Potenciação e Radiciação

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POTENCIAÇÃO
  
A potenciação é um acumulo de multiplicações de um mesmo número. 
an = a.a.a... (n vezes) 
a é a base e n é o expoente que determina seu grau. 
a) 23 = 2.2.2 = 8 
b) 32 = 3.3 = 9 
Casos Especiais 
a0 = 1, para qualquer a ≠ 0. 
1n = 1 para qualquer n. 
0n = 0, desde que n > e ≠ 0 
00 não se define. 
Obs: todo número sem expoente o expoente é 1. 
Propriedades 
· am.ap = am+p 
Na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
·  = am-p 
Na divisão de potências de mesma base, conservamos as bases e subtraimos os expoentes.
· am.bm.cm = (abc)m 
Na multiplicação de potências de mesmo expoente, podemos multiplicar as bases e conservar o expoente.
· =  
 Na divisão de potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases, da mesma forma que o expoente da fração vale tanto para o numerador quanto para o denominador.
· (am)p = am.p 
No caso de potência de potência, expoente sobre expoente, multiplicamos os expoentes.
· a-n =  
Para trocar o sinal do expoente, basta inverter a fração da base. 
Obs: Pode acontecer de o expoente de uma potência ser outra potência, nesse caso não multiplicam-se os expoentes, resolve-se a potência que está no expoente para ter o valor desse expoente. Ex: 
 = 29 = 512 
Potências de base 10 
100 = 1 
101 = 10 
102 = 100 
103 = 1000 
Veja que o expoente é o número de zeros das potências. 
Notação científica 
A notação científica é a forma de representar um número muito grande ou muito pequeno usando potências de base 10. Possui uma grande aplicação nos estudos de física. É um número qualquer, que tomamos sua parte maior que zero e menor que dez e multiplicamos essa parte por alguma potência de base dez, e o resultado deve ser esse número, é apenas outra forma de representá-lo. Veja alguns exemplos de números escritos em notação científica: 
a) 900 em notação científica é 9.102 
b) 5600000 em notação científica é 5,6.106 
c) 0,00004 em notação científica é 4.10-5 
Para encontrar o expoente da base 10, observamos quantas casas foram deslocadas do número original para chegar ao número de zero a dez que multiplica a potência de base 10. A cada casa deslocada da direita para a esquerda adiciona-se uma unidade ao expoente, e a cada casa deslocada da esquerda para a direita é descontada uma unidade do expoente. Veja: 
2100000 = 2,1.106 
O número 2100000 deve estar entre zero e dez, portanto será 2,1; para chegar a esse valor, deslocamos seis casas da direita para a esquerda, portanto o expoente da base 10 será 6. 
0,00003 em notação científica é 3.10-5 
A parte entre zero e dez será o número 3; para chegar a esse valor, deslocamos a vírgula 5 casas, então esse é o valor do expoente da base 10, porém esse expoente será negativo, já que as casas foram deslocadas da esquerda para a direita. 
EXECÍCIOS RESOLVIDOS: 
1 – Calcular: 
a) 24          b) – 24          c) (- 2)4           d) 17           e) 03          f) 2140           g)3-2           h) 
Resolução: 
a) 24 = 2.2.2.2 = 16 
b) - 24 = - 2.2.2.2 = -16 
c) (- 2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 
d) 17 = 1.1.1... = 1 
e) 03 = 0.0.0 = 0 
f) 2140 = 1 
g)3-2 =  
h)  
2 – Transforme as expressões em uma única potência de base 3. 
 
Resolução: 
a) 37.3-5.36 = 37–5+6 = 38
  
b)  
c) (34)2 = 34.2 = 38 
d)  = 34.4 = 316 
3 – Assinale a soma dos números relacionados às preposições corretas: 
 
Resolução: 
01. Correto. 
573 para ficar maior que zero e menor que 10 deverá ser 5,76; dessa forma a vírgula anda 2 casas para a esquerda, assim adicionamos duas unidades ao expoente de 10 que multiplica o valor, assim ficará 5,76.102 
02. Correto. 
5.108 . 4.10-2 
= 5.4.108-2 
= 20.106 
= 2,0.107 
04. Correto. 
(-1)2n + (-1)2n+1 
Se n for par, o primeiro expoente resulta um expoente par e segundo resulta um expoente ímpar, assim: 
(-1)PAR + (-1)ÍMPAR 
= 1 – 1 
= 0 
08. Correto. 
 
RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa da potenciação, dada a raiz de um número qualquer, seu resultado será um número que elevado ao índice da raiz resulta o número dessa raiz. Ex: 
 = 2, pois 23 = 8. 
 = b onde bn = a
· n = índice da raíz 
· = radical 
· a = radicando 
· b = raíz 
Condição de existência 
Se o índice do radical for par, é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero, pois se ele for menor que zero (negativo) não existe potência de expoente par que resulte um número negativo. Ex: 
vejamos: 
2² = 4 
(-2)² = 4
Portanto: 
 = ∄R ou ∅ 
Se o índice for ímpar, a raiz sempre existe, pois potências com expoente ímpar podem resultar números positivos e negativos. Ex: 
 = -3 , já que (-3)3 = -27 
Propriedades 
Na multiplicação e divisão de raízes com mesmo índice, conserva-se o índice e opera-se os radicandos. 
·  .  =  
·  =  
Se toda a expressão da raiz estiver elevada a um expoente, esse expoente passa a ser expoente do radicando. 
· =  
No caso de radical sobre radical, multiplicam-se os índices. 
·  =  
Para tirar o radical de um número, o expoente desse número fica fracionário, com o expoente que o número tinha antes em cima e com o índice da raíz em baixo. 
·  =