EXERCÍCIOS DE CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL – 2029A 
1) Dadas as seguintes funções: 
 
f(x) = x sin(2x) - 1 
g(x) = 4x3 - 48x2 + 191x - 252 
h(x) = ex - x3 
 
a) Use a calculadora gráfica ou software para mostrar que cada uma delas 
apresenta pelo menos um zero no intervalo [3, 5]. 
b) Qual(ais) delas possui(em) uma única raiz no intervalo [3, 5]? 
c) Determine um zero de h(x), em [3, 5], a partir da execução de 5 
iterações do método da falsa posição e discuta a precisão do 
resultado. 
d) A equação g(x) = h(x) tem solução no intervalo dado I = [4,5; 5]? Em 
caso afirmativo, use o método da secante para determiná-la com uma 
precisão igual ou inferior a 5.10-2. 
 
2) Verifique, gráfica ou aritmeticamente (utilizando o Teorema de Bolzano), se 
o polinômio possui zeros reais no intervalo [-1,1]. 
 
(a) Em caso afirmativo, verifique se há raízes nos intervalos [-1; -0,75], 
[-0,75; -0,25], [-0,25; 0,3], [0,3; 0,8] e [0,8; 1]. 
(b) Determinar a menor raiz negativa pelo método de Newton-
Raphson, considerando =10-5 e x0 = 0,3. 
 
3) Seja a função 
    4xxsen.15xf 2  - 
: 
 
(a) Determinar o intervalo que contém a maior raiz negativa de f(x) 
(graficamente ou aritmeticamente, utilizando o Teorema de Bolzano); 
 
(b) Partindo desse intervalo, utilizar o método da bissecção para 
determinar o valor desta raiz após 8 iterações; e 
 
(c) Explicitar o erro relativo associado. 
4) A partir do método de Newton-Raphson, determinar pelo menos uma 
raiz real para a função f(x) = 2.cos(x) + ln(x), considerando um erro 
relativo inferior a 2.10-4. 
 
5) A partir do método da falsa posição (regula falsi ou falsa corda), 
determinar pelo menos uma raiz real para as funções a seguir, 
considerando um erro relativo inferior a 10-4: 
 
(a) f(x) = x4 – x. ln(x) + 3 
(b) f(x) = tan(x) – ex 
x
21
5
x
9
10
x)x(p 35 
 
 
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6) Considerando o método do ponto fixo, explicitar 3 funções de iteração 
para f(x) = x5 - ex/2. Ilustrar a convergência ou divergência das 
funções de iteração explicitadas e, selecionando uma dessas funções que 
seja convergente, determinar a raiz da equação com um erro relativo 
inferior a 0,01%. 
 
7) Considerando a função f(x) = x2/2 + x(ln(x)–1), obter seus pontos críticos 
com o auxílio do método de secante. 
 
8) Considerando que a concentração de microorganismos em um lago (C) é 
modelada em função do tempo (t) pela expressão: 
 
 
 
 e que foram efetuadas duas medições da concentração, cujos resultados 
foram: 
 
t 1 2 
C(t) 27.5702 17.6567 
 
empregar o método da secante para determinar k1 e k2. Considerar como 
aproximação inicial o ponto (β, ω) = (−1.29, −0.25) e efetuar 4 iterações, 
determinando o erro relativo em cada uma delas. 
 
9) Resolver o sistema: 
 








0633
643
55
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
pelo método de Gauss-Seidel com x(0) = (0,0,0)T e 

 < 10-2 . 
 
10) Resolver o sistema: 
10 10
10 12
2 10 11
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
  
  
  





 
 
pelo método de Jacobi-Richardson com x(0) = (0,0,0)T e < 10-3. 
 
11) Dado o sistema: 
tt ke9,1ke5,18)t(C 21


 
 
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10 10
10 8 20
7 10 20
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
  
  
  





 
 
a) Verificar a possibilidade de aplicação do método iterativo de jacobi-
Richardson. 
b) Se possível, resolvê-lo pelo método do item a). 
 
12) Dado o sistema: 
4 2 6 1
4 3 2
5 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
  
  
   





 
 
Mostrar que reordenando as equações e incógnitas poderemos fazer com 
que o critério de Sassenfeld seja satisfeito, mas não o das linhas. 
 
13) Dado o sistema 
5 2 7
4 2 3
2 3 10 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
  
   
   





 
 
a) Verificar a convergência usando o critério das linhas e o critério de 
Sassenfeld. 
b) Resolva o sistema utilizando Jacobi e Gauss-Seidel com x(0)=(-2.4, 
5.5, 0.8)T e =10-2. 
Efetuar, em ambos os casos, duas iterações partindo-se do vetor x(0) = (-2.4; 
5; 0.3)t. 
 
14) Dado o sistema: 
 
4 1 1
1 6 1
2 1 8
6
8
11
1
2
3































x
x
x
 
 
a) Verificar a convergência usando o critério de Sassenfeld. 
b) Resolver pelo Método de Gauss-Seidel (3 iterações a partir do vetor 
nulo). 
 
 
 
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15) Resolva o sistema linear abaixo pelo Método de Jacobi com x(0)=(0, 3, 1, 
4)T e =10-3. 
 











33 .10.3.2.2
7- .2.7.3
26 .4.3.9.1 
5 .1.2.1.5 
4321
432
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
 
 
16) Dado o sistema 
 








20 .10.1.7
20 .8.10.2
10 .1.1.10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
a) Verifique a possibilidade de aplicação do método iterativo de Jacobi. 
b) Se possível, resolvê-lo com x(0)=(1, 2, -1)T e =10-3. 
 
17) Dado o sistema A.x=b onde 
 






















2
3
4
b 
1-30
201
1-32
eA
 
 
a) Verifique a convergência usando o critério de Sassenfeld. 
b) Resolva pelo Método de Gauss-Seidel partindo do vetor nulo com =10-2. 
 
18) Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss-Seidel com x(0)=(3, 1, 0, -
1)T e =10-4. 
 











1- .4.1.1.1 
1- .1.5.2.1 
6- .1.1.8.2 
7 .1.1.1.4 
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
19) Resolva os sistemas lineares triangulares abaixo: 
 
 
 
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a) 








1 463
2 52
3 1 
321
21
1
xxx
xx
x
 
 
b) 











1 1
2 11
3 131
4 1321 
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
 
 
20) Resolva os sistemas lineares abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss. 
 
a) 








1- 132
3 344
5 132 
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
b) 











3 1111
-11111
5 4321
10 1234 
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
21) Resolva os sistemas lineares abaixo pelo Método de Gauss com 
Pivotamento Parcial. 
 
a) 











12.3- 2154 
10.2 1111 
6.6- 1411
6.9 1132 
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
b) 











3 1131
0 231
2- 4322 
1- 121 
4321
432
4321
321
xxxx
xxx
xxxx
xxx
 
 
 
22) Resolva os sistemas lineares do exercício anterior pelo Método de 
Decomposição LU. 
 
 
 
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23) Resolva o sistema linear a seguir pelo Método de Gauss com Pivotamento 
Parcial. 
 










13 6243 
7 5131
-63112 
1 1421 
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
24) Considere o seguinte conjunto esparso de equações lineares: 
 




































































3
4
5
7
1
2
.
21
121
121
121
121
12
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
 
 
Mostre que, usando o método de Eliminação de Gauss, o sistema triangular resultante 
permanece esparso. Um sistema linear como esse é chamado tridiagonal. Tais 
sistemas lineares aparecem com frequência na solução de equações diferenciais 
parciais. 
 
25) Seja 











301
110
312
A
 
 
a) Verifique se a matriz A satisfaz as condições da decomposição LU. 
b) Decomponha A em LU. 
c) Calcule o determinante de A. 
d) Resolva o sistema A.x=b, onde 











7
1
9
b
. 
 
26) Resolva o sistema A.x=b pelo Método da Decomposição LU, em que 
 
 
 
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





























5
6
7
10
 
1234
2123
3212
4321 
beA 
27) Considere o sistema linear 
 








31032
20241
12125
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
a) Resolva o sistema usando o método de decomposição LU. 
b) Calcule o determinante de A pelo mesmo. 
 
28) Quais das matrizes abaixo podem ser decompostas na forma LU? 
Decomponha as que forem possíveis. 
 

































17 7 6
8 34 
31 2 
,
2 3 3
1 22 
12 3 
,
1 2 3
2 33 
12 2 
CBA
 
 
29) Seja 











3
11
1
 1 2
 1 
2 5 
A
 
 
a) Verifique se A pode ser decomposta em G.G
T
 (Cholesky). 
b) Decomponha A em G.G
T
. 
c) Calcule o determinante de A. 
d) Resolva o sistema A.x=b, em que 











4
1
1
b
. 
 
30) Seja 















121044
101288
48104
48416 
A
 
 
a) Verifique se A pode ser decomposta em G.G
T
. 
b) Decomponha A em G.G
T
. 
c) Calcule o determinante de A. 
 
 
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d) Resolva o sistema A.x=b, em que 















30
38
26
32
b . 
31) Sejam as matrizes 
 
























020
231
013 
 B e 
944
4102
424
A
 
 
Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas Ax = b, Bx = b, pelo processo de 
Cholesky, em que b =
  .9162 T
 
 
32) Usando o Método de Eliminação de Gauss resolva os seguintes sistemas: 
 
a) 








11 1012
12 1101
10 1110 
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
b) 
1
2
3
4 -6 -1 7
2 -3 1 5
1 2 -1 4
x
x
x
    
    
     
    
    
 
 
c) 











13 6243 
7 5131
-63112 
1 1421 
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
 
33) Resolva o sistema matricial usando o Método de Decomposição LU: 
 
1 1 1
2 2 2
3 13 3
2 -1 3 x y z 4 2 4
4 1 2 x y z 7 6 6
1 0 10 x y z 11 2 20
    
    
     
        
 
 
34) Considere os sistemas lineares: 
 
 
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







5 411
35 1132
4 121 
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 








6 122
14 112
6 121 
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Faça uma escolha adequada para resolver um deles pelo método de Decomposição LU e o outro 
pelo método de Cholesky. Justifique sua resposta. 
 
 
35) Resolva o sistema linear matricial pelo Método de Gauss: 
 
1 1
2 2
3 3
1 0 1 x y 4 2
1 1 0 x y 2 -2
1 1 1 x y 9 7
    
    
    
    
    
 
 
36) Considere o sistema linear A.x = b, em que: 
 



































4
3
2
,
125
41
3 1
3
2
1
be
x
x
x
xA 

 
 
Para que valores de α: 
a) A matriz A é pode ser decomposta no produto LU? Justifique. 
b) O sistema pode ser resolvido por Cholesky? Justifique. 
c) Considere α = 1 e resolva o sistema linear obtido pelo método de Eliminação de Gauss.