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Lista para P1 - Probest - 2015
Questa˜o 1 Considere um jogo em que um participante realiza duas tarefas: A e B em uma
ordem escolhida por ele. Se o participante falhar na primeira, ele sai do jogo sem receber nada,
enquanto que se conseguir cumprir a 1a tarefa ele recebe um preˆmio de 100 reais e realiza a
segunda tarefa, ganhando mais 500 reais se cumpr´ı-la ou permanecendo com os 100 se falhar.
Sabe-se que em me´dia 20% das pessoas que participam do programa cumprem a tarefa A.
(a): Determine a distribuic¸a˜o de probabilidades para o preˆmio final de um t´ıpico par-
ticipante desse programa caso ele escolha realizar primeiramente a tarefa B em func¸a˜o da
probabilidade pB de que se cumpra a tarefa B.
(b): Calcule o valor esperado para o preˆmio nas mesmas circunstaˆncias do item (a).
(c): Qual deve ser a probabilidade pB de modo que o preˆmio esperado seja o mesmo inde-
pendentemente da ordem em que se realize as tarefas?
Questa˜o 2 O percentual de pec¸as defeituosas do tipo 1 que uma indu´stria produz e´ p1 (p1 ∈
(0, 1)). Para pec¸as do tipo 2 e 3, esse percentual e´ de p2 e p3, respectivamente. Considere 3
pec¸as produzidas por essa indu´stria, uma do tipo 1, outra do tipo 2 e outra do tipo 3 e que os
procedimentos de produc¸a˜o de pec¸as de cada um dos treˆs tipos sejam independentes.
(a): Calcule a probabilidade de que exatamente duas delas apresentem defeito em func¸a˜o
de p1, p2 e p3.
(b): Obtenha a func¸a˜o de probabilidades da varia´vel aleato´ria que representa o nu´mero de
pec¸as defeituosas dentre as 3 pec¸as em questa˜o em func¸a˜o de p1, p2 e p3. Que nome recebe a
distribuic¸a˜o desta varia´vel aleato´ria quando p1 = p2 = p3 = p, e quais sa˜o os paraˆmetros da
distribuic¸a˜o nesse caso?
A questa˜o seguinte requer uso do seguinte resultado: se Xi ∼ Poisson(λi), ∀i ∈ {1, . . . , n}
e as varia´veis aleato´rias X1, . . . , Xn sa˜o independentes, enta˜o
∑n
i=1Xi ∼ Poisson(
∑n
i=1 λi).
Questa˜o 3 Sejam X1, . . . , Xn varia´veis aleato´rias independentes com Xi ∼ Poisson(λ), ∈
{1, . . . , n}. Defina Sn =
∑n
i=1Xi e suponha y um nu´mero natural qualquer (portanto, diferente
de zero).
(a): Mostre que
P (X1 = 0 | Sn = y) =
(
1− 1
n
)y
.
(b): Calcule P (X1 > 0 | Sn = y).
Questa˜o 4 Suponha que o nu´mero de acidentes numa estrada tenha distribuic¸a˜o Poisson com
taxa me´dia de λ acidentes por dia.
(a): Calcule a probabilidade de observarmos 3 acidentes no decorrer de dois dias tendo
havido pelo menos um acidente em cada dia.
(b): Calcule a probabilidade de observarmos 3 acidentes no decorrer de dois dias, dada a
informac¸a˜o pre´via de que nesses dois dias houve pelo menos um acidente.
Questa˜o 5 Suponha que o tempo ate´ observarmos uma falha no funcionamento de um aparelho
de som seja aleatoriamente distribu´ıdo segundo uma Exponencial de taxa λ, ou seja, me´dia 1/λ
(medida em dias).
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(a): Mostre que a probabilidade de que o aparelho de som dure mais do que t dias sem
apresentar nenhuma falha e´ e−λt.
(b): Sabendo que o aparelho na˜o apresentou falhas nos primeiros s dias, calcule a proba-
bilidade de que ele dure pelo menos mais t dias sem apresentar nenhuma falha.
(c): Tendo em vista os resultados obtidos em (a) e (b), voceˆ acha razoa´vel o modelo prob-
abil´ıstico escolhido para representar o tempo ate´ uma falha do aparelho de som?
Questa˜o 6 Considere X varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de distribuic¸a˜o dada por
FX(x) =

0 se n ≤ 0
ex−1
6+e2
se 0 < x ≤ 2
e2−1
6+e2
se 2 < x ≤ 3
x2−10+e2
6+e2
se 3 < x ≤ 4
1 se x > 4.
(a): Obtenha o suporte de X.
(b): Calcule o quantil de probabilidade 0.5 da varia´vel aleato´ria X.
(c): Obtenha a densidade de X.
Questa˜o 7 Um exame de sangue feito por um laborato´rio tem eficieˆncia de 95% na detecc¸a˜o
de certa doenc¸a quando ela esta´ de fato presente. Entretanto, o teste tambe´m leva a um resul-
tado ”falso positivo” em 1% das pessoas testadas (isto e´, se uma pessoa testada for sauda´vel,
enta˜o, com probabilidade 0,01, o teste indicara´ que ela tem a doenc¸a). Se 0,5% da populac¸a˜o
realmente tem a doenc¸a, qual e´ a probabilidade de que uma pessoa tenha a doenc¸a dado que o
resultado do teste e´ positivo?
Questa˜o 8 (P1 2014.1, questa˜o 3)
Ocorrem, em me´dia, 10 desintegrac¸o˜es por minuto numa amostra de material radioativo.
Suponhamos que o nu´mero, X, de desintegrac¸o˜es por minuto seja uma varia´vel aleato´ria de
Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrac¸o˜es sucessivas.
(a): Fornec¸a a expressa˜o matema´tica da func¸a˜o de densidade de T.
(b): Qual e´ a probabilidade de que em um intervalo de tempo de 6 segundos na˜o haja
desintegrac¸o˜es?
(c): Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja N o nu´mero
de amostras para as quais na˜o houve desintegrac¸o˜es antes dos 6 primeiros segundos. Fornec¸a a
expressa˜o matema´tica da func¸a˜o de probabilidade de N, a esperanc¸a de N e a variaˆncia de N.
Calcule P (N > 9) usando aproximac¸a˜o de N por alguma distribuic¸a˜o normal.
Questa˜o 9 O nu´mero de clientes que chegam a uma loja tem distribuic¸a˜o Poisson com me´dia
de 20 clientes por hora. A probabilidade de uma pessoa que tenha entrado na loja fazer alguma
compra e´ de 0.75 e as compras sa˜o feitas de modo independente uma da outra.
Defina as varia´veis
X: no de clientes que chegam na loja em uma hora
Y : no de clientes que compram algo no intervalo de uma hora
(a) Calcule P (Y = 20 | X = 30).
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(b) Mostre que Y tem distribuic¸a˜o Poisson(15), calculando a func¸a˜o de probabilidades de
Y .
(Dica: Comece notando que, pela natureza do problema, P (Y = y) = P (Y = y,X ≥ y))
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