a S. 
 
c. A matriz C = pertence a S. 
 
d. A matriz D = não pertence a S. - ?????? 
 
e. A matriz E = pertence a S. 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial E = R2 
A = {(x,y) ϵ R2 : x = y} B = {(x,y) ϵ R2 : x = - y} C = {(x,y) ϵ R2 : x + y = 2} 
D = {(x,y) ϵ R2 : x – 3y = 0} E = {(x,y) ϵ R2 : /x-y/ = 1} 
 
Em relação à afirmação “São subespaço vetoriais do R2, assinale a alternativa correta: 
a. Apenas o subconjunto A 
b. Os subconjuntos A,B e C. 
c. Os subconjuntos A,B e D. 
d. Todos os subconjuntos, exceto o subconjunto E. 
e. Todos os subconjuntos, exceto o subconjunto C. 
 
RESPOSTA COMENTADA: Os subconjuntos A, B e D representam retas do plano passando pela 
origem, portanto, são subespaços vetoriais do R2. Já o subconjunto C representa uma reta que não 
passa pela origem (0,0); portanto, não é subespaço vetorial do R2. O subconjunto E também não 
contém a origem (0,0), o que impede que seja subespaço vetorial de R2. 
 
Assinale a alternativa falsa. 
 
a. Todo espaço vetorial E tem como elemento o vetor nulo 0. 
b. Todo espaço vetorial E admite pelo menos dois subespaços triviais, ele próprio e o conjunto 
formado somente pelo vetor nulo. 
c. O conjunto-solução de sistemas lineares Ax=b é um subespaço vetorial de Rn, para algum n 
≥ 0. 
d. Retas e planos do R3 que passam pela origem são subespaços vetoriais de R3. 
e. Para que um subconjunto W são vazio de um espaço vetorial E seja um subespaço vetorial de 
E, basta que W tenha a propriedade de fechamento para as operações de adição e multiplicação 
por escalar E. 
 
COMENTÁRIO DA RESPOSTA: pois é a única afirmação falsa, já que apenas o conjunto-solução 
de sistemas lineares homogêneos é espaço vetorial de algum R^n, n dependendo do número de 
variáveis do sistema. Todas as outras afirmações são corretas, e foram trabalhadas no conteúdo 
teórico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AS II 
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 
 
A - B - ← C - D - E - 
 
Assinale a alternativa correta. 
a. Dim (U) = 1 
b. Dim (U) = 2 
c. Dim (U) = 3 
d. Dim (U) = 4 
e. Dim (U) = 4 
 
a. W gera E 
 b. W é uma base de E 
 c. W é L. I. 
 d. dim(W)=2 
 e. W ∪ {(2, 2,2)}é base de E 
 
 
 
 
 
Assinale a alternativa correta: 
a. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se S é L. I., então T 
também é L. I. 
b. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. D., então S 
também é L. D. 
c. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se S é L. I., então T é 
L. I. 
d. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. I., então S é 
L. 
e. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. I., 
então S também é L. I. 
 
Dado E = R3, sejam os vetores u = (1, 1, 1) e v = (0, 1, -1) e S = [u,v], o espaço 
gerado por u e v. Qual das alternativas a seguir é verdadeira? 
 
a. O vetor w = (2, 1, 2) ϵ S. 
b. O vetor w = (-3, 2, 0) ϵ S. 
c. O vetor w = (3, 4, 2) ϵ S. ← 
d. O vetor w = (1, 5, 2) ϵ S. 
e. O vetor w = (3, 2, 4) ϵ S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AS III 
 
Seja a aplicação T: R2 →R2. Assinale em qual das alternativas a seguir T é uma 
transformação linear. 
 
a. T (x,y) = (2x, y + 1) 
b. T (x,y) = x2+x2, x+y) 
c. T (x,y) = (x+y , x-y) ← 
d. T (x,y) = (x+1, y+1) 
e. T (x,y) = (2^x, 2^y) 
 
Seja T: R3→R2 é definida por T (x,y,z) = (x,y-z). 
Assinale a alternativa FALSA 
 
a. T é uma transformação linear. 
b. T (0) = 0 
c. O vetor u = (0,1,1) ϵ N(T) 
d. T é injetora. ← 
e. T é sobrejetora. 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada a matriz A = , considere a transformação linear TA, associada á matriz 
A. Assinale a alternativa CORRETA: 
 
a. TA(0,1) ≠0, em que 0 é o valor nulo e N(TA) é o núcleo de TA. 
c. O conjunto {TA(0,1), TA(0,1)} é o núcleo base de R2 
d. TA é sobrejetora 
e. TA é injetora ← 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
A alternativa (a) é falsa porque TA(0,1)= (-1,2) (0,2). 
A (b), porque é contraditória com a alternativa (e). 
As alternativas (c) e (d), porque o conjunto {TA(1,0), TA(0,1)} é L. D., então não é base 
do R2 e, portanto, o espaço gerado [TA(1,0), TA(0,1)] = Im(NA) tem dimensão 1, não 
cobrindo todo o R2. 
 
 
 
Seja T: R2→R2 tal que a matriz [T] associada a transformação linear T é dada por 
[T] = 
a. u = (1, -3) b. u = (-1, 3) c. u = (3, 1) d. u = (-3, 3) ← e. u = (3, 3) 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
Dados U e V dois espaços vetoriais sobre R, considere uma transformação linear U→V. 
Sabendo que N(T) representada o núcleo do T em Im(T) a imagem de T, assinale a 
alternativa FALSA. 
 
a. Para o vetor 0 ϵ T, T(0) = 0 ϵ V 
b. T sempre leva base de U em base de V. ← 
c. Se T é injetora, então N(T) = {0}, 0 ϵ U. 
d. dimn(T) + dimim(T) = dim(U) 
e. Se T é sobrejetora, então Im(T) = V 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja uma transformação linear T: R²→R² e considere o triangulo ∆ABC no desenho a 
seguir. Então, assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
a. T (x,y) = (-2x, 2y) amplia em dobro a figura do ∆ABX e rebate o ∆ABC em relação 
ao eixo Y. ← 
b. T (x,y) = (-2x, 2y) amplia em dobro a figura do ∆ABX e rebate o ∆ABC em relação ao eixo 
X. 
c. T (x,y) = (-2x, y) amplia em dobro a figura do ∆ABX e rebate o ∆ABC em relação ao eixo 
X. 
d. T (x,y) = (2x, -y) amplia em dobro a figura do ∆ABX e rebate o ∆ABC em relação ao eixo 
Y. 
e. T (x,y) = (-x, 2y) amplia em dobro a figura do ∆ABX e rebate o ∆ABC em relação ao eixo 
X. 
 
RESPOSTA COMENTADA:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AS IV 
 
Veja a imagem a seguir e assinale a alternativa correta que indica a transformação T 
que transporta o cálculo em vermelho de centro (0,0) para a posição do círculo em 
azul, cujo centro é o ponto (3,4). 
 
 
a. A transformação T (x,y) = (3x,4y) 
b. A transformação T (x,y) = (4y,3y) 
c. A transformação T (x,y) = (x+4y, y+3x) 
d. A transformação T (x,y) = (x+3, y+4) ← 
e. A transformação T (x,y) = (3,4) 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja T um operador linear definido no R2. Sabendo que sua matriz em relação à base a 
= {(1, -1), (1, 1) é [T]a = , assinale a alternativa que define T. 
 
a. T(x,y) = (x + y, y) 
b. T(x,y) = (-x + y, x) 
c. T(x,y) = (-y, x + y) ← 
d. T(x,y) = (x, x + y) 
e. T(x,y) = (-y, x – y) 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
 
Seja T: R3→R2 definida por T(x,y,z) = (x+z, y-z) uma transformação linear. Se a = 
{(1,1,1), (1,0,1), (-1,2,1)} e β = {(1,0), (1,1)} são bases de R3 e R2, respectivamente, 
assinale a alternativa que exibe a matriz de T em relação às bases a e β, denotada por 
[T]βa. 
a. [T]βa = 
 
b. [T]βa = ← 
 
c. [T]βa 
 
d. [T]βa= 
 
e. [T]βa = 
 
 
 
 
 
 
 
a. T = (R o S) (x,y) = 
 
b. T = R o S) (x,y) = 
 
c. T = (R o S) (x,y) = 
 
d. T = (R o S) (x,y) = 
 
e. T = (R o S) (x,y) = ← 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja T = R²→R² uma transformação lineare considere duas bases do R², a a base 
canônica e β = {v1, v2} outra base. Sabendo que (T)βa = , assinale a 
alternativa que indica a base β. 
 
a. β = ← 
b. β = 
c. β = 
d. β = 
e. β = 
 
RESPOSTA COMENTADA: 
 
 
Assinale a alternativa correta acerca da transformação linear T (x,y) = (y,x): 
 
a. T é uma rotação de um ângulo ϴ = ꙥ. 
 2 
b. T é uma rotação de um ângulo ϴ = ꙥ 
c. T é uma reflexão em torno do eixo coordenado vetorial. 
d. T é uma reflexão em torno do eixo coordenado horizontal. 
e. T é uma reflexão em torno da reta y=x, bissetriz dos primeiro e terceiro quadrante 
do plano cartesiano. ← 
 
 
 
Unidade I 
 
Espaço Vetorial - 
https://www.youtube.com/watch?v=e8kAs458cVI&list=PLhlx0uNVbDQjVBaNrvuGfpPJ7Ubf_Yc
z3 
 
Espaço Vetorial Real. 
 
São conjuntos não vazios cujos elementos são chamados de vetores. 
A esse conjunto estão definidas 2 operações as chamadas operações usuais. 
 
I) Adição → u + v ɛ V; u, v ɛ V 
II) Multiplicação → ɚu ɛ V; Ɏ u ɛ V, Ɏɚɛʀ 
 
Axiomas: 
 
A1) (u+v) + w = u = (v+w) 
A2) u + v = v + u 
A3) Ǝ 0 ɛ V, u + 0 = u 
A4) Ǝ (-u) ɛ V, u + (-u) = 0 
 
M1) (ɚβ) u = ɚ (β u) 
M2) (ɚ + β) u = ɚu + βu 
M3) ɚ (u + v) = ɚ u + ɚ v 
M4) 1 u = u 
 
Exercícios 1 – Verifique se o conjunto pode ser um espaço vetorial. V = {(x,y) ɛ R², /, x ≥ 0 } 
 
v1 = (x1, y2) 
v2 = (x2,y2) 
 
x ≥ 0 / y ɛ R 
 
Ou seja, para x1 e x2 tem que ser maior que 0 e para o y qualquer pertencentes aos reais. 
 
Teoria adição → u + v ɛ V; u, v ɛ V 
 
v1 + v2 = (x1, y1) + (x2, y2) 
v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2) 
Portanto → x1 + x2 ≥ 0 e y está nos reais 
 
Teoria multiplicação → ɚu ɛ V; Ɏ u ɛ V, Ɏɚɛʀ 
 
V1 = (x1,y1) 
ɚ v1 = 
ɚ (x1, y1) = (ɚx1,ɚy1) → com x ≥ 0, e o ɚ pode ser qualquer real até mesmo negativo, y será 
real 
 
Conclusão – Não pertence ao espaço vetorial. 
Adição → v1 + v2 ɛ V 
Multiplicação → ɚv1 ɇ V 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=e8kAs458cVI&list=PLhlx0uNVbDQjVBaNrvuGfpPJ7Ubf_Ycz3
https://www.youtube.com/watch?v=e8kAs458cVI&list=PLhlx0uNVbDQjVBaNrvuGfpPJ7Ubf_Ycz3
 
Verifique se o conjunto dias do mês V = {1, 2, 3, 4, 5…. 30} pode ser 1 espaço vetorial. 
 
Teoria adição → u + v ɛ V; u, v ɛ V 
Não é possível pois de for somado qualquer valor que ultrapassa o 30 passará da quantidade 
dias. Ex. 
 
u + v → 25 + 30 = 55 ɇ V 
 
Teoria multiplicação → ɚu ɛ V; Ɏ u ɛ V, Ɏɚɛʀ 
ɚ . u → -2 . 6 = -12 ɇ V 
 
Conclusão → Ou seja, V não é espaço vetorial. 
 
Verifique se o conjunto dos números naturais pode ser 1 espaço vetorial. N = {0,1,2, 3.... } 
 
Teoria adição → u + v ɛ V; u, v ɛ V 
v1 +v2 → 0 + 25 = 25 ϵ N 
 
Teoria multiplicação → ɚu ɛ V; Ɏ u ɛ V, Ɏɚɛʀ 
ɚ . u → -6 . 5 = 30 ɇ N 
 
O ɚ pode ser qualquer número inclusive a negativos. 
 
 
Subespaço Vetorial - https://www.youtube.com/watch?v=XxUWCQaVwKM 
 
É um espaço vetorial dentro de outro espaço vetorial → V ≠ Ø 
 
i) 0 ϵ S 
ii) u + v ϵ S 
iii) ɚ.u ϵ S (ɚ ϵ R) 
 
Todo espaço vetorial admite pelo menos 2 subespaços, chamados de triviais. 
- Conjunto {0} – Subespaço nulos. 
- O próprio espaço vetorial V. 
 
 
Os subespaços próprios são as retas que passam pela origem. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=XxUWCQaVwKM
Exercício 1 – Sejam V = R² e S = {(x,y) ϵ R² / y = 3x}. Verifique se S é subespaço vetorial de V = 
R². 
Propriedades: a) 0 ϵ S / b) u + v ϵ S / c) ɚ.u ϵ S (ɚ ϵ R) 
 
S = {(x, 3x); x ϵ R} 
 
a) (0,0) ϵ S 
x = 0 → (0, 3.0) = (0, 0) ϵ S. 
 
b) v1 + v2 ϵ S 
v1 = (x1, 3x1) / v2 = (x2, 3x2) 
v1 + v2 → (x1, 3x1) + (x2, 3x2) 
= (x1 + x2, 3x1 + 3x2) = 
 = (x1 + x2, 3 (x1 + x2)= A segunda equação é o triplo da primeira então ϵ ao S. 
 
c) ɚv1 ϵ S 
ɚv1 → ɚ (x1, 3x1) → 
(ɚx1, 3ɚx1) → )(ɚx1, 3(ɚx1)) → A segunda equação é o triplo da primeira então ϵ ao S. 
 
Representando Espaço Vetorial R². 
 
 
Conclusão – S é espaço vetorial de V 
 
Operações com vetores - https://www.youtube.com/watch?v=z1DQ3vXvGLw 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=z1DQ3vXvGLw
Operação – Multiplicação de vetores
 
 
Operação – Soma de vetores 
 
 
 
Subespaço gerado - https://www.youtube.com/watch?v=lqfAoCG1CMY 
 
Subespaço gerado por um conjunto. 
 
 
CONJUNTO GERADOR SUBESPAÇO GERADO 
 
A = (v1, v2,v3,....vp} Y = c1v1 + c2v2 + c3v3+...+ cpvp 
 Y = SPAN {v1,v2,v3....vp} – adotaremos esse modelo. 
 Y = [v1,v2,v3...., vp] 
 
https://www.youtube.com/watch?v=lqfAoCG1CMY
 
Combinação linear entre vetores é o ato de gerar outro vetor a partir de outros usando pesos. 
 
 
 
Y = c1v1 + c2v2 + ..... + cpvp 
 
 
 
 
Exercício – Qual o Subespaço (SPAN) de 
 
Y = c1v1 
 
 
 
 
Exercício – Qual é o Subespaço (SPAN) {v1,v2} 
Resposta = R² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade II 
 
 Dependência Linear - https://www.youtube.com/watch?v=1NQgheFnX9A 
 
Vetores: 
- Linearmente dependente (LD) 
- Linearmente independente (LI) 
 
● Um vetor é LD se existir um deles que é Combinação Linear (CL), dos demais. 
 
● Caso isso não ocorra o vetor é chamado de Linearmente Independente (LI). 
 
● - {v1, v2,... vm} será LI se c1v1 + c2v2 +... cmvm = 0, tem como única solução c1 = c2 = 
.... = cm=0 (Chamada SOLUÇÃO TRIVIAL) 
 
● Caso admita alguma solução trivial será LD. 
 
 
V= c1 v1 {v,v1} 
 
V= c1 v1 + c2 v2 → {v,v1,v2} 
 
Exemplos: 
 
{(3,1), (9,3)} 
(9,3) → c1= 3 (3,1) → linearmente dependente - LD 
 
O conjunto {(1,2), (2,4)} é LD ou LI? 
 
(2,4) = 2 (1,2) → linearmente dependente - LD 
 
O conjunto {(1,0,0), (0,1,0), (3,4,0)} é LD ou LI? 
 
(3,4,0) = 3 (1,0,0) + 4 (0,1,0) → (3,0,0) + (0,4,0) = (3,4,0) → linearmente dependente - LD 
 
O conjunto {(1,0), (0,1)} é LD ou LI? 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=1NQgheFnX9A
O conjunto {(1,1), (-1,1)} é LD ou LI? 
 
 
 
O conjunto {(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9} é LD ou LI? 
 
 
 c1 = c3 c2 = -2c3 c3 
 
c3= 1 c1=1 c2= -2 
 
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 
 
v1 = (1,2,3) v2= (4,5,6) v3 = (7,8,9) 
LI um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. 
 
1v1 1 2v2 + 1v3= 0 
V1 + v3 = 2v2 
(1,2,3) + (7,8,9) = 2 (4,5,6) 
(8, 10, 12) = (8, 10, 12) 
 
 
Unidade III 
 
 Introdução a Transformação Linear - https://www.youtube.com/watch?v=O3rou_UUIIg 
 
Transformações Lineares 
 
 
U Transformação V 
u T(u) 
 v T(v) 
 
f: A → B f(x) 
 
u → T → T(u) 
 
Função 
A B 
Função (f) 
x y 
T: U → V T(u) 
 
x → F → y= f(x) 
 
 
R² → R³ 
R³ → R² 
R³ → R³ 
 
Exercício – Dado T(x,y) = (2x, y, x+y). Calcule T(1,1). 
 
R² → R³ 
(1,1) → (2,1,2) 
x= 1 / y= 1 
 
T(x,y) = (2x, y, x+y). 
T(1,1) = (2.1, 1, 1+1) 
T(1,1) = (2,1,2) 
 
R² → R³ 
(x,y) (x,y,z) 
 
R³ → R² 
(x,y,z) (x,y) 
 
R³ → R³ 
(x,y,z) (x,y,z) 
 
Condições: 
1. T(u+v) = T(u) + T(v) 
2. T(ɚ.u) = ɚ.T(u) → ɚ seja número real. 
 
 
Exercício: T(x,y) = (3x, -2y, x-y) 
 
u = (2,1) 
T(x,y) = (3x, -2y, x-y) 
T(2,1) = (3.2, -2.1, 2-1) 
T(2,1) = (6, -2, 1) 
 
v = (-1,3) 
T(x,y) = (3x, -2y, x-y) 
T(-1,3) = (3.-1, -2.3, -1.-3) 
T(-1,3) = (-3, -6, -4) 
 
u + v 
(2,1) + (-1,3) = (1,4) 
 
u + v = (1,4) 
T(x,y) = (3x, -2y, x-y) 
T (1,4) = (3.1, -2.4, 1-4) 
T (1,4) = (3, -8, -3) 
 
Verificando as propriedades: 
 
1. T(u+v) = T(u) + T(v) 
(3, -8, -3) = (6, -2, 1) + (-3, -6, -4) 
(3, - 8, -3) = (3, -8, -3) → verdadeira 
 
ɚ seja número real. (Neste caso o ɚ = 2) 
u = (2,1) ɚ = 2 
T (ɚ u) = (4,2) 
T(ɚ,u) = (3x, -2y, x-y) 
T (4,2) = (3.4,-2.2, 4-2) 
T (4,2) = (12, -4, 2) 
 
 
2. T(ɚ.u) = ɚ.T(u) / T(u) = (6, -2, 1) 
(12, -4, 2) = 2 .(6, -2, 1) 
(12, -4, 2) = (12, -4, 2) → verdadeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Núcleo de uma Transformação Linear 
 
https://www.youtube.com/watch?v=D3qi6FdH5m8 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=f1YpffBzDUQ 
 
https://www.youtube.com/watch?v=W4F13A5y2vg 
 
https://www.youtube.com/watch?v=NyAp-3QXdC0https://www.youtube.com/watch?v=qmhae0zwONY