Resistência dos Materiais 2

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Estácio de Sá ‐ Res Mat II – Rubens Mitri                                                                                                                                      1 
 
I – Propriedades das superfícies planas 
ÁREA 
 

.sup
dAA
 
 (I.1)
 
 
MOMENTOS ESTÁTICOS (mx e my) 
- Definição: 
 
- Translação dos eixos de referência 
Y
y`
X
A
x`
a
b
 
Aamm xx `  (a) 
 
Abmm yy `  (b) (I.3) 
OBSERVAÇÃO: 
Se x’ e y’ forem baricêntricos, então 0``  yx mm . Além disso, as 
distâncias a e b passam a ser as coordenadas do baricentro da superfície, 
de forma que as equações (I.3) tomam a forma: 
Y y`
X
A
x`
YG
XG
G
Aym Gx  ; Axm Gy  
 ou ainda: 
 
A
my xG  ; A
m
x yG  
 (I.4ab)
X
Y
x
y
dA
A
 
 

A
x dAym (a) 
 
 

A
y dAxm (b) (I.2) 
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MOMENTOS DE INÉRCIA 
- Definição: 
Momentos de inércia (Ix e Iy) 

A
x dAyI 
2 (a) 

A
y dAxI 
2 (b) (I.5) 
Produto de inércia (Ixy) 
 
 
 
A
xy dAyxI (I.6) 
Momento polar de inércia (Iz) 
 
A
z dArI 
2 (I.7)
obs: yxz III  (I.8)
 
X
Y
x
y
dA
A
X
Y
dA
A
.
r
Z
 
 
- Translação dos eixos de inércia 
 
Y
y`
X
A
x`
a
b
 
 
 Aaa mII xxx 2
2
``  (a) 
 Abb mII yyy 2
2
``  (b) (I.9) 
 Abaa mb mII yxxyxy ```  (I.10) 
Observação: 
Y y`
X
A
x`
YG
XG
G
 
Se x’ e y’ forem baricêntricos, então 0``  yx mm , 
Gya  e Gxb  , e as equações (I.9) e (I.10) tomam 
a forma: AyII Gxx 
2
`  (a) 
 AxII Gyy 
2
`  (b) 
 AyxII GGxyxy `  (c) (I.11) 
 
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- Rotação dos eixos de inércia 
Y
y`
X
A
x`

 
 )2sin()2cos(
22`
 xyyxyxx IIIIII  (a) 
 )2sin()2cos(
22`
 xyyxyxy IIIIII  (b) 
 )2cos()2sin(
2``
 xyyxyx IIII  (c) (I.12) 
 
- Direção dos eixos principais de inércia 
y
Yo
x
Xo
A
G
 
 
 
 
yx
xy
II
I

 2)2tan(  (I.13) 
 
- Momentos principais de inércia 
 2
2 
22 xy
yxyx
Min
Max I
IIII
I 


  (I.14) 
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Exercícios: Para cada uma das figuras a seguir, determinar os eixos principais de inércia ( ox e 
oy ), os momentos principais de inércia ( oIx e oIy ) e o momento polar de inércia ( oIz ). 
 
Lista de exercícios 
Livro:Resistência dos Materiais 
R.C. Hibbeler, 7ª edição 
 
Exemplos: A.1 a A.6- pg 569 a 577 
 
 
Problemas: A.1 a A.20 – pg 578 a 581 
 
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II – Distribuição de tensões em estruturas 
II.1 – Introdução 
Quando submetemos um sólido a forças externas ou variações de temperatura, este sofre 
deformações que acarretam pequenas alterações de sua geometria, passando de um formato 
inicial (configuração indeformada), para um formato final (configuração deformada), como 
representa a Figura II.1 
 
Figura II.1 – Corpo estável submetido a forças externas 
Configuração inicial (indeformada) e final (deformada) 
 
Devido às forças aplicadas surgem tensões internas. No caso mais geral, a tensão de um ponto 
material fica definido através de 6 componentes de tensão, conforme a Figura II.2 . 
 
 
Tensões normais: 
 
zyx  , , 
 
Tensões de cisalhamento 
yzxzxy  , , 
Reciprocidade das 
tensões de cisalhamento 
 
 
Figura II.2 – Estado tridimensional de tensão 
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Tensões e deformações se relacionam através das propriedades elásticas (Lei de Hooke) 
como: 
 }]{[}{  D ; }]{[}{  G (II.1) 
onde }{ e }{ são os vetores de tensão : 
 







z
y
x



 }{ ; 







yz
xz
xy



 }{ (II.2) 
}{ e }{ são os vetores de deformação : 
 







z
y
x



 }{ ; 







yz
xz
xy



 }{ (II.3) 
e [D] e [G] são as martizes de propriedades elásticas: 
 




  

 -1-1
-1
)21( )1(
][ ED ; 




G
G
G
G
00
00
00
][ (II.4) 
onde E ,  e G são respectivamente o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e o 
módulo de cisalhamento. 
Uma estrutra é estável quando está devidamente apoiada e as tensões internas são inferiores 
às tensões máximas admissíveis para o seu material. Neste capítulo estudaremos a 
distribuição de tensões decorrentes da ação de esforços em estrutura. O objetivo do estudo é 
identificar e quantificar as tensões máximas atuantes, e consiste na base do dimensionamento 
de estruturas de engenharia civil. O estudo é diretamente dirigido para estrutras reticuladas, 
ou seja, estrutras constituídas por barras, mas muito do aqui discutido pode ser usado para 
entender a distribuição de estruturas não reticuladas, tais como placas e cascas e blocos 
(Figura II.3). 
 
Figura II.3 - Estrutras não reticuladas 
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II.2 Estruturas reticuladas: 
São estruturas constituídas por barras interligadas em suas extremidades, tais como vigas, 
arcos, treliças, pórticos e grelhas, como ilustra a Figura II.4 
 
 
Figura II.4– Estruturas reticuladas 
Uma barra caracteriza-se pela sua geometria, tendo o comprimento muito maior que a 
largura e a altura ( l >>b e l >> h), como representa a Figura II.5. 
- seção transversal é uma fatia de uma barra de espessura dx, confomre a Figura II.5; 
 - eixo de uma barra é o lugar geométrico dos centróides das seções transversais; 
- uma barra pode ser representada pelo seu eixo; 
- uma barra é dita curva ou reta conforme seu eixo seja curvo ou reto; 
- a seção transversal de uma barra pode ou não variar ao longo do comprimento. 
 
 
Figura II.5 – Elementos de barra 
 
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Esforços em barras 
No caso mais geral, uma barra pode ser submetida a seis esforços, conforme a Figura II.6: 
esforço normal N, esforços cortantes Qy e Qz (Figura II.6a), momento torçor T e 
momentos fletores My e Mz (Figura II.6b).Figura II.6 – Esforços em estruturas reticuladas 
Conforme o esforço suportado por uma barra, esta recebe nomes especiais, tais como: 
- elemento de treliça : suporta apenas esforço normal (N); 
- barra de torção : suporta apenas momento torçor (T); 
- elemento de viga : suporta momento fletor e esforço cortantes (M e Q); 
- elem. de pórtico plano : suporta momento fletor, esforço cortante e esforço normal 
(M , Q e N); 
- elem. de pórt. espacial : suporta momentos fletores , momento torçor , esforços 
cortantes e esforço normal (My , Mz , T, Qy, Qz e N); 
Nas Figuras II.7 e II.8 representamos a distribuição de tensões devido a cada um desses 
esforços aplicados separadamente. A Figura II.7 procura mostrar que os esforços cortantes e o 
momento torçor geram apenas tensões de cisalhamento, e que essas tensões estão sempre 
contidas no plano da seção, ou seja, geram apenas componentes xzxy  e como indicado. 
 
 Esforços cortantes Momento torçor 
Figura II.7 – Distribuição de tensões de cisalhamento em estruturas reticuladas 
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Na Figura II.8 notamos que momentos fletores e o esforço normal geram apenas a 
componente de tensão x , normal ao plano da seção, enquanto que 0 zy  . 
 
Figura II.8 – Distribuição de tensões normais em estruturas reticuladas 
Tensões e deformações em estruturas reticuladas 
Conforme as distribuições apresentadas nas Figura II.7 e II.8, em estrutras reticuladas podem 
atuar no máximo apenas 3 componentes de tensão, sendo duas de cisalhamento ( xzxy  e ) e 
uma de tensão normal ( x ), como resume a Figura II.9. 
 
(a) Esforços em uma seção transversal 
 
(b) Tensões em uma seção transversal 
Figura II.9 – Estado de tensão em estruturas reticuladas 
Lei de Hooke : 
Para o estado de tensão representado na Figura II.9b, a Lei de Hoooke toma a forma 
simplificada: 
 xEx   (a) ; xz  Gxz  (b) ; xy  Gxy  (c) (II.5) 
As deformações zy  e são obtidas a partir de x como: 
 xzy   (II.6) 
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Energia de deformação 
Como as componentes de tensão yzzy  e , são nulas, resta apenas a energia associada a 
xzxyx  e , , ou seja: 
  xzxzxyxyxxU  21  (II.7) 
Efeitos localizados e o Princípio de Saint Venant 
Suponha que se deseje transmitir forças de tração F para as extremidades de uma barra de 
madeira e, para isso, tenham sido feitas braçadeiras de aço aparafusadas nas extremidades, 
conforme a Figura II.10. A força F será transmitida para a braçadeira através de cabos de aço, 
e a braçadeira transmitirá a força para barra através dos parafusos que atravessam a barra. A 
figura mostra também as seções S1, S2 e S3, nas proximidades da ligação da barra com a 
braçadeira. Considere que desejamos estudar a distribuição de tensões na barra de madeira. 
 
Figura II.10 – Forças axiais tranmitidas a uma barra 
A Figura II.11 procura mostrar que a distribução de tensões nas seções transversais próximas 
às braçadeiras é complexa mas, à medida que nos afastamos das extremidades, a distribução 
de tensões passa a ser uniforme. 
 
Figura II.11 – Distribuição de tensões em uma barra sob esforço axial 
De forma semelhante, a Figura II.12 procura representar uma barra engastada em uma parede 
de concreto. O efeito de engaste foi obtido utilizando um console de concreto para apoiar a 
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barra, evitando o seu deslocamento vertical, e braçadeiras de aço ancorados na parede através 
de chumbadores, evitando que a barra gire. Pelas braçadeiras passam parafusos que 
atravessam a barra, havendo uma concentração de tensões nessa região, principalmente junto 
aos parafusos e ao console de apoio. Contudo, à medida que nos afastamos do apoio, a 
distribuição de tensões torna-se mais suave, podendo ser obtida a partiir das geometria da 
seção transversal e dos dos esforços atuantes, como indica a figura. 
 
Figura II.12 – Barra engastada – tensões e esforços 
O princípio de Saint-Venant para estruturas reticuladas pode ser enunciado como: 
Em estruturas reticuladas pode haver concentrações de tensões nos pontos de 
aplicação das forças externas, nas conexões entre as barras e nos apoios. Mas essas 
concentrações são efeitos localizados e não afetam o comportamento global da 
estrutura, que pode ser descrito em função da distribuição de esforços e da geometria 
das seções transversais. 
 
II.3 – Esforço axial 
Forças externas, esforços e deformações 
Forças axiais são aquelas aplicadas na direção do eixo da barra, gerando apenas esforços 
normais, como representa a Figura II.13. A barra se alonga ou encurta, conforme as forças 
sejam de tração ou compressão, e as faces das seções transversais permanecem paralelas, 
planas e normais ao eixo, como representa a Figura II.13b. A única componente de 
deformação presente é x . 
 
N
N
dx
Ddx
G
G
x 
 a - Forças aplicadas b – esforço e deformação normal 
Figura II.13 Barra submetida a forças axiais 
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Distribuição de deformações 
Como as faces das seções transversais permanecem paralelas (Figura II.13b), x é constante 
em toda a seção, podendo ser calculada como1: 
 
 
 dx
dx
x

 (II.8)
 
Distribuição de tensões 
Se o material for homogêneo, essa distribuição de deformação resulta em tensões constantes, 
como representa a Figura II.14. Tensões podem ser obtidas a partir da Lei de de Hooke como: 
 
xx E  σ
 (II.9)
 
Seção transversal em perspectiva 
 
esforço normal tensão normal deformação normal 
Seção transversal em vista lateral 
 
 esforço normal tensão normal deformação normal 
Figura II.14 Barra sob esforço, tensões e deformações axiais 
Carregamento 
Forças axiais podem ser concentradas ou distribuídas ao longo do comprimento, como 
representa a Figura II.15. 
x
Fa
Fb
a
b
  
 a – Forças concentradas b – Forças distribuídas 
 
Figura II.15 – Elemento de treliça representado pelo seu eixo 
 
                                                            
1 Note que deformações positivas são de alongamento e esforços normais positivos são de tração. 
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Diagrama de esforços normais 
Quando as forças axiais são concentradas, o esforço normal é constante. Se houver forças 
axiais distribuídas ao longo da barra, o esforço normal varia na direção de x, conforme 
representa a Figura II.16. Note que esforços normais positivos são de tração. 
FF
F F
+
DN
a b
 
a) Forças concentradas nas extremidades
 
b) Forças nas extremidades e carregamento uniforme 
 
Figura II.16 - Diagramas de esforços 
Equações de equilíbrio 
A Figura II.17a representa uma barra submetida a axiais forças Fa e Fb concentradas nas 
extremidades e a um carregamento axial distribuído n(x). A figuraressalta um segmento de 
comprimento dx, que representa a seção transversal mostrada em perspectiva na Figura 
II.17b. 
 
 
 aa –– bbaarrrraa ssoobb ccaarrrreeggaammeennttoo aaxxiiaall 
 
 
b – forças axiais em uma seção 
Figura II.17 – Equilíbrio em uma seção transversal 
 
A soma das forças que atuam na seção da Figura II.17b deve ser nula, de forma que podemos 
escrever: 
 
 0xF 0)(  NdxndNN (x) 
  dxdNn(x)  (II.10) 
 
Cálculo de tensões e deformações axiais 
O esforço normal gera a componente de tensão x , que se distribui uniformemente ao longo 
da seção transversal, como mostra a Figura II.14, de forma que: 
 
 A
N
x  (II.11) 
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As deformações normais podem ser obtidas a partir da alteração da geometria da seção 
transversal, conforme a equação (II.8), ou a partir das tensões e da lei de Hooke (equação 
(II.9) ). Assim escrevemos: 
 EA
N
E
x
x   (II.12) 
Energia de deformação 
 Como o esforço axial gera apenas tensões x ,escrevemos a energia de deformação como: 
 
 dxA(x)dVU xxxx 2
1 
2
1 
0 
 
V 
     (II.13) 
 
onde A(x) a área da seção transversal. 
 
Note que na equação (II.13) efetuamos a transformação da integral ao longo do volume da 
barra para uma integral ao longo de seu comprimento. Essa transformação foi feita 
considerando-se a hipótese de x constante ao longo da área da seção transversal, e de 
material homogêneo, o que acarreta tensões x também constantes ao longo da área. 
 
A tensão e a deformação podem ser obtidas de diversas formas (vide equações (II.8), (II.9), 
(II.11) e (II.12) ), o que permite escrever a energia de deformação de várias maneiras, tais 
como: 
 dxAE
NdxAEdxA
E
xU xxx 
 
2
1 
2
1 
2
1 2 
0 
 
0 
 
0 
     (II.14) 
Alongamento da barra e deslocamentos 
Devido às deformações a barra sofre uma variação de comprimento  , que pode ser obtido 
a apartir da integral dos dx , indicados na Figura II.13 e que pode ser calculado a paritr da 
equação (II.8). A variação de comprimento da barra é dado por2: 
     00 dxdx x (II.15) 
Se desejarmos calcular o alongamento apenas de um trecho da barra, também podemos usar a 
equação (II.15), sendo que a integral deve ser feita apenas ao longo desse trecho, e não de 
todo o comprimento. 
 
Imagine que três barras estejam interconectadas e submetidas a forças axiais aplicadas na 
junção entre elas, conforme ilustra a Figura II.18. As extemidades das barras serão 
denominadas nós, de forma que nos nós 2 a 4 estão aplicadas as forças F2 a F4
 
 e o nó 1 
encontra-se apoiado, estando sujeito à reação R. A figura representa o conjunto de barras em 
sua configuração inicial (Figura II.18a) e após a aplicação das forças (Figura II.18b). 
                                                            
2 Note que se x for positivo teremos alongamento da barra e, se x for negativo, terememos encurtamento. 
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Notamos que as barras sofreram alongamentos  , e que os nós 2, 3 e 4 se deslocam para a 
direita, sofrendo respectivamente os deslocamentos 2u , 3u e 4u . A figura também indica o 
deslocamento de um ponto P, situado a uma distância x da extremidade esquerda da barra 2. 
 
Figura II.18 –Deslocamentos devido a forças aplicadas 
Notamos que o deslocamento do ponto 2 é igual ao alongamento da barra 1 e assim por 
diante, ou seja: 
 12 u ; 213   u ; 3214   u 
O deslocamento do ponto P siutuado na barra 2 é igual ao deslocamento do nó 2 mais o 
alongamento da barra entre o nó 2 e o ponto P, podendo ser calculado como: 
 
   x 0 1x 0 2 )( dxdxuxu xx  
 (II.16) 
Trabalho das forças externas 
Quando uma força se desloca ela realiza trabalho. Se a força for constante, o trabalho é dado 
pelo produto da força pelo seu deslocamento. Contudo, em uma estrutura as forças são 
aplicadas suavemente, desde um valor inicialmente nulo até o seu valor final. Se o material se 
comportar linearmente conforme a Lei de Hooke, o deslocamento do ponto de aplicação da 
força e a intensidade da força aplicada aumentam proporcionalmente, como representa a 
Figura II.19a. Neste caso o trabalho realizado pela força é dado pela área sob a reta, conforme 
idicado na figura. 
 
a – Gráfico F x u b – Trabalho de n(x) 
 
c – Gráfico dF x u
Figura II.19 – Trabalho das forças externas
 
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Considere agora que sejam aplicadas forças axiais distribuídas q(x), que variam ao longo do 
eixo, como representa a Figura II.9b. A Figura procura mostrar que um certo segmento de 
comprimento dx, de coordenada xx  , sofre um deslocamento )(xu , e que nesse segmento o 
carregamento distribuído assume o valor constante )(xn . Para avaliar o trabalho do 
carregamento distribuído vamos considerar a força total que atua no segmento, que pode ser 
calculada como dxxndF )( , conforme indica a figura. Devemos obsevar que, assim como 
as forças concentradas, o carregamento distribuído é aplicado suavemente, desde um valor 
inicialmente nulo até o seu valor final. Em um regime linear elástico, a intensidade do 
carregamento aplicado é proporcional ao deslocameto sofrido pelo segmentos dx, o que 
resulta num gráfico udF  linear, como representa a Figura II.19c. Neste caso, o trabalho 
extdW realizado por )(xn ao longo do deslocamento )(xu é dado pela área sob a reta,, ou 
seja, dxxunxdFudWext )( (x)2
1)(2
1  , como indica a figura. O trabalho total de n(x) ao longo da 
barra será dado pela integral de extdW ao longo do comprimento. Assim, o trabalho total 
realizado pelas forças concentradas e o carregamento distribuído pode ser calculado como: 
 dxxun(x)uFW iiext )( 2
1 2
1 
0 
.    (II.17) 
onde iu é o deslocamento do ponto de aplicação da força concentrada iF , n(x) é a função que 
define o carregamento normal ao longo de x, u(x) é a função que define os deslocamentos dos 
pontos da barra e  é o comprimento ao longo do qual n(x) é aplicado. 
 
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Exercícios II.1) Determinar a distribuição dos esforços normais N(x), das tensões )(xx , das 
deformações axiais )(xx e dos deslocamentos u(x) nos elementos de treliça 
indicados. Considere que o eixo x tem origem na extremidade esquerda dos 
elementos e o material é linear elástico com módulo de elasticidade 
27 /10 mKNE  . Calcule também a energia de deformação e o trabalho das 
forças externas. 
 
Sugestão: 
Traçar o diagrama de esforços normais (DN) e calcular: 
)(
)()(
)(
 xA
xN
E
x
x
E
  ;   x x dxxAE xNdxxxu 0 0 )( )()(  
x,u
y
a b
12 m
cmh 30
cmb 10
F=600 KN
a)
 
 
 
com: mha 10,0 ; mhb 30,0 ; 12/11 xN  e 12/2 xN  . 
 
com: mha 10.0 ; mhb 30.0 ; mba 05.0 ; mbb 15.0 ; 12/11 xN  e 12/2 xN  
 
Lista de exercícios 
Livro:Resistência dos Materiais 
R.C. Hibbeler, 7ª edição 
 
Exemplos : 4.1 a 4.4 - pg 90 e 914.5 a 4.8 - pg 97 a 99 
 
Problemas: 4.1 a 4.30 – pg 134 a 137 
 4.31 a 4.69 – pg 101 a106 
 
 Estácio de Sá ‐ Res Mat II – Rubens Mitri                                                                                                                                      18 
 
II.4 – Torção 
Carregamento e diagrama de esforços 
Momentos torçores podem ser concentrados ou distribuídos ao longo do eixo da barra, 
conforme a Figura II.20. 
 
Figura II.20 – Momentos torçores aplicados 
 
Diagramas de momento torçor podem ser contantes ou não conforme exista ou não 
carregamento distribuído, como ilustra a Figura II.21a. Consideramos que o momento torçor 
em uma seção transversal é positivo quando em sua representação vetorial os momentos 
estiverem voltados para fora da seção, conforme a Figura II.21b. 
 
 
a - Diagrama de momento torçor para t(x) constante 
 
b – Convenção para torçor positivo 
Figura II.21 – Diagrama de momento torçor 
 
Equações de equilíbrio 
 
A Figura II.22a ressalta um segmento de comprimento dx, de uma barra submetida a 
momentos de torção concentrados nas extremidades e distribuídos ao longo do comprimento. 
O segmento destacado representa a seção transversal mostrada em perspectiva na Figura 
II.24b. 
z
x
a\
Ma
Mb
t(x)
b
dx
dx
y
t(x)
T+dT
T
 
aa –– bbaarrrraa ssuubbmmeettiiddaa aa mmoommeennttooss ttoorrççoorreess 
T + dT
dx
G
G
x
G
t(x)
T
 
b – momentos aplicados em uma seção
Figura II.22 – Momentos e esforços torçores aplicados 
 
Para que a seção representada na Figura II.22b esteja em equilíbrio é preciso que a soma dos 
momentos em torno do eixo da barra seja nula, ou seja: 
 
 0xM 0)(  TdxdTT t(x) 
  dxdTt(x)  (II.18) 
 
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A equação (II.18) informa que a taxa de variação do esforço normal ao longo de x é 
determinada pelo carregamento distribuído t(x). 
II.4.1 – Barras de seção transversal circular 
Hipóteses básicas 
Considere uma barra de seção retangular submetida a momento torçores aplicados nas 
extremidades, como representa a Figura II.23. A figura procura mostrar que as seções 
transversais giram em torno do eixo da barra, havendo rotação relativa entre as seções. As 
linhas da periferia, inicialmente paralelas ao eixo, sofrem deformações como indicado, mas o 
eixo permanece reto e as seções transversais permanecem planas e normais a ele. A barra 
também não sofre deformações normais (alongamento ou encurtamento) na direção do eixo 
nem seu raio, permanecendo com mesmo comprimento e mesmo diâmetro. 
 
Figura II.23 Barra sob momento torçor: tensões e deformações 
A Figura II.23 procura mostrar que todos os pontos de cada uma das faces de uma seção 
transversal sofre uma mesma rotação )(x em torno do eixo da barra, havendo uma 
defasagem de d entre a duas faces da seção. Assim, como os pontos de uma mesma face 
não sofrem deslocamentos relativos, e os pontos de uma face inicialmente alinhados na 
direção do raio permanecerm alinhados na direção do raio após a deformação. 
 
(a) 
 
(b) 
 
 (c) 
Figura II.24 - Deformações em uma barra sob torção 
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Distribuição de deformações 
A Figura II.24c mostra que a rotação relativa d acarreta a deformação angular  
(deformação de cisalhamento) nos elementos da seção transversal. Conforme a figura, 
podemos escrever dxdr / )tan(   . Se o ângulo  for pequeno, então podemos adotar 
)tan(  , ou seja: 
 
dx
dr   (II.19) 
Distribuição de tensões 
Tensões de cisalhamento podem ser obtidas a partir da deformação  e do módulo de 
cisalhamento G, conforme a equação (II.5). Então: 
 
dx
drGG   (II.20) 
As equações (II.19) e (II.20) informam que a deformação e a tensão de cisalhamento variam 
linearmente na direção do raio, sendo nulas no eixo da barra e máximas junto à periferia da 
seção. 
 
Cálculo de tensões e deformações de cisalhamento 
A tensão de cisalhamento  , que gera a deformação  , tem direção sempre perpendicular ao 
raio, com representa a Figura II.25a. Consequentemente a força dF que resulta de  atuando 
em uma área elementar dA também é perpendicular ao raio, como representa a Figura II.25b. 
A figura indica também o módulo dessa resultante, dado por dAdF  . 
                     
 a – direção de  b – direção de dF 
Figura II.25 - Momentos produzidos por tensões de cisalhamento 
Observando a Figura II.25b, notamos qua a resultante dF produz um momento em torno do 
eixo da barra dado por dArdFrdM x  . Então, utilizando a equação (II.19), escrevemos|: 
 dAdFrdM r
dx
dGx 2  
(II.21)
 
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A integral desses momentos elementares ao longo da seção transversal deve ser igual ao 
momento torçor atuante na seção. Assim, escrevemos: 
   AA x dArdxdGdMT 2 (II.22) 
A integral contida na equação (II.22) representa o momento polar de inércia da seção 
transversal em relação do eixo da barra (vide equação (I.7)), que aqui será denotado como 
PJ . Assim, a equação (II.22) fornece PJdx
dGT   ou ainda : 
 
PJG
T
dx
d
 
  (II.23) 
A equação (II.23) permite como calcular a taxa de variação do ângulo de torção causada 
por um momento T, assim como a rotação relativa entre diferentes seções transversais da 
barra. Substituindo a equação (II.23) em (II.20) obtemos: 
 
PJ
Tr  (II.24) 
A equação (II.24) fornece a distribuição de tensões ao longo da seção transversal circular 
em função do momento torçor atuante, sendo válida também para barra com seção 
transversal em anel de círculo, com raio constante ou não, como representa a Figura II.26. 
Notamos que a distribuição é linear, com tensões nulas no eixo da barra e tensões máximas 
na sua periferia, onde alcançam o valor: 
 max 
PJ
TR (II.25) 
 
a) barra cilíndrica 
 
b) cilíndrica vazada
 
c) barra cônica
Figura II.26 - Tensões devido a torção em seções circulares vazadas ou não 
 
Deformações de cisalhamento podem ser calculadas a partir das equações (II.5) e (II.24) 
resultando em: 
 PJ
Tr
GG 
  
 (II.26)
 
Energia de deformação 
 
Como momentos torçores geram apenas tensões de cisalhamento  , a energia de deformação 
pode ser escrita como: 
 dVU 
2
1 
V 
 (II.27) 
 
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Substituindo as equações (II.24) e (II.26) em (II.27) obtemos: 
 (II.28) 
Note que as equações (II.27) e (II.28) são análogas às equações (II.13) e (II.14), que definem 
a energia de deformação para esforço axial. Note a semelhante entre o último termo das 
equações (II.14) e (II.28), que fornecem energia de deformação em função da distribuião do 
esforço atuante. 
 
Rotação das seções transversais 
As seções transversais de uma barra submetida a torção sofrem rotações  , em torno do eixo 
x, como representa a Figura II.21a. Aequação (II.23) permite escrever: 
 dxJG
Td
P 
  (II.29) 
A expressão (II.29) permite calcular a rotação relativa sofrida entre duas seções transversais. 
Se a extremidade inicial da barra ( 0x ) tiver sofridouma rotação o , então a rotação de uma 
seção qualquer, situado a uma distância x do nó inicial, será dada por: 
   x Poxo dxJGTdx 00 )(  (II.30) 
Na equação (II.30), a rotação  é positiva quando sua representação vetorial tiver a direção 
de x, e a convenção de sinal para o momento torçor T é aquela estabelecida pela Figura 
(II.23b). Note que se o momento torçor e a geometria da seção transversal forem constante, 
então a equação (II.30) toma uma forma simplificada. Observe a semelhança entre as 
equações (II.30) e (II.16), que fornece o deslocamento devido a esforços normais. 
 
Exemplo II.1: Uma barra com uma extremidade engastada é submetida a dois momentos 
concentrados, conforme a Figura II.27a. A seção transversal é circular de raio 
igual a 10cm, conforme a Figura II.23b, e o módulo de cisalhamento do 
material e o momento polar de iércia são dados na Figura II.23c. Determiar a 
rotação na extremidade direita e no meio da barra. Determine também a 
energia de deformação acumulada na barra após a aplicação dos momentos. 
 
 
a - condições de apoio e momentos aplicados 
 
b - seção transversal 
28 /10 mKNG  
461082.9 mJ P  
221082.9 KNmPJG  
 
c – Propriedades do material e seção 
Figura II.27 Barra subetida a momentos torçores concentrados 
 
Solução: 
Na Figura II.28a representamos a barra, os momentos aplicados e a reação de apoio na 
extremidade e, na Figura II.28b representamos o diagrama de momentos torçores. 
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a - esquema estrutural e reação de apoio b – diagrama de momento torçor 
Figura II.28 – Barra sob torção – reação de apoio e diagrama de esforço 
 
A extremidade A está engastada, de forma que a rotação ali é nula, e a rotação em B e C 
podem ser calculadas utilizando-se a equação (II.30) como: 
 rad.dx
PJG
Tdx
PJG
T
A 61115506
6
0 21082,9
100 
 
0 
6
0 
 B 

     
 01155610 6111550
12
6
 21082,9
1006111550 
12
6
 
 
C 

  ..dx.dx
PJG
T
B 
A energia de deformação pode ser calculada a partir da equação (II.28) como: 
 KJdxdxdx
PJG
TU 61.1155
12
6 21082.9
2100
2
16
0 21082.9
2)100(
2
112
0 
2
2
1 



  
Trabalho dos momentos aplicados 
Quando um momento atua ao longo de um ângulo de rotação  , ele realiza um trabalho dado 
pelo produto do ângulo de rotação  , medidos em radianos, pelo valor do momento aplicado. 
Se o momento e a rotação tiverem o mesmo sentido, então o trabalho terá sido positivos e, 
caso contrário, o trabalho realizado pelao memento será negativo. Se o momento variar 
proporcionalmentoe com o ângulo  , desde um lalor inicalmente nulo até o seu valor final 
M, então o trabalho realizado é dado por3 MWext 2
1  . Se houver momentos t(x) 
distribuídos ao longo do eixo, então o momento elementar realizado pelo carregamento ao 
longo de um segmento dx é dado por dM = t(x) dx, o trabalho é dado pelo produto de dM por 
)(x . Contudo, se t(x) variar linearmente com )(x , o trabalho realizado por t(x) no segmento 
dx será dado por dxx t(x) Wext )(2
1  . Assim, o trabalho total realizado pelas forças 
concentradas e o carregamento distribuído pode ser calculado como: 
 dxx(x)W tM iiext )( 2
1 2
1 
0 
.     (II.31) 
 
onde i é a rotação do ponto onde o momento iM é aplicado, t(x) é o torçor distribuído, )(x 
é a rotação da barra e  é o comprimento ao longo do qual t(x) é aplicado4. 
Exemplo II.2: Para a barra do Exemplo II.1, determine o trabalho dos momentos aplicados. 
Solução: 
                                                            
3 Esses argumentos são muito semelhantes àqueles que aprresentamos ao estudar o trabalho das forças externas, quando força a 
força aplicada F e deslocamento u do ponto de aplicação da força eram porporcionais, com F e u variando de zero ao seu valor 
final, conforme a Figura II.19a. 
4 Observe que a equação (II.31) é análoga à equação (II.17), que fornece extW para forças axiais. 
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Conforme a Figura II.28a, na barra do exemplo II.1 atuam 3 momentos: o momento AM de 
100KNm (reação de apoio), o momentos aplicado no meio da barra ( KNmM B 200 ) e o 
momento KNmMC 100 , aplicado na extremidade direita da barra5. A rotação do ponto A é 
nula, pois este ponto está engastado e, portanto, a reação de 100KNm não produz trabalho. A 
rotação em C também é nula, de forma CM também não realiza trabalho. Resta apenas a 
rotação do ponto B, radB 611155,0 . conforme a Figura II.29. 
 
 
Figura II.29 – Momento e rotação do ponto B 
 
O trabalho de BM pode então ser calculado pela expressão (II.31) como: 
 
 KJMW BBext 61.1155)(-0.611155(-200) 2
1 
2
1
.   
 
Note que o trabalho das forças externas é igual à energia de deformação. 
 
Exercícios II.2: Para as barras abaixo com seção tranversal circular, determine: 
- a tensão de cisalhamento máxima; 
- a rotação nos pontos onde os momentos externos são aplicados; 
- a energia de deformação ; 
- o trabalho das forças externas; 
 
 
 
Lista de exercícios 
Livro Resistência dos Materiais 
R.C. Hibbeler, 7ª edição 
Pearson 
 
Exemplos : 5.1 a 5.4 - pg 130 a 132 
 5.7 a 5.10 – pg 144 a 145 
 5.11 e 5.12 – pg 151 e 152 
 
 
Problemas: 5.1 a 5.31 – pg 134 a 137 
 5.45, 5.47, 5.48 – pg 146 
 5.50 a 5.52, - pg 147 
 5.58 a 5.72 – pg 148 a 150
 5.73 a 5.87 - pg 153 a 155 
 
II.4.2 – Barras maciças de seção não circular 
                                                            
5 O sinal negativo em BM indica que este momento tem sentido oposto ao do eixo. 
 Estácio de Sá ‐ Res Mat II – Rubens Mitri                                                                                                                                      25 
 
O modo de deformação de uma barra de seção não circular é bem diferente do observado em 
barras cilíndricas, como procura mostrar a Figura II.30, que representa uma barra prismática, 
de seção quadrada submetida a um momento torçor T. A Figura II.30b mostra que na 
configuração deformada os lados da seção transversal deixam de ser retos, formando 
ondulações na superfície externa da barra. A mudança da geometria observada agora é muito 
maior do que aquela que se observa numa barra de seção circular, tal como a barra cilíndrica 
da Figura II.20. A de seção quadrada não oferece uma simetria perfeita em relação ao seu 
eixo, como ocorre para a barra cilíndrica, e pouco devemos antecipar da distribuição de 
tensões e deformações, podendo-se apenas presumir que as tensões são nulas no eixo da peça. 
 
 a – configuração indeformada b – configuração deformada 
Figura II.30 - Barra prismática torcida 
A Figura II. 31 procura examinar mais cuidadosamente a distribuição de deformações e 
tensões ao longo da seção da barra. A Figura II. 31a mostra que a seção transversal deixa de 
ser plana, o que implica em uma distribuição complexa de deformações e tensões. As Figuras 
II.31b e II.31c procuram analisar as tensões de cisalhamento nos pontos situados no meio do 
lado e no vértice da seção quadrada. As faces externas da barra estão livres de tensão. Assim, 
como nos vértices da seção temos duas faces externas (livres de tensão) e, devido à 
reciprocidade das tensões de cisalhamentos (FiguraII.2), podemos afirmar que todas as 
tensões de cisalhamento são nulas ali, como indicado. Por outro lado, nos pontos situados no 
meio do lado, temos apenas uma face externa, permitindo que ocorra uma componente de 
tensão de cisalhante, que assume o valor máximo neste ponto, como indicam as figura. 
 
 (a) (b) (c) 
Figura II.31 - Tensões e deformações em barra de seção quadrada 
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A determinação analítica da intensidade a distribução de tensões em barras de seção não 
circular é demasiadamente complexa para os propósitos deste curso. Contudo, podemos 
avaliar o comportamento da barra de forma aproximada fornecida por fórmulas empíricas, 
obtidas a partir de teorias mais sofisticadas e/ou ensaios experimentais. Por exemplo, para 
seções retangulares, a tensão cisalhante máxima e a taxa de rotação da seção em torno do 
eixo da barra podem ser obtidas a partir das equações6 (II.32), onde b e h são os lados da 
seção, T é o momento torçor aplicado, G é o módulo de cisalhamento e  e são os 
coeficientes dados na Tabela II.1. A Figura II.32 auxilia a utilização da Tabela II.1, indicando 
os pontos de tensão máxima e representado linhas de isotensão. 
 
2max bh
T
  (a) ; 3 bhG
T
dx
d

  (b) 
 (II.32) 
Tabela II.1 – Coeficientes  e para seções retangulares7 
 
 
 
 (a) barra sujeita a torção (b) distribuição de tensões na seção transversal 
Figura II.32 - Distribuição de tensões em barra com seção retangular sujeitas a torção 
 
Fórmulas empíricas para determinar tensões e deformações de barras não circulares oferecen 
resultados bem diferentes dos que poderíamos intuir a partir do estudo de barras cilíndricas 
ou cônicas. Essas formulações estão disponíveis em literatura especializada, tais como livros 
de estruturas metálicas. Na Figura II.33 apresentamos algumas dessas expressões para seção 
quadrada, retangular (equilátero) e elíptica. Os pontos sobre o contorno das seções 
transversais indicam onde ocorrem as tensões máximas. 
 
 
3max
 81,4
a
T 
4 
 1,7
aG
T
dx
d  
3max
 02
a
T 
4 
 64
aG
T
dx
d  
 
33max
 2
ba
T
  
3 3
)22 (
baG
Tba
dx
d

  
Figura II.33 - Fórmulas para seções não circulares sob torção8 
                                                            
6 A fonte de onde retiramos a equação (II.18) é a mesma que fornece os coeficientes βα e e que está indicada na legenda da Tabela II.1 (ref. [2]). Essa equação 
está de acordo com o do livro texto (ref. [1]), que apresenta resultados para seções não circulares reproduzidos na Figura (II.22). Aqui apresentamos a taxa de 
rotação dxd / em torno do eixo, e não da rotação relativa entre seções )( , como faz o texto original. 
7 Fonte  referência [2] 
8 Figuras e expressões retiradas do livro texto (ref.[1]). Aqui apresentamos a taxa de rotação dxd / em vez da rotação relativa entre seções )( . Os pontos 
sobre o contorno das seções indicam onde ocorrem as tensões máximas. 
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II.4.3 – Tubos de paredes finas 
Considere um tubo de paredes finas tal como o representado na Figura II.34a. Se o tubo tem 
peredes finas, o raio interno e externo são semelhantes, não havendo grande variação de 
tensão ao longo da espessura. Nestas circunstâncias podemos adotar como simplificação que 
a tensão de cisalhamento é constante ao longo da espessura, como representa a Figura II.34b. 
Note que med é tensão npo meio da espessura. 
 
 A Figura II.34a mostra também um pequeno segmento de uma seção transversal que é 
mostrado em detalhe na Figura II.34c. A figura procura mostrar que a espessura deste 
segmento não é constante, assumindo o valor At junto à aresta A, e Bt junto à aresta B. A 
figura indica ainda que ao longo da espessura At a tensão de cisalhamento assume o valor A 
e, ao longo da espessura Bt a tensão é B . Devido à reciprocidade das tensões de 
cisalhamento, as tensões A e B também atuam nas faces ortogonais à seção tranbsversal 
como indicado. O segmento isolado na Figura II.34c está em equilíbrio e a soma das forças 
que atuam na direção do eixo do tubo deve ser nula, de forma que podemos escrever: 
 
 dx dx BBAA tt    BBAA tt   (II.33) 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura II.34 – Tubo de parede fina 
 
A equação (II.33) informa que o produto da tensão pela espessura é constante. Esta grandeza é representada 
pela letra q e denominada fluxo de cisalhamento, ou seja: 
 
 tq  (II.34) 
 
onde  é a tensão de cisalhamento em um ponto quanquer da seção e t é a espessura do tubo 
neste ponto. Se  for dada em 2/ cmKN e t em cm, então q será dado em KN/cm. 
 
Vamos agora avaliar o momento resistido pela tensão de cisalhamento atuando ao longo de 
um segmento ds da seção transversal, conforme a Figura II.35a, onde mR indica o raio médio 
do segmento ds e dF representa a a força resultante que atua no segmento. O momento 
causado por dF é dado por: 
 
 t dsmRdAmRdFmRdM   (II.35) 
 Estácio de Sá ‐ Res Mat II – Rubens Mitri                                                                                                                                      28 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura II.35 
 
O momento causado pelas tensões de cialhamento ao longo do tubo deve ser igual ao 
momento torçor aplicado, ou seja: 
 
   dsmRtt dsmRdMT  (II.36) 
Podemos notar que o produto dsmR contido na integral da equação (II.36) é o dobro da área 
do triângulo que na Figura II.35a está destacado em cinza escuro, de forma que a integral é o 
dobro da área mA compreendida pela linha tracejada da Figura II.35b. Assim escrevemos: 
 
 mAtT 2   
mAt 2
T  (II.37) 
O fluxo de cisalhamento pode ser calculado como: 
 
 
mA
q t 2
T   (II.38) 
 
Lista de exercícios 
Livro:Resistência dos Materiais 
R.C. Hibbeler, 7ª edição 
 
Exemplos : 5.13 a 5.17 
 
 
Problemas: 5.88 a 5.109 
 
Referências 
[1] Livro texto: Resistência dos Materiais, R.C. Hibbeler, 7ª edição, Pearson 
[2] Apostila TORÇÃO PURA em: 
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=torcao%2C%20sec%C3%A7%C3%A3o
%20quadrada&source=web&cd=1&ved=0CCQQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.uf
f.br%2Fpetmec%2Fdownloads%2Fresmat%2FD%2520-
%2520Torcao%2520Pura.pdf&ei=ZiA9UPTcGMTj0QHdxIHYCg&usg=AFQjCNHPbb
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