Resistência dos Materiais 2 - Flambagem de colunas

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RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.1 - Instabilidade
Mo = P e
e
P
o
tendência de retorno
á posição inicial
Mo = P e
o
e
P
tendência de continuação
do movimento
X X
- lapis para cima X lapis para baixo- bolinha na montanha X bolinha no vale
 
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
l ´
 
q
Fint= N sen q
Fext
Fint= Fext
equilíbrio
N
Fint=E A [sen(q) - tan(q) cos(qo)]
Fext
a
b
l
l ´
 
d
q0 q
b-d
q=arc tan(b-d) 
a
- viga inclinada sob força vertical
V.1 - Instabilidade (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Fint=E A [sen(q) - tan(q) cos(qo)]
q=arc tan(3-d) 
4
d(m)
Fint (KN)
 
Fext
4m
3m
l
l ´
 
d
q0 q
3-d
2 ;
3,01,5
A= 4x10 m
-2
E=10 KN/m 2
6
0,2m
0,2m
seção transversal
e material
l ´
 
q
Fint= N sen q
Fext
N
equilíbrio: Fint= Fext
d
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
- exemplo
V.1 - Instabilidade (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Imagine que a coluna ao lado seja submetida a
um pequeno deslocamento lateral e. 
Então:
Pe
q
K (KNm/rad)
mola helicoidal
coluna rígida
MP = P e =P l sen(q) = P l q~ MP
Mmola= K q Mmola
- se Mmola > MP => A barra tende a voltar à sua configuração inicial
- se Mmola < MP => O movimento tende a avançar no sentido horário,
 encontrando o equilíbrio em uma posição distinta da inicial
- se Mmola = MP => Equilíbrio neutro: a barra fica na nova posição
 Neste caso, o valor de P é denominado crítico (Pcrit)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.2 - Estabilidade do equilíbrio em colunas
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Pe
q
K (KNm/rad)
Mmola= K qMP = l P q ;
 l Pcrit q = K q MP = Mmola => 
 Pcrit = K 
l
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
carga crítica
V.2 - Estabilidade do equilíbrio em colunas (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Considere que a coluna abaixo seja submetida a uma força P e que o 
ângulo q varie de 0 a p/2. Plotar o momento interno da mola e os 
momentos causador por P para os seguintes valores: P = 90KN
 P = Pcrit =100KN 
 P = 110KN 
 P = 120KN
Pe
q
K = 300KNm/rad
l = 3m
 Pcrit = K = 100KN
l
Mmola= K q
MP = l sen(q) P
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
Exemplo
V.2 - Estabilidade do equilíbrio em colunas (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Pe
q
K = 300KNm/rad
l = 3m
 Pcrit = K = 100KN
l
Mmola= K q
MP = l sen(q) P
MP =120
MP =110
MPcrit =100
MP =90
90
q (graus)
M(KNm)
Mmola
z o o n
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
solução
V.2 - Estabilidade do equilíbrio em colunas (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
engaste perfeito
coluna flexível
P
vmax
l
Na maioria dos problemas
de engenharia Pcrit = Púltimo
de modo geral, leva à ruína
da coluna (smax > sadm )
Pcrit
vmax0,22 l
P
solução exata
(grandes deformações)
0,22 l
l
P = 1,015 Pcrit
P=1.015 Pcrit
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
- comportamento de colunas reais
Numa coluna engastada e livre, se ultrapassarmos
a carga critica em apena 1,5%, podemos ter vmax da 
ordem de 22% de l.
V.2 - Estabilidade do equilíbrio em colunas (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
UM POUCO DE MATEMÁTICA
a) Curvatura de uma função: 
se f´<<1 então:
1 = f´´ = d f
2
R dx
2
~
x
f(x)
R
a
f
df 
dx = tan(a)f´=
x
1 = f´´
(1+(f´) ) 
3/22
R
curvatura de f(x) 
x
f(x)
R
a
f
df 
dx << 1f´=
ou seja: a << 45
o
obs: se a função for suave: 
 
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
UM POUCO DE MATEMÁTICA ( cont)
b) A solução de uma equação diferencial do tipo






−=+
l
x
Cv
dx
vd
122
2
2
λλ
é dada por:






−++=
l
x
CxBxAsenv 1 )cos()( λλ
onde: v => função de x a determinar
 l => número real qualquer 
 C => número real qualquer
onde: A => número real qualquer 
 B => número real qualquer
obs: verificação na página 88 das notas e aula 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
UM POUCO DE MATEMÁTICA ( cont)
c) O menor valor positivo de q que atende a igualdade: )tan(θθ =
onde q = ângulo em radianos
39340950,4) 49340946,4tan( =radobs:
 q, tan(q)
)tan(θθ =
49341,4≅θ
q 
tan(q)
2
π π
2
3π )(radθ
tan(q)
é dado por: rad 49340946,4≅θ
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
Pcrit1
l
Pcrit3Pcrit2
Pcrit1 Pcrit3Pcrit2 Pcrit4< < <
- Influência da condições de apoio
Pcrit4
 
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A matemática diz que se v(x)
é uma curva suave, então: 
M = - P v
O momento interno causado por uma força
P atuando em uma coluna curvada é:
(vide fig. acima)
1 = M
R EI
Mas a curvatura também é 
dada em função momento 
interno da barra:
(eq. (II.8) - pag. 45)
Então: dv
2
dx2
-P v
EI
=
(V.12)
1 = dv
2
R dx
2
~
v(x)
x
v(x)
P
x
 equilíbrio entre momento
interno e momento externo
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
2
EI dx2
M dv= eq. diferencial
a resolver
V.3.1 - Colunas bi-articuladas
 (caso fundamental)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
A eq. (V.12) pode ser escreita como: dv
2
dx2
l v+
2
= 0
 com:
P
EI
l
2 =
(V.13)
A solução da eq. (V.13) é do tipo: 
(V.14)
)cos()( xBxAsenv λλ += (V.15)
onde A e B são constantes a determinar,
impondo-se as seguintes condições de 
contorno:
v(x)
x
v(x)
P
l
v = 0 em x = 0
v = 0 em x = l
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
V.3.1 - Colunas bi-articuladas (cont)
dv
2
dx2
P v
EI
=+ 0
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Impondo v = 0 em x = 0
Impondo v = 0 em x = l
0)0cos()0()0( =×+×= BsenAv
0 1
Então: B = 0
0)()( =×= ll λsenAv
)cos()( xBxAsenv λλ +=
x
v(x)
P
l
πλ n=l
onde n é um número inteiro qualquer.
(V.18)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
A eq. será atendida se A = 0 e/ou . 0)( =lλsen
A solução A=0 implica em v = 0, ou seja, não há flambagem. 
A equação também será atendida se . Neste caso,
temos que: 
0)( =lλsen
*
*
V.3.1 - Colunas bi-articuladas (cont)
 
RReessMMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Das eq. (V.14) e (V.18) escrevemos:
Os valores de P dados pela eq. (V.19) são cargas críticas, pois estabelecem a igualdade
entre momentos internos e externos para uma pequena alteração de configuração inicial.
A menor dessas cargas se dá para n = 1.
Nesse caso:
P
EI
l
2 =
l = h p / l
P
EI
=
2 n p 2
l
2
l =
2
=> (V.19)P
EI
=
l
2
2 2 n p
e:






= xsenAv
l
π
 
(V.21)
(V.20)
)( xsenAv λ=
x
v(x)
P
l
Pcrit EI=
l
2
2p carga de Euler paracoluna bi-articulada
l
P EI=
l
2
2p
1max =n
v
l / 2
v
 1 modo de flambagem
para coluna bi-articulada
o
função característica
para coluna bi-articulada
(1 modo : n = 1)o
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
V.3.1 - Colunas bi-articuladas (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
l/2
l/2
l/3
l/3
l/3
l/4
l/4
l/4
l/4
4Pcrit 9Pcrit 16Pcrit
l
Pcrit
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
Os 4 primeiros modos de flambagem as respectivas cargas são
representados abaixo. 
P
EI
=
l
2
2 2 n p
Pcrit EI=
l
2
2p
(V.21)
(V.20)
P= Pcrit2 n 
modo 1o
modos
demais
Modos de flambagem






= xnsenAv
l
π 
 
vmax estabelece o modo
de flambagem
Cargas de flambagem
maxv
x
v(x)
P
lV.3.1 - Colunas bi-articuladas (cont)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
P
EI
l
2 =
M
EI
dv
2
dx2
=
v(x)
x
v(x)
P
x
P
Mo
l
oMV =
l
oMV =
Pvx
M
PvVxxM o
direita
pela )( )()( −−=−−= l
l
l
l
 x-l
Igualando a curvatura obtida a partir do
momento interno e aquela obtida pela
derivada segunda de v(x), obtemos: 
P )
x
(1MM o v−−=
l
O momento em um ponto x pode ser 
calculado como: Então: )
x
(
MP o
l
−=+ 1
2
2
EIEI
v
dx
vd
)
x
(
Mo
l
−=+ 1 22
2
2
P
v
dx
vd
λλ
Ou ainda:
(V.14)
com:
P
EI
l
2 =
EI
v
EIP
P
dx
vd P 
)
x
(1
Mo −−=
l
2
2
 )
x
(1
Mo v
Pdx
vd
 22
2
2
 λλ −−=
l
*
**
** *
em :
(V.22)
V.3.2 - Coluna engastada e apoiada
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis (cont)
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
P
EI
l
2 =
)(
Mo
l
x
P
xBxAv −++= 1)cos()(sen λλ
Condições de contorno:
Solução: 
)
x
(
Mo
l
−=+ 1 22
2
2
P
v
dx
vd
λλ
(V.22)
(V.14) A e B ---> constantes a determinar
Mo ---> momento no engaste (desconhecido)
v(x)
x
v(x)
PP
Mo
l
oMV =
l
oMV =
l
V.3.2 - Coluna engastada e apoiada (cont)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
 em x = 00=
dx
dv
v = 0 em x = l
v = 0 em x = 0
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Impondo v = 0 em x = 0
Impondo v´ = 0 em x = 0
P
B o
M
−=
v(x)
x
v(x)
PP
Mo
l
oMV =
l
oMV =
l
)(
MM oo
l
x
P
x
P
xAv −+−= 1)cos()(sen λλ
Substituindo B em v escrevemos :
lP
x
P
xA
dx
dv oo MM −+= )(sen )(cos λλλλ
0)(sen )(cos =−+=
lP
x
P
xA
dx
dv oo MM λλλλ
1 0
lP
A
 
 
λ
oM=logo
1
0 1
0) (
Mo =−++=
l
x
P
xBxAxv 1)cos()(sen )( λλ
logo
V.3.2 - Coluna engastada e apoiada (cont)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
)(
Mo
l
x
P
xBxAv −++= 1)cos()(sen λλ
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Substituindo A em v escrevemos :






+−−= 1)cos( 
 
)(sen
)(
ll
x
x
x
P
xv λ
λ
λoM
Impondo v = 0 em x = l 
0
0 1/ )cos(
)(
 )( =





+−−= lll
l
l
l λ
λ
λsen
P
M
v o
0≠
0)cos(
)(
=− l
l
l
λ
λ
λsen
v(x)
x
v(x)
PP
Mo
l
oMV =
l
oMV =
l
multiplicando por 
)cos( l
l
λ
λ
0)tan( =− ll λλ
solução 49341,4≅lλ 2
2
2 045752
l
 π,
λ ≅
V.3.2 - Coluna engastada e apoiada (cont)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Pcrit
(V.23)
P
EI
l
2 =
Determinaçãoda carga crítica 
2
2 04575.2
l
EI
P π=
2
2
2 045752
l
 π,
λ ≅
x
v(x)
PP
Mo
l
oMV =
l
oMV =
l
Pcrit EI=
l
2
2p
(V.20)
π2 π6 π12 π14 0 π10 π8 q (rad)
q, tan(q)
modo 1o
modo 2o
modo 5o
modo 4o
modo 3o
carga crítica mínima para coluna
engastada e rotulada
carga crítica mínima para
coluna bi-rotulada (caso fundamental)
podem ser obtidos encontrando-se outros valores de ll tais que tan(ll) = ll.
Obs: Existem outros modos de flambagem para coluna engastada e rotulada. Esses modos 
x






+−−= 1)cos( 
 
)(sen
)( 
ll
x
x
x
P
xv λ
λ
λoM
pontos onde
 tgq =q 
ll λλ =)tan(
0,20 l 0,40 l 0,60 l 0,80 l0
1o modo
2o modo
(ll = 4.49341)
(ll = 7.72525)
3o modo
(ll = 14.06619)
(ll = 10.90412)
4o modo
;
V.3.2 - Coluna engastada e apoiada (cont)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
crit P.P 045752=
com:
Então:
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
Pcrit EI=
l
2
2p
O mesmo estudo pode ser feito para colunas bi-engastadas ou engastada e livre,
encontrando-se para cada um dos casos diversos modos de flambagem associados a
diversas cargas de flambagem. De modo geral, temos interesse apenas em determinar
a carga mínima de flambagem (Pflamb), associada ao primeiro modo. A seguir resumimos
as cargas de flambagem para as quatro condições de apoio possíveis:
x
v(x)
l
Pflb
critflb PP 4=
critflb PP 
4
1
=
x
v(x)
l
Pflb
x
v(x)
l
Pflb
x
v(x)
l
Pflb
critflb PP =
critflb PP 046.2=
V.3.3 - Demais casos de apoio de coluna
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis (cont)
 
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
 
 
 
Pflb EI=
le
2
2p
A carga de flambagem para as quatro condições
de apoio pode ser escrita de forma única como:
onde le é o comprimento efetivo da coluna, dado a seguir:
x
v(x)
l
Pflb
ll =e
x
v(x)
l
Pflb
ll 2=e
x
v(x)
l
Pflb
ll 50,0=e
x
v(x)
l
Pflb ll 70,0=e
0.5l
interpretação física de le
0.7l
l
V.3.3 - Demais casos de apoio de coluna (cont)
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennss MMiittrrii 
A expressão acima
pode ser escrita como:
com: 
 
A
I
r =
 
2
2
A
IE
A
P
e
flb
flb
l
π
σ ==
tensão de flambagem
I - momento de inércia
A - área da seção
onde:
raio de giração
- Índice de esbeltez
r
el=λ
(V.28)
(V.29)
índice de esbeltez
V.3.4 - Tensão de flambagem e índice de esbeltez 
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis (cont)
 - Tensão de flambagem: 
(V.27)
sflb E=
(le/r)2
2p
 
RReess MMaatt IIII –– EEssttáácciioo ddee SSáá –– PPrrooff.. RRuubbeennssMMiittrrii 
V - FLAMBAGEM DE COLUNAS 
V.3 - Colunas flexíveis (cont)
I - momento de inércia
A - área da seção
le - comprimento efetivo
onde:
V.3.4 - Índice de esbeltez e tensão de flambagem (cont)
 
2
2
λ
π
σ
E
flb = 
 
A
I
r =
r
el=λ; ;
- Exemplo: 
GPaE 200 : deelasticida de módulo =
MPao 250 : escoamento de tensão =σ
89 λ
250
)(MPaσ
GPaE 200=
MPao 250=σ
 
2
2
λ
π
σ
E
flb =
tensão de
escoamento
do aço
Se a esbeltez for menor que 89, a coluna
não flamba (ruina por escoamento do aço)
:com aço o para flb λσ × Curva