Resistências dos Materiais - Flexão simples Pág. 92

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Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Julho - 2002 
 
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2 
ÍNDICE 
1.1 - INTRODUÇÃO....................................................................................................3 
1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS .................................................................................3 
1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............................................4 
1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............5 
1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k) ..............................................................6 
1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO ....................................................................6 
1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL ....................................................................................6 
1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO ......................................................6 
1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL...................................7 
1.9.1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................7 
1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL .............................................................8 
1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA .................................8 
1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR....................................9 
1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR.............................9 
1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR...................................11 
1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO ......................................12 
1.9.2.6 – VIGAS DE SÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS 
INDUSTRIAIS ...........................................................................................................14 
1.10 – CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA EM 
UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO .............................................................14 
1.10.1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................14 
1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P ..................................................15 
1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
QUADRADA .............................................................................................................15 
1.10.2.2 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
CIRCULAR ................................................................................................................16 
1.10.1.3 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
RETANGULAR .........................................................................................................16 
1.10.2.4 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
TUBULAR .................................................................................................................17 
1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
CAIXÃO.....................................................................................................................17 
1.10.2.6 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO 
PERFIL INDUSTRIAL ..............................................................................................18 
1.11 – TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS ..........................20 
1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS........................................................................29 
1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS ...........................39 
1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..........................................................................51 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................91 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................92 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS SUJEITAS A ESFORÇOS DE 
FLEXÃO 
 
1.1 -INTRODUÇÃO 
Neste capítulo é estudado o dimensionamento de estruturas sujeitas a esforço de 
flexão, considerando-se para tal estudo, diversos tipos de estruturas e seções transversais. 
 
1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS 
A) VIGAS ENGASTADAS: São vigas que possuem uma de suas extremidades 
livre e a outra fixa. 
 
 
 
Figura 1.1 – Exemplo de viga engastada. 
B) VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS: Possuem apoios em suas extremidades, 
sendo um dos apoios fixo e o outro móvel, para garantir a estaticidade da estrutura. 
 
 
 
Figura 1.2 – Exemplo de viga simplesmente apoiada. 
 
Equações da estática: 
3 Equações - å = 0VF , å 0HF e å = 0M . 
3 Incógnitas – RAV, RAH e RB . 
 
P 
B A 
P 
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C) VIGAS SIMPLES COM BALANÇO NAS EXTREMIDADES: São vigas 
simplesmente apoiadas, porém com suas extremidades deslocadas em relação aos apoios. 
 
 
 
Figura 1.3 – Exemplo de viga simples com balanços. 
 
1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
A) ESFORÇO CORTANTE: Carga que tende a provocar cisalhamento da 
estrutura e conseqüente flexão da mesma pois o comprimento da barra não é desprezado. O 
esforço cortante é representado neste curso por Q, e, pode ser, positivo ou negativo, 
dependendo da convenção de sinais adotada. 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 – Convenção de sinais para o esforço cortante. 
Quando a carga é aplicada de cima para baixo, o esforço cortante é negativo. 
Quando a carga é aplicada de baixo para cima, o esforço cortante é positivo. 
 
B) MOMENTO FLETOR: Pode ser definido como o momento resultante de todas 
as forças que são aplicadas na estrutura. Quando se trata de flexão, é possível conhecer o 
valor do momento fletor em cada ponto da estrutura. O momento fletor também pode ser 
positivo ou negativo. 
Q- 
B A 
Q+ Q- 
Q+ 
Viga Horizontal Viga Vertical 
P 
B A 
P P 
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Figura 1.5 – momento fletor positivo ou negativo. 
Quando as fibras inferiores da estrutura são comprimidas, o momento fletor é 
negativo. 
Quando as fibras inferiores da estrutura são tracionadas, o momento fletor é 
positivo. 
 
1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
Os diagramas de esforço cortante e momento fletor permitem ao projetista analisar 
qual é o ponto crítico da estrutura, ou seja, qual é a região que a viga pode se romper. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 – Exemplo de diagramas de esforço cortante e momento fletor. 
P 
L 
-P 
0 
0 
-P.L 
Ponto 
crítico 
Tração 
Compressão 
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1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k) 
Fator de correção com a finalidade de aumentar as dimensões da estrutura 
garantindo desse modo maior segurança ao projeto. 
 
1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO 
A equação matemática que dimensiona uma estrutura sujeita a esforço de flexão é 
dada por: 
x
Fmáx
w
M
=s . (1.1) 
 
1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL 
A tensão admissível é obtida dividindo-se a tensão de escoamento do material 
utilizado no projeto pelo coeficiente de segurança empregado, pode ser calculada do 
seguinte modo: 
k
ess = . (1.2) 
 
1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (wX) 
Representa em termos numéricos como determinado tipo de seção reage ao esforço, 
ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão. Para cada tipo de 
seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se calcular o valor de wx. 
 
 
 
 
 
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Tabela 1.1 – Módulo de resistência à flexão em relaçãoao eixo x. 
TIPO DA SEÇÃO TRANSVERSAL MÓDULO DE RESISTÊNCIA (WX) 
QUADRADA 
 
 
 
 
6
3l
wx = (1.3) 
RETANGULAR 
 
 
 
CIRCULAR 
 
 
 
TUBULAR 
 
 
 
BALCÃO OU CAIXÃO 
 
 
 
 
 
1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL 
1.9.1 – INTRODUÇÃO 
O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o 
dimensionamento da seção transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na 
construção de estruturas mecânicas. 
 
b 
b 
a 
a 
h 
b 
d 
l 
 
D 
d 
)4.1(
6
2bh
wX =
)5.1(
32
3d
wX
p
=
)7.1(
6
44
a
ba
wX
-
=
)6.1(
32
)( 44
D
dD
wX
-
=
p
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1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
Os principais tipos de seção transversal estudadas na presente seção são: quadrada, 
circular, retangular, tubular e caixão, também são estudados os perfis industriais tipo I, U, 
L (abas iguais) e L (abas desiguais). 
1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA 
A partir das Equações (1.1), (1.2) e (1.3), pode-se chegar a uma equação geral que 
fornece como resultado o valor numérico do comprimento l que representa a dimensão do 
lado da seção transversal quadrada. 
Substituindo-se a Equação (1.2) na Equação (1.1), tem-se que: 
wx
Mf
k
máxe =
s
. (1.8) 
A Equação (1.8) é utilizada para todos os tipos de seção transversal utilizadas na 
presente seção. 
Para vigas de seção quadrada, basta substituir a Equação (1.3) na Equação (1.8), 
chegando-se a: 
6
3l
Mf
k
máxe =
s
. (1.9) 
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.9) pode ser escrita do seguinte modo: 
3
6
l
Mf
k
máxe =
s
. (1.10) 
Resolvendo-se a Equação (1.10) com relação a l, chega-se a uma solução geral 
representada pela Equação (1.11), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção 
transversal quadrada. 
3
6
e
máxkMfl
s
= . (1.11) 
 
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1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR 
A partir das Equações (1.4) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que 
fornece como resultado o valor numérico do comprimento d que representa a dimensão do 
diâmetro da circunferência que forma a viga. 
Substituindo-se a Equação (1.4) na Equação (1.8),pode-se escrever que: 
32
3d
Mf
k
máxe
p
s
= . (1.12) 
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.12) pode ser escrita do seguinte modo: 
3
32
d
Mf
k
máxe
p
s
= . (1.13) 
Resolvendo-se a Equação (1.13) com relação a d, chega-se a uma solução geral 
representada pela Equação (1.14), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção 
transversal circular. 
3
32
e
máxkMfd
ps
= . (1.14) 
1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR 
A partir das Equações (1.5) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que 
fornece como resultado numérico os valores de b e h, que representam as dimensões de 
base e altura da viga de seção retangular. 
Substituindo-se a Equação (1.5) na Equação (1.8), pode-se escrever que: 
6
2bh
Mf
k
máxe =
s
. (1.15) 
Pode-se notar claramente na análise da Equação (1.15), que na solução de vigas de 
seção transversal retangular, existem duas incógnitas, b e h, portanto, é interessante 
assumir uma nova equação que forneça a relação entre b e h, fazendo desse modo com que 
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uma das incógnitas seja camuflada em meio a solução do problema. Assim, define-se a 
variável x como a relação entre h e b, como pode-se observar na Equação (1.16): 
b
h
x = . (1.16) 
Daí pode-se escrever que: 
xbh = . (1.17) 
Substituindo-se a Equação (1.17) na Equação (1.15), tem-se que: 
6
)( 2xbb
Mf
k
máxe =
s
. (1.18) 
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.18) pode ser escrita do seguinte modo: 
22
6
bbx
Mf
k
máxe =
s
. (1.19) 
Resolvendo-se a Equação (1.19) com relação a b, chega-se a uma solução geral 
representada pela Equação (1.20), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção 
transversal retangular. 
3
2
6
e
máx
x
kMf
b
s
= , (1.20) 
onde x representa a relação entre h e b fornecida no problema. 
Uma vez conhecido o valor de b, o valor numérico de h pode ser calculado a partir 
da Equação (1.17) como citado anteriormente. 
Portanto, as Equações (1.20) e (1.17) são utilizadas para o dimensionamento de 
vigas de seção transversal retangular. 
 
 
 
 
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1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR 
A partir das Equações (1.6) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que 
fornece como resultado numérico os valores de D e d, que representam as dimensões de 
diâmetro externo e diâmetro interno de uma viga de seção transversal tubular. 
Substituindo-se a Equação (1.6) na Equação (1.8), pode-se escrever que: 
D
dD
Mf
k
máxe
32
)( 44 -
=
p
s
. (1.21) 
Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas D 
e d, portanto, a variável y é definida como a relação entre d e D, como pode-se observar na 
Equação (1.22): 
D
d
y = . (1.22) 
Daí pode-se escrever que: 
yDd = . (1.23) 
Substituindo-se a Equação (1.23) na Equação (1.21), tem-se que: 
D
yDD
Mf
k
máxe
32
)( 4-
=
p
s
. (1.24) 
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.24) pode ser escrita do seguinte modo: 
444
32
DyD
DMf
k
máxe
pp
s
-
= . (1.25) 
Daí pode-se escrever que: 
)1(
32
44 yD
DMf
k
máxe
-
=
p
s
. (1.26) 
Assim: 
)1(
32
43 yD
Mf
k
máxe
-
=
p
s
. (1.27) 
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Resolvendo-se a Equação (1.27) com relação a D, chega-se a uma solução geral 
representada pela Equação (1.28), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção 
transversal tubular. 
3
4 )1(
32
y
kMf
D
e
máx
-
=
ps
, (1.28) 
onde y representa a relação entre d e D fornecida no problema. 
Uma vez conhecido o valor de D, o valor numérico de d pode ser calculado a partir 
da Equação (1.23) como citado anteriormente. 
Portanto, as Equações (1.28) e (1.23) são utilizadas para o dimensionamento de 
vigas de seção transversal tubular. 
 
1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO 
A partir das Equações (1.7) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que 
fornece como resultado numérico os valores de a e b, que representam as dimensões de 
diâmetro dos lados, externo e interno, de uma viga de seção transversal caixão. 
Substituindo-se a Equação (1.7) na Equação (1.8), pode-se escreverque: 
a
ba
Mf
k
máxe
6
44 -
=
s
. (1.29) 
Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas a 
e b, portanto, a variável z é definida como a relação entre b e a, como pode-se observar na 
Equação (1.30): 
a
b
z = . (1.30) 
Daí pode-se escrever que: 
zab = . (1.31) 
 
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Substituindo-se a Equação (1.31) na Equação (1.29), tem-se que: 
a
zaa
Mf
k
máxe
6
)( 44 -
=
s
. (1.32) 
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.32) pode ser escrita do seguinte modo: 
44 )(
6
zaa
aMf
k
máxe
-
=
s
. (1.33) 
Daí pode-se escrever que: 
)1(
6
44 za
aMf
k
máxe
-
=
s
. (1.34) 
Assim: 
)1(
6
43 za
aMf
k
máxe
-
=
s
. (1.35) 
Resolvendo-se a Equação (1.35) com relação a a, chega-se a uma solução geral 
representada pela Equação (1.36), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção 
transversal caixão. 
3
4 )1(
6
z
kMf
a
e
máx
-
=
s
, (1.36) 
onde z representa a relação entre b e a fornecida no problema. 
Uma vez conhecido o valor de a, o valor numérico de b pode ser calculado a partir 
da Equação (1.31) como citado anteriormente. 
Portanto, as Equações (1.36) e (1.31) são utilizadas para o dimensionamento de 
vigas de seção transversal caixão. 
 
 
 
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1.9.2.6 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS 
INDUSTRIAIS 
Ao contrário do se possa parecer, a solução de problemas de dimensionamento de 
vigas com seção transversal formada por perfis industriais é mais simples que a solução 
apresentada para os casos anteriores. 
A partir da Equação (1.8), pode-se determinar o valor do módulo de resistência em 
relação ao eixo x (wx), resultando em: 
e
máx
x
kMf
w
s
= . (1.37) 
A Equação (1.37) pode ser utilizada sempre que se necessitar selecionar um perfil 
industrial. 
Para perfis dos tipos I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais), uma vez calculado o 
valor de (wx) através da Equação (1.37), o perfil pode ser selecionado na tabela 
correspondente ao perfil desejado. Vale ressaltar que se não for utilizado fator de 
segurança, ou seja, valor de k igual a 1 (k=1), a seleção do perfil deve ser realizada 
considerando-se um valor maior que o (wx) que foi calculado, ou seja, na tabela seleciona-
se o valor de (wx) imediatamente superior ao calculado, uma vez que o mesmo representa a 
condição limite para o dimensionamento da estrutura. 
 
1.10– CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA 
EM UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO 
1.10.1 – INTRODUÇÃO 
O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o 
cálculo da máxima carga P que pode ser aplicada em uma estrutura sujeita à flexão, 
constituída por uma seção transversal equivalente às estudadas na seção anterior. 
 
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1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P 
A seguir são apresentadas as equações gerais para o cálculo do máximo valor de P 
para alguns tipos de seção transversal já estudadas. 
 
1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
QUADRADA 
A partir da Equação (1.10), isola-se a variável Mfmáx, resultando em: 
k
l
Mf emáx 6
3s
= . (1.38) 
Como se desconhece o valor de P, não é possível se conhecer o valor numérico de 
Mfmáx, portanto, é conveniente que para o valor de Mfmáx seja adotada a relação apresentada 
na Equação (1.39): 
PnMf máx= , (1.39) 
onde n é o valor numérico obtido no diagrama de momento fletor para a estrutura. 
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.38), tem-se: 
k
l
Pn e
6
3s
= . (1.40) 
Resolvendo-se a Equação (1.40) com relação a P, chega-se a uma Equação geral 
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir 
seção transversal quadrada. 
kn
l
P e
6
3s
= . (1.41) 
Portanto, a Equação (1.41) é geral para vigas de seção transversal quadrada. 
 
 
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1.10.2.2 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
CIRCULAR 
A partir da Equação (1.13), isola-se a variável Mfmáx, resultando em: 
k
d
Mf emáx 32
3ps
= . (1.42) 
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.42), tem-se: 
k
d
Pn e
32
3ps
= . (1.43) 
Resolvendo-se a Equação (1.43) com relação a P, chega-se a uma Equação geral 
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir 
seção transversal circular. 
kn
d
P e
32
3ps
= . (1.44) 
Portanto, a Equação (1.44) é geral para vigas de seção transversal circular. 
 
1.10.2.3 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
RETANGULAR 
A partir da Equação (1.15), isola-se a variável Mfmáx, resultando em: 
k
hb
Mf emáx 6
2s
= . (1.45) 
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.45), tem-se: 
k
hb
Pn e
6
2s
= . (1.46) 
Resolvendo-se a Equação (1.46) com relação a P, chega-se a uma Equação geral 
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir 
seção transversal retangular. 
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kn
hb
P e
6
2s
= . (1.47) 
Portanto, a Equação (1.47) é geral para vigas de seção transversal retangular. 
1.10.2.4 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
TUBULAR 
A partir da Equação (1.21), isola-se a variável Mfmáx, resultando em: 
Dk
dD
Mf emáx 32
)( 44 -
=
ps
. (1.48) 
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.48), tem-se: 
Dk
dD
Pn e
32
)( 44 -
=
ps
. (1.49) 
Resolvendo-se a Equação (1.49) com relação a P, chega-se a uma Equação geral 
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir 
seção transversal tubular. 
Dkn
dD
P e
32
)( 44 -
=
ps
. (1.50) 
Portanto, a Equação (1.50) é geral para vigas de seção transversal tubular. 
 
1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
CAIXÃO 
A partir da Equação (1.29), isola-se a variável Mfmáx, resultando em: 
ka
ba
Mf emáx 6
)( 44 -
=
s
. (1.51) 
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.51), tem-se: 
ka
ba
Pn e
6
)( 44 -
=
s
. (1.52) 
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Resolvendo-se a Equação (1.52) com relação a P, chega-se a uma Equação geral 
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir 
seção transversal caixão. 
nka
ba
Pe
6
)( 44 -
=
s
. (1.53) 
Portanto, a Equação (1.53) é geral para vigas de seção transversal caixão. 
 
1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO 
PERFIL INDUSTRIAL 
A partir da Equação (1.37), isola-se a variável Mfmáx, resultando em: 
k
W
Mf Xemáx
s
= . (1.54) 
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.54), tem-se: 
k
W
Pn Xe
s
= . (1.55) 
Resolvendo-se a Equação (1.55) com relação a P, chega-se a uma Equação geral 
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir 
seção transversal tipo perfil industrial. 
nk
w
P xe
s
= . (1.56) 
Portanto, a Equação (1.56) é utilizada para a determinação do valor de P em vigas 
com seção de perfil industrial, lembrando-se que o valor de (wx) é obtido em tabelas, de 
acordo com o perfil utilizado. 
 
 
 
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Tabela 1.2 – Formulário para dimensionamento à flexão. 
SEÇÃO DIMENSIONAMENTO CÁLCULO DE P 
QUADRADA 
3
6
e
máxkMfl
s
= 
kn
l
P e
6
3s
= 
CIRCULAR 
3
32
e
máxkMfd
ps
= 
kn
d
P e
32
3ps
= 
RETANGULAR 
3
2
6
e
máx
x
kMf
b
s
= 
xbh = 
kn
hb
P e
6
2s
= 
TUBULAR 
3
4 )1(
32
y
kMf
D
e
máx
-
=
ps
 
yDd = 
Dkn
dD
P e
32
)( 44 -
=
ps
 
CAIXÃO 
3
4 )1(
6
z
kMf
a
e
máx
-
=
s
 
zab = 
nka
ba
P e
6
)( 44 -
=
s
 
PERFIL INDUSTRIAL 
e
máx
x
kMf
w
s
= 
nk
w
P xe
s
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
20 
1.11 - TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS 
 
Tabela 1.3 – Perfis H – Padrão Americano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
21 
Tabela 1.4 – Perfis I – Padrão Americano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
22 
Tabela 1.5 – Perfis I – Padrão Americano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
23 
Tabela 1.6 – Perfis U Padrão Americano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
24 
Tabela 1.7 – Perfis U Padrão Americano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
25 
Tabela 1.8 – Perfis L (Abas Iguais) - Padrão Americano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
26 
Tabela 1.9 – Perfis L (Abas Desiguais) - Padrão Americano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
27 
Tabela 1.10 – Perfis L (Abas Desiguais). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
28 
Tabela 1.11 – Propriedades dos Materiais. 
TENSÕES 
Material Tensão de Escoamento [MPa] Tensão de Ruptura 
[MPa] 
Aço Carbono 
ABNT 1010 – L 220 320 
ABNT 1010 – T 380 420 
ABNT 1020 – L 280 360 
ABNT 1020 – T 480 500 
ABNT 1030 –L 300 480 
ABNT 1030 – T 500 550 
ABNT 1040 – L 360 600 
ABNT 1040 – T 600 700 
ABNT 1050 – L 400 650 
ABNT 1050 – T 700 750 
Aço Liga 
ABNT 4140 – L 650 780 
ABNT 4140 – T 700 1000 
ABNT 8620 - L 440 700 
ABNT 8620 – T 700 780 
Materiais não Ferrosos 
Alumínio 30-120 70-230 
Duralumínio 14 100-420 200-500 
Cobre Telúrio 60-320 230-350 
Bronze de Níquel 120-650 300-750 
Magnésio 140-200 210-300 
Titânio 520 60 
Zinco - 290 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
29 
3
220
=
=
k
MPaes
1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, 
considerando que a mesma possui seção transversal quadrada. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4m 
3kN 
l 
l 
Mf 
Q 
-3 kN 
-12 kNm 
mm,l
m,l
:totanPor
l
:Assim
kMf
l
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
3999
099390
10220
3120006
6
1200012
10220220
3
6
3
26
=
=
×
××
=
=
-
==
×==
s
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
30 
2
360
=
=
k
MPaes
mm,d
m,d
:totanPor
d
:Assim
kMf
d
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
0478
078040
10360
2840032
32
840048
10360360
3
6
3
26
=
=
×
××
=
×
=
-
==
×==
sp
s
2) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, 
considerando que a mesma possui seção transversal circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
7kN 
d 
Mf 
Q 
4kN 
0,7m 0,4m 
5kN 6kN 
-7,4 kNm 
-8,4 kNm 
-6,8 kNm 
-2 kN 
-7 kN 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
31 
3) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, 
considerando que a mesma possui seção transversal retangular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5m 1m 
4kN 3kN 
0,5m 
b 
h 
Q 
-3,75kN 
0,25kN 
3,25kN 
Mf 
1,875 kN.m 1,625 kN.m 
mm,h
,h
bxh
:pordadoéhdevalorO
mm,b
m,b
:totanPor
d
:Assim
x
kMf
b
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
2655
42183
4218
018420
103603
318756
6
18758751
10360360
3
62
3
2
26
=
×=
×=
=
=
××
××
=
×
=
-
==
×==
s
s
3
3
360
==
=
=
b
h
x
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
32 
80
3
360
,
D
d
y
k
MPae
==
=
=s
4) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, 
considerando que a mesma possui seção transversal tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2m 
15kN/m 
Q 
-15kN 
15kN 
Mf 
mm,D
,,D
dyD
:pordadoéDdevalorO
mm,d
m,d
:totanPor
),(
d
:Assim
)y(
kMf
d
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
0382
5410280
54102
102540
80110360
37500321
32
750057
10360360
3
46
3
4
26
=
×=
×=
=
=
-×××
××
=
-××
=
-
==
×==
p
sp
s
D 
d 
,5kN.m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
33 
5) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão, 
considerando que a mesma possui seção transversal caixão. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
b 
a 
a 1m 
7kN 
Q 
-9,6kN 
6,4kN 
Mf 
5kN/m 5kN/m 
1m 1m 1m 
5kNm 
2,4kN 
-4,6kN 
11,7kNm 
mm,b
,,b
azb
:pordadoébdevalorO
mm,a
m,a
:totanPor
),(
a
:Assim
)z(
kMf
a
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
8555
089360
0893
093080
60110300
3117006
1
6
11700711
10300300
3
46
3
4
26
=
×=
×=
=
=
-××
××
=
-×
=
-
==
×==
s
s
60
3
300
,
a
b
z
k
MPae
==
=
=s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
34 
mmx,I
:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfk
w
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máx
x
máx
e
716101
958
8655
000055860
10180
100561
1005605610
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
×
×
=
×
=
-
==
×==
s
s
6) Selecionar o perfil industrial tipo I adequado para atuar com segurança na 
estrutura representada a seguir. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPae 180=s
1,2m 0,9m 0,8m 
3kNm 
7kN 
7kN 
Mf 
Q 
-8,38kN 
1,62kN 
7kN 
-10,056kNm 
-8,598kNm 
-3kNm 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
35 
7) Selecionar o perfil industrial tipo U adequado para atuar com segurança na 
estrutura representada a seguir. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPae 180=s
mm,xU
:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfk
w
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máx
x
máx
e
848152
771
443
00004340
10180
78251
782581257
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
×
×
=
×
=
-
==
×==
s
s
0,75m 1,25m 
5kNm 
10kN 
3,75kN 
-6,25kN 
Mf 
Q 
2,8125kNm 
8,8125kNm 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
36 
8) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas iguais adequado para atuar com 
segurança na estrutura representada a seguir. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPae 180=s
Q 
Mf 
7kN 
2,5kNm 
1m 0,5m 0,5m 
4kN 8kN 
3,5kNm 
-1kN 
-5kN 
mm,x,L
:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfk
w
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máx
x
máx
e
61016101
958
4419
000019440
10180
35001
350053
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
×
×
=
×
=
-
==
×==
s
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
37 
9) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas desiguais adequado para atuar com 
segurança na estrutura representada a seguir. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPae 180=s
Q 
Mf 
0,5m 
-3kNm 
23kN 
15kNm 
-8kN 
-3kN 
13kN 
1m 
7kNm 
8kN 
3kN 10kN 
0,5m 1m 
8,5kNm 
desiguaisabasmm,x,L
:oselecionadPerfil
cmw
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfk
w
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máx
x
máx
e
61014152
102
3383
000083330
10180
150001
1500015
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
×
×
=
×
=
-
==
×==
s
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
38 
10) Para a estrutura representada a seguir, determine qual é o máximo valor de P 
que pode ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3P 
1,5m 1,5m 
Q 
Mf 
1,5P 
-1,5P 
2,25P 
mmd
mmD
tubularSeção
,k
MPae
85
100
61
280
=
=
=
=s
N,P
:totanPor
,,,
),,(
P
:Assim
knD
)dD(
P
:queescreversepodeDaí
P,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
e
973649
612521032
08501010280
32
252
10280280
446
44
26
=
×××
-×××
=
×××
-××
=
-
=
×==
p
ps
s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
39 
mm,x,I
:oselecionadPerfil
cm,w
:Assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
,segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfk
w
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máx
x
máx
e
6676101
449
1136
000036110
10180
65001
650056
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
×
×
=
×
=
-
==
×==
s
s
1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS 
11) Para a estrutura representada abaixo, dimensionar a viga superior quanto a 
flexão, sabendo-se que a mesma possui perfil industrial I com tensão de escoamento igual 
a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,3m 
1,3m 
10KN 
MPae 180=s
10kN 
Mf 
Q 
5kN 
-5kN 
6,5kNm 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
40 
12) Dimensionar a viga da empilhadeira para que suporte com segurança o 
carregamento representado na figura. 
Dados: Material Aço Liga ABNT 4140-L; MPae 650=s ; k = 1,5; h = 0,2916b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25KN 
Q 
Mf 
9,375KN.m 
12,5KN 
8,33KN/m 
Diagramas 
Seção retangular 
h 
b 
1,5m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
41 
mm,h
,,h
bxh
:pordadoéhdevalorO
mm,b
m,b
:totanPor
,
,
b
:Assim
x
kMf
b
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
5633
111529160
1115
11510
1065029160
5193756
6
93753759
10650650
3
62
3 2
26
=
×=
×=
=
=
××
××
=
×
=
-
==
×==
s
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
42 
13) Para a estrutura representada a seguir, dimensionar a viga superior quanto à 
flexão, sabendo-se que a mesma possui seção transversalcaixão. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mm,b
,,b
azb
:pordadoébdevalorO
mm,a
m,a
:totanPor
),(
,
a
:Assim
)z(
kMf
a
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
8187
4412570
44125
125440
10300701
52300006
1
6
3000030
10300300
3
64
3
4
26
=
×=
×=
=
=
××-
××
=
×-
=
-
==
×==
s
s
1,5m 2m 
15kN 
Cilindro hidráulico 
-30kNm 
15kN 
1,5m 2m 
15kN 
-20kN 
Mf 
Q 
70
52
300
,
a
b
z
,k
MPae
==
=
=s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
43 
14) O robô industrial mostrado na figura é mantido na posição estacionária 
indicada, considerando que ele seja rotulado em A e conectado a um cilindro hidráulico 
BD, dimensione a viga ABC admitindo que o braço e a garra tenham um peso uniforme 
de 0,3 kN/m e suportam uma carga de 3 kN em C. Considerar seção tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mm,d
,,d
Dyd
:pordadoéddevalorO
mm,D
m,D
:totanPor
),(
D
:Assim
)y(
kMf
D
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
390
811280
8112
11280
10120801
2500032
1
32
50005
10120120
3
64
3
4
26
=
×=
×=
=
=
××-×
××
=
×-×
=
-
==
×==
p
sp
s
80
2
120
,
D
d
y
k
MPae
==
=
=s
1,25m 0,25m 
0,1m 
4kN 0,48kN 
0,8m 0,25m 0,1m 0,45m 
-3kNm 
-5kNm 
-20,86kN 
4,48kN 
4kN 
Mf 
Q 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
44 
15) A ferramenta representada a seguir é utilizada para a fixação de elementos 
de cabeça sextavada. Dimensionar a haste da ferramenta considerando que a mesma 
possui seção transversal circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mm,d
m,d
:totanPor
d
:Assim
kMf
d
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
2720
020270
10220
29032
32
90090
10220220
3
6
3
26
=
=
××
××
=
×
=
-
==
×==
p
sp
s
2
220
=
=
k
MPaes
0,3m 
0,3kN 
0,3m 
0,3kN 
Mf 
Q 
-0,09kN 
-0,3kN 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
45 
16) A viga mostrada na figura é utilizada na linha de produção de uma fábrica 
para elevação de carga da esteira inferior para a esteira superior. Selecionar o perfil tipo 
I adequado para operar com segurança no sistema representado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPae 180=s
mmx,I
:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
,segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfk
w
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máx
x
máx
e
716101
958
4154
000054410
10180
99751
99759759
10180180
3
3
3
6
26
-
=
-
-
=
=
×
×
=
×
=
-
==
×==
s
s
1,5m 2 m 3,5m 
4kN 4kN 
3,5m 2 m 1,5m 
4kN 4kN 
2,85kN 
-1,15kN 
-5,15kN 
Q 
9,975kNm 
7,675kNm 
Mf 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
46 
17) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão, 
considerando que o mesmo possui seção circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mm,d
m,d
:totanPor
d
:Assim
kMf
d
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
8575
075850
10280
2600032
32
60006
10280280
3
6
3
26
=
=
××
××
=
×
=
-
==
×==
p
sp
s
2
280
=
=
k
MPaes
0,8m 0,25 m 
24kN 
24kN 
0,25 m 0,8m 
d 
Q 
Mf 
6kNm 
7,5kN 
-24kN 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
47 
18) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão, 
considerando que o mesmo possui seção tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mm,d
,,d
Dyd
:pordadoéddevalorO
mm,D
m,D
:totanPor
),(
,
D
:Assim
)y(
kMf
D
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
1221
1628750
1628
028160
103007501
5130032
1
32
30030
10300300
3
64
3
4
26
=
×=
×=
=
=
××-×
××
=
×-×
=
-
==
×==
p
sp
s
0,35m 0,35m 0,2m 0,6 m 
0,35kN 0,5kN 0,15kN 
0,3674kN 
0,0174kN 
-0,4826kN 
0,15kN 
0,13903kNm 
-0,3kNm 
Mf 
Q 
D 
d 0,35m 0,35m 0,6 m 0,2m 
0,35kN 0,5kN 0,15kN 
0,1286kNm 
750
51
300
,
D
d
y
,k
MPae
==
=
=s
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
48 
19) O mecanismo representado a seguir é acionado hidraulicamente e utilizado 
para elevação de cargas em uma industria. Dimensionar a viga ABCD considerando que 
a mesma possui seção transversal quadrada. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52
360
,k
MPae
=
=s
mm,l
m,l
:totanPor
,
l
:Assim
kMf
l
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
7442
042740
10360
5218756
6
18758751
10360360
3
6
3
26
=
=
×
××
=
=
-
==
×==
s
s
Vista superior 
Cilindro hidráulico 
30kN 
5kN/m 
2m 0,5m 0,5m 
-0,625kNm 
1,875kNm 
-2,5kN 
2,5kN 
-5kN 
5kN 
Q 
Mf 
-0,625kNm 
A 
B C 
D 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
49 
20) O eixo mostrado na figura a seguir é apoiado em mancais radiais lisos nos 
pontos A e B. Devido à transmissão de potência para o eixo, as correias das polias estão 
sujeitas às tensões indicadas. Determinar o diâmetro do eixo. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52
220
,k
MPae
=
=s
0,95kN 
Mf 
0,15m 
Q 
0,475kN 
-0,475kN 
0,075kNm 
-0,5kN 
0,15kN 
0,25m 0,25m 0,5m 0,15m 
0,5kN 
Q 
Mf 
0,11875kNm 
0,55kN 0,4kN 
0,2kN 
0,3kN 
Plano vertical 
Plano horizontal 
A 
B 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
50 
mm,d
m,d
:totanPor
,,
d
:Assim
kMf
d
:queescreversepodeDaí
Nm,Mf
,Mf
:MftetanresulfletorMomento
m/NMPa
:Solução
e
máx
R
R
R
e
3325
025330
10220
524514032
32
145140
7575118
10220220
3
6
3
22
26
=
=
××
××
=
×
=
-
=
+=
×==
p
sp
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
51 
 
1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal quadrada. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5KN 
1m 
Mf 
Q 
-5KNm 
-5KN 
l 
l 
,
2
280
=
=
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
52 
2) Dimensionar a estrutura abaixoconsiderando que a mesma possui seção 
transversal quadrada. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 1m 
2KN 4KN 
Q 
-4KN 
-6KN 
-6KNm 
-10KNm 
l 
l 
3
300
=
=
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
53 
3) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal quadrada. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mf 
Q 
l 
2m 
3KN 
-3kN 
-6kNm 
l 
3
360
=
=
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
54 
 
4) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal quadrada. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8KN 
5KN 
1m 1m 
l 
-2KNm 
-5KNm 
-5KN 
3KN 
Mf 
Q 
l 
2
220
=
=
k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
55 
5) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
2
130
=
=
k
MPaes
1m 
10kN/m 
Q 
Mf 
-7,5kN 
10,31kNm 
7,5kN 
1m 
1,5m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
56 
 
6) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
12kN 
51
10
,k
MPae
=
=s
10kN 
4,66kN 
-7,34kN 
2,66kN 
-2,66kNm 
4,66kNm 
Q 
Mf 
1m 1m 1m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
57 
7) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
1m 
15kN 
2,8kNm 
Mf 
Q 
3
650
=
=
k
MPaes
12,2kNm 
-15kNm 
10kN 20kN 
-15kN 
17,8kN 
7,8kN 
-12,2kN 
1m 1m 1,2m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
58 
8) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d 
1m 
2kN 
Mf 
Q 
2
50
=
=
k
MPaes
4kN 2kN 
2kN 2kN 
-2kN -2kN 
-2kNm -2kNm 
1m 1m 1m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
59 
9) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal retangular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
b 
0,5m 
-2kN 
Mf 
Q 
81
2
360
,
b
h
x
k
MPae
==
=
=s
3kNm 
6kN 
8kN 
1,5m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
60 
10) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal retangular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
b 
2,5m 
8,75kN 
5,46kNm 
Mf 
Q 
2
31
130
==
=
=
b
h
x
,k
MPaes
-8,75kN 
7kN/m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
61 
11) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal retangular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
b 
1m 
20kN/m 
-7,5kNm 
Mf 
Q 
2,635kNm 
15kN 
-9,73kN 
10,27kN 
15kN 
0,8m 0,5m 
3
52
40
==
=
=
b
h
x
,k
MPaes
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
62 
12) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal retangular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
b 
1m 
15kNm 
-7,5kNm 
Mf 
Q 
42
2
220
,
b
h
x
k
MPae
==
=
=s
-4kNm 
8kN/m 
-8kN 
-1,75kN 
15kN 
1m 2m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
63 
13) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
d 
1m 
5kN 
4,5kNm 
Mf 
Q 
50
22
50
,
D
d
y
,k
MPae
==
=
=s
0,5kNm 
4kNm 
0,5kN 
-4,5kN 
1m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
64 
14) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
d 
1m 
6,428kN 
2kNm 
Mf 
Q 
550
3
130
,
D
d
y
k
MPae
==
=
=s
3kNm 
6,57kNm 
6,428kNm 
-6,57kN 
-0,572kN 
7kN 6kN 
1m 1,5m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
65 
15) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
d 
1m 
7kN 
3kNm 
Mf 
Q 
70
52
80
,
D
d
y
,k
MPae
==
=
=s
4,25kNm 
-1,5kNm 
1,25kN 
-5,75kN 
3kN 
3kN/m 
1m 
1m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
66 
16) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
d 
1m 
-4kNm 
Mf 
Q 
80
31
360
,
D
d
y
,k
MPae
==
=
=s
4kN/m 
10kN 10kN 
10kN 
-10kN 
4kN/m 
-14kNm 
1m 2m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
67 
17) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal caixão. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
b 
a 
a 
2m 
20kN 
20kNm 
Mf 
Q 
70
51
360
,
a
b
z
,k
MPae
==
=
=s
10kN 
-10kN 
2m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
68 
18) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal caixão. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
b 
a 
a 
1m 
-7kN 
-3,5kNm 
Mf 
Q 
80
2
450
,
a
b
z
k
MPae
==
=
=s
7kN/m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
69 
19) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal caixão. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
b 
a 
a 
2m 
8kN/m 
4kNm 
Mf 
Q 
70
52
360
,
a
b
z
,k
MPae
==
=
=s
8kN 
-8kN 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
70 
20) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção 
transversal caixão. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
b 
a 
a 
1m 
2kNmMf 
Q 
50
53
280
,
a
b
z
,k
MPae
==
=
=s
4,5kNm 
6,5kNm 
-2kNm -2kNm 
15kN 4kN/m 
-4kN 
-6,5kN 
8,5kN 
4kN 
4kN/m 
1m 1m 1m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
71 
21) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil I adequado para que a 
estrutura suporte o carregamento com segurança. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
4kN/m 
5,625kNm 
Mf 
Q 
MPae 180=s
5kN/m 
-5kN 
1kN 
1,5m 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
72 
22) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil U adequado para que a 
estrutura suporte o carregamento com segurança. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
8kN 
-7kNm 
Mf 
Q 
MPae 180=s
7kN 
1kN 
-7kN 
1m 
-6kNm 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
73 
23) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas iguais adequado 
para que a estrutura suporte o carregamento com segurança. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
3kN 
4kNm 
Mf 
Q 
MPae 180=s
7kN 4kN 
-4kN 
-0,25kN 
-7,25kN 
3kN 
1m 0,4m 0,4m 
-4,1kNm 
-3kNm 
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Flexão Simples 
74 
24) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas desiguais 
adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurança. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,8m 
8kN 
5kNm 
Mf 
Q 
MPae 180=s
-5kNm 
-11,4kNm 
0,12kNm 
7kN/m 
-8kN 
12,7kN 
-1,3kN 
2m 
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Flexão Simples 
75 
25) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
4P 
Mf 
Q 
mml
quadradaSeção
k
MPae
85
2
280
=
=
=s
3P 
-1,8P 
-0,8P 
2,2P 
1,8P 
-0,4P 
1m 0,5m 
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Flexão Simples 
76 
26) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
Mf 
Q 
mmd
circularSeção
k
MPae
70
2
300
=
=
=s
-P 
-P 
P 
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77 
27) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
Mf 
Q 
mmh
mmb
gulartanreSeção
,k
MPae
120
90
52
360
=
=
=
=s
-3P 
-4P 
-P 
-P 
P 2P 
1m 
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Flexão Simples 
78 
28) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
3P 
Mf 
Q 
mmd
mmD
tubularSeção
,k
MPae
65
80
51
280
=
=
=
=s
3P 
-3P 
3P 3P 
1m 3m 
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Flexão Simples 
79 
29) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
P 
Mf 
Q 
mmb
mma
caixãoSeção
k
MPae
60
80
3
450
=
=
=
=s
2P 3P 
6P 
P 
3P 
1,5P 
4,5P 
10,5P 
1m 1,5m 
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Flexão Simples 
80 
30) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
2P 
Mf 
Q 
3452
2
180
cm,w
ItipoPerfil
k
MPa
x
e
=
=
=s
2P 
2P 
-2P 
2P 
1m 1m 
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Flexão Simples 
81 
31) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,7m 
1,3P 
Mf 
Q 
3982
51
180
cm,w
UtipoPerfil
,k
MPa
x
e
=
=
=s
2,1P 
3P 
-2P 
-P 
P 
3P 
0,8m 0,6m 
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Flexão Simples 
82 
32) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode 
ser aplicado. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3P 
Mf 
Q 
338
2
180
cmw
desiguaisabasLtipoPerfil
k
MPa
x
e
=
=
=s
1m 1m 0,5m 
4P 
2,2P 
-0,8P 
-1,8P 
1,8P 
-0,4P 
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Flexão Simples 
83 
33) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui 
seção transversal retangular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,5m 
3kN 
4,5kNm 
Mf 
Q 
2
300
=
=
k
MPaes
?materialmenosconsomeQual)C
,
b
h
x)B
b
h
x)A
:Calcular
50
2
==
==
-3kN 
6kN 
1,5m 
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Flexão Simples 
84 
MPae 180=s
34) A viga mostra na figura é utilizada no pátio de uma estrada de ferro para 
carregar e descarregar vagões. Se a carga máxima de elevação é P=15kN, selecione o perfil 
I para suportar com segurança esta carga. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5m 
-7,5kN 
37,5kNm 
Mf 
Q 
7,5kN 
15kN 
5m 
15kN 
10m 
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Flexão Simples 
85 
35) A viga de aço mostrada na figura tem uma tensão de flexão admissível 
MPaadm 140=s . Determine a carga máxima que a viga pode suportar com segurança. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2m 
P 
Mf 
Q 
mma
quadradaSeção
60=
-2P 
P 
-P 
2m 
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Flexão Simples 
86 
36) Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças 
concentradas mostradas na figura. Os mancais A e B suportam apenas forças verticais, e a 
tensão de escoamento é MPae 280=s , com k=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1m 
0,5kN 
0,0033kNm 
Mf 
Q 
-0,05kNm 
0,3kN 
0,033kN 
-0,267kN 
0,5kN 
0,2m 0,1m 
0,5kN 
0,3kN 
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda 
Flexão Simples 
87 
37) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui 
seção transversal tubular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
-5kN 
7kNm 
Mf 
Q 
80
52
300
,
D
d
y
,k
MPae
==
=
=s
7kN 
7kN 
12kN 
-0,5kNm 
1,5m 
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Flexão Simples 
88 
38) Dimensionar a viga representada a seguir, considerandoque a mesma possui 
seção transversal circular. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2m 
12kN 
-12kNm 
Mf 
Q 
751
360
,k
MPae
=
=s
6kN 
-6kN 
2m 
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Flexão Simples 
89 
39) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui 
seção transversal caixão. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
8kN 
-8kNm 
Mf 
Q 
650
2
280
,
a
b
z
k
MPae
==
=
=s
8kN 
8kN 
-8kN 
1m 3m 
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Flexão Simples 
90 
40) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui 
seção transversal quadrada. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1m 
10kN 
-7kNm 
Mf 
Q 
3
450
=
=
k
MPaes
-41kNm 
7kN 
-17kN 
-7kN 
2m 
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91 
Respostas dos Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) l = 59,84mm 
2) l = 84,34mm 
3) l = 66,94mm 
4) l = 64,84mm 
5) d = 117,36mm 
6) d = 192,47mm 
7) d = 89,02mm 
8) d = 93,41mm 
9) b = 31,36mm, h = 56,46mm 
10) b = 43,42mm, h = 86,85mm 
11) b = 67,86mm, h = 203,58mm 
12) b = 41,41mm, h = 99,39mm 
13) D = 129mm, d = 64,5mm 
14) D = 119mm, d = 65,45mm 
15) D = 121mm, d = 84,7mm 
16) D = 95,54mm, d = 76,43mm 
17) a = 89,97mm, b = 60,88mm 
18) a = 54,07mm, b = 43,25mm 
19) a = 60,30mm, b = 42,21mm 
20) a = 80,41mm, b = 40,20mm 
21) Perfil I – 101,6 x 67,6mm 
22) Perfil U – 152,4 x 48,8mm 
23) Perfil L abas iguais - 101,6 x 101,6mm 
24) Perfil L abas desiguais – 152,4 x 101,6mm 
25) P = 7960N 
26) P = 5050N 
27) P = 7776N 
28) P = 1765N 
29) P = 7960N 
30) P = 833N 
31) P = 2358N 
32) P = 1900N 
33) A) b = 35,56mm, h = 71,12mm; B) b = 44,81mm, h = 89,62mm; C) A 
34) Perfil I – 203,2 x 101,6mm 
35) P = 2520N 
36) d = 15,37mm 
37) D = 100,21mm, d = 80,17mm 
38) d = 84,06mm 
39) a = 74,73mm, b = 48,57mm 
40) l = 117,92mm 
 
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Flexão Simples 
92 
Referências Bibliográficas 
1 – Beer. Ferdinand. P, Johnston. Russel. E, “Resistência dos Materiais” McGraw-
Hill – New York 1992. 
2 – Hall. Allen. S, Holowenko. Alfred. R, “Machine Design” Shaum´s Outlines, 
McGraw Hill – New York 1962. 
3 – Hibbeler. R. C, “Resistência dos Materiais”, Livros Técnicos e Científicos 
Editora S.A, Rio de Janeiro 1997. 
4 – Hibbeler. R. C, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 
Rio de Janeiro 1998. 
5 – Jackson. J. J, Wirtz. H. G, “Statics and Strength of Materials ”, Shaum´s 
Outlines, McGraw Hill – New York 1983. 
6 – Meriam. J. L, Kraige. L. G, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos 
Editora S.A, Rio de Janeiro 1997. 
7 – Melconian. S, “Mecânica Técnica e Resistência dos materiais”, Editora Érica, 
São Paulo 1999.