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Resistência dos Materiais II, Estácio de Sá Prof. Rubens Sydenstricker IV - Cisalhamento em vigas IV.1 – Distribuição das tensões de cisalhamento Considere a viga bi-poiada representada na Figura 1. A viga está submetida a carregamentos transversais genericamente representados pelas forças P1 e P2, que causam esforços tais como momentos e cortantes, de forma que a peça está submetida a flexão simples reta. A figura também mostra uma seção transversal ao longo da qual pretendemos estabelecer a distribuição de tensões de cisalhamento. Por simples conveniência de representação, estamos considerando uma seção retangular, mas o estudo é válido para uma seção qualquer. eix o eix o G G G x y z dxb h G P1 P2 Figura 1 – Viga sob ação de força externas A Figura 2a representa uma seção transversal em perspectiva e as tensões de cisalhamento atuantes a uma certa altura y da seção. Note que as tensões são mostradas atuando na face direita da seção e também na superfície horizontal abcd. Devido à reciprocidade das tensões de cisalhamento, essas duas componentes de cisalhamento têm a mesma intensidade. A figura indica ainda a área Asup, pertencente à face direita da seção e situada acima da linha bc. A Figura 2b mostra uma vista frontal da face direita da seção, indicando a área Asup e as tensões de cisalhamento a uma altura y. Essas tensões são supostas constantes ao longo da largura da peça, conforme argumentaremos ao longo do desenvolvimento a seguir. A Figura 2c apresenta uma vista lateral da seção, indicando momentos fletores e esforços cortantes atuando nas duas faces da seção, assim como componentes de cisalhamento verticais, atuando nas faces esquerda e direita, e a componente cisalhante horizontal, que atua na superfície abcd. Como sabemos, o equilíbrio entre momentos e cortantes estabelece que: dx dM Q = (IV.1) A equação (IV.1) informa que o esforço cortante só existe quando há uma variação de momentos fletores. No desenvolvimento que apresentamos a seguir, procuráramos estabelecer a expressão que fornece o valor da tensão de cisalhamento τ em função dos esforços atuantes. Por conveniência, o estudo será dirigido para a componente horizontal indicada nas Figuras 2a e 2c. y z x G dx b y a b c d τ τ h A sup. z y G b c y A sup. b τ τ h M+dMM x a b τ dx τ y τ Q Q+dQ (a) (b) (c) Figura 2 – Esforços e tensões de cisalhamento Resistência dos Materiais II, Estácio de Sá Prof. Rubens Sydenstricker A Figura 3a representa as tensões normais σ atuando nas faces de uma seção transversal, assim como componentes de cisalhamento. A figura separa dois blocos da seção, divididos pela superfície abcd representada na Figura 2a. Na Figura 3b procuramos representar as tensões que atuam no bloco superior da seção e, na Figura 3c, indicamos as forças resultantes dessas tensões. Considerando os momentos representados na Figura 2c, escrevemos as tensões normais que atuam à esquerda e à direita da seção como (vide equação (II.9)): I M yesq =σ ; I dMM ydir + =.σ (IV.2ab) Observe que nas equações (IV.2), o sinal negativo que consta na equação (II.9), foi suprimido, pois o sentido das tensões já estão indicados na Figura 3. y a b x esqσ dirσ τ dx τ τ y a b x esqσ dirσ τ dx y y a b x dx FdirFesq yT (a) (b) (c) Figura 3 – Tensões e forças equivalentes sobre o bloco superior As forças resultantes das tensões normais que atuam à esquerda e direita do bloco superior (Figura 3c) podem ser obtidas por: .sup .sup.sup.sup m I M dAy I M dA I M ydAF AAA esqesq ==== ∫∫∫ σ .sup .sup.sup.sup m I dMM dAy I dMM dA I dMM ydAF AAA dirdir + = + = + == ∫∫∫ σ (IV.3ab) onde supm é o momento estático da área supA em relação eixo principal de inércia horizontal, a partir de onde medimos a distância y (veja a equação (I.19)). A força T, que atua na base do bloco superior, como mostra a Figura 3c, é a resultante das tensões de cisalhamento que atuam na superfície abdc, representada na Figura 2a. Como essas tensões são supostas constantes ao longo da largura da seção, a força T pode ser obtida por: dxbAT abcd ττ == (IV.4) Ponderando que a resultante das forças horizontais que atuam no bloco superior é nula, podemos estabelecer que 0=−+ diresq FTF . Então, utilizando as equações (IV.3) e (IV.4), escrevemos: 0 .sup.sup = + −+ m I dMM dxbm I M τ => .sup 1 m dx dM Ib =τ (IV.5) Finalmente, substituindo a equação (IV.1) em (IV.5), escrevemos a distribuição das tensões de cisalhamento como: .sup 1 mQ Ib =τ (IV.6) onde Q é o esforço cortante, I é o momento principal de inércia em relação ao eixo z (da Figura 2b), msup é o momento estático em relação a z da área acima do ponto onde a tensão τ está sendo medida (Asup), e b é a largura da seção transversal na altura y, onde a tensão τ está sendo medida. Resistência dos Materiais II, Estácio de Sá Prof. Rubens Sydenstricker Resta-nos ainda justificar o motivo pelo qual consideramos as tensões de cisalhamento constantes ao longo da largura da seção. Como as tensões de cisalhamento foram obtidas a partir do desequilíbrio das tensões normais decorrentes de momentos fletores e, para flexão reta, as tensões normais são uniformes ao longo da largura, temos que τ também será constante na direção da largura. IV.2 – Fluxo de cisalhamento Imagine uma viga que seja composta por duas peças: uma inferior e outra superior, como mostra a Figura 4. Mais uma vez, por simples conveniência, estamos representando uma seção transversal retangular, mas o estudo é válido para uma seção qualquer. b Figura 4 – Viga compostas por duas peças Para que as duas peças funcionem em conjunto, haverá uma tensão de cisalhamento entre elas, como procura representar a Figura 5a. Note que as tensões indicadas constituem um par ação- reação, ou seja, as tensões indicadas na peça superior são impostas pela peça inferior, e as indicadas na peça inferior são produzidas pela peça superior. A tensão de cisalhamento é dada por unidade tal como 2/mKN . Em algumas circunstâncias, é conveniente dispor de uma grandeza dada em unidade tal como mKN / , tal com q, indicada na Figura 5b, e que é denominada fluxo de cisalhamento. Tendo-se a tensão de cisalhamento, o fluxo de cisalhamento por ser obtido como: τbq = . Considerando a equação (IV.6), escrevemos: .sup 1 mQ I q = (IV.7) b τ b q (a) (b) Figura 5 – Ação entre duas peças que constituem uma viga
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