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Cálculo Numérico (ECIV-019)
William W. M. Lira – william@lccv.ufal.br
Atividade presencial 16b (Autovalores e 
Autovetores)
mailto:william@lccv.ufal.br
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência
• Consiste em determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz A, e seu correspondente 
autovetor, sem determinar o polinômio característico.
 
• O método é útil na prática, desde que se tenha interesse em determinar apenas alguns autovalores, de 
módulo grande, e, que estes estejam bem separados, em módulo, dos demais. 
• Podem surgir complicações caso a matriz A não possua autovetores linearmente independentes. 
𝐴 − 𝜆𝐼 𝑥 = 0
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência: Teorema
Seja A uma matriz real de ordem n e sejam λ1, λ2,..., λn seus autovalores. Suponha que os autovetores são 
linearmente independentes, e que 𝜆! > 𝜆" ≥ 𝜆# ≥ ⋯ ≥ 𝜆$ .
Seja ainda a sequências yk e zk tais que
𝑧%&! = 𝐴𝑦%
𝑦%&! =
1
𝛼%&!
𝑧%&!
onde y0 é um vetor arbitrário e, além disso, 
𝛼%&! = 𝑚𝑎𝑥 (𝑧%&!)'
Então:
𝜆! = lim
%→)
(𝑧%&!)'
(𝑦%)'
Quando k→∞, yk tende a um autovetor 
correspondente a λ1.
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência: Teorema (observações)
• No limite quando k→∞, todas as componentes de (zk+1)r/(yk)r tendem a λ1;
• Entretanto, na prática, uma das componentes converge mais rapidamente que as outras. Assim, quando 
uma das componentes satisfizer a precisão desejada teremos o autovalor procurado;
• Para obter numericamente λ1 com uma precisão 𝜀, em cada iteração calcula-se aproximações para λ1 
usando a equação anterior. O teste do erro relativo usado como critério de parada para cada 
componente de λ1 é:
𝜆!
(%&!) − 𝜆!
(%)
'
𝜆!
(%&!)
'
 𝜀
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência: exemplo
𝑧" = 𝐴𝑦! =
2.0908
3.8182
7.5454
𝜆!
(") =
(𝑧")'
(𝑦!)'
=
2.0908
3.8182
7.5454
0.3636
0.5455
1
=
5.7503
6.9995
7.5454
K=1
0.3044
0.1428
0.4578
> 𝜀 𝑦" =
1
𝛼"
𝑧" =
0.2771
0.5060
1
𝛼" = 𝑚𝑎𝑥 (𝑧")' = 𝑚𝑎𝑥
2.0908
3.8182
7.5454
= 7.5454
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência: exemplo
𝑧# = 𝐴𝑦" =
1.8313
3.5662
7.1204
𝜆!
(#) =
(𝑧#)'
(𝑦")'
=
1.8313
3.5662
7.1204
0.2771
0.5060
1
=
6.6088
7.0478
7.1204
K=2
𝜆!
(#) − 𝜆!
(")
'
𝜆!
(#)
'
 𝜆$ e deseja-se calcular 𝜆$ .
Se λ é autovalor de A, então λ-1 é autovalor de A-1. Além 
disso, se |λn| é o menor autovalor de A, então |λn| é o 
maior autovalor de A-1. 
O método da potência inversa consiste em calcular pelo método 
da potência o autovalor de maior valor absoluto de A-1, pois 
assim tem-se o menor autovalor, em módulo, de A. 
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa
• A partir de um vetor yk, arbitrário, não nulo, construímos dois outros vetores yk+1 e zk+1, da seguinte 
forma:
𝑧%&! = 𝐴-!𝑦%
𝑦%&! =
1
𝛼%&!
𝑧%&!
onde
𝛼%&! = 𝑚𝑎𝑥 (𝑧%&!)'
Daí, tem-se que:
𝜆!
(%&!) =
(𝑧%&!)'
(𝑦%)'
aproximação para o 
maior autovalor em módulo da 
inversa de A
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa
𝜆! é 𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴-!
𝜆$ =
1
𝜆!
é 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴
Se λ é autovalor d
e A, então λ
-1 é autovalor d
e A
-1 . A
lém 
disso, s
e |λ n| 
é o m
enor a
utovalor d
e A, e
ntão |λ n| 
é o 
maior autovalor de A
-1 . 
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa
• Na prática, 
𝑧%&! = 𝐴-!𝑦%
𝐴𝑧%&! = 𝑦% SEL
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa: exemplo
Usando o método da potência inversa determinar o autovalor de menor valor absoluto da seguinte matriz 
com precisão de 0.1.
𝐴 =
1 1 0
2 5 3
0 1 6
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa: exemplo
Usando o método da potência inversa determinar o autovalor de menor valor absoluto da seguinte matriz 
com precisão de 0.1.
Solução:
Como aproximação inicial, adota-se 𝑦, ≠ 0. Por exemplo,
𝑦, =
1
1
1
𝐴 =
1 1 0
2 5 3
0 1 6
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa: exemplo
𝐴𝑧! = 𝑦, → 𝑧! =
0.5715
−0.1429
0.1905
𝑦! =
1
𝛼!
𝑧! =
1
−1/4
1/3
𝛼! = 𝑚𝑎𝑥 (𝑧!)' = 𝑚𝑎𝑥
0.5715
−0.1429
0.1905
= 0.5715𝜆!
(!) =
(𝑧!)'
(𝑦,)'
=
0.5715
−0.1429
0.1905
1
1
1
=
0.5715
−0.1429
0.1905
K=0
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa: exemplo
𝜆!
(") =
(𝑧")'
(𝑦!)'
=
0.7024
−0.4048
0.1230
1
−1/4
1/3
=
0.7024
1.6192
0.3690
K=1
𝜆!
(") − 𝜆!
(!)
'
𝜆!
(")
'
 𝜀
𝐴𝑧" = 𝑦! → 𝑧" =
0.7024
−0.4048
0.1230
Autovalores e Autovetores
Métodos quedeterminam alguns autovalores
Método da Potência Inversa: exemplo
K=1
0.1863
1.0883
0.4837
> 𝜀 𝑦" =
1
𝛼"
𝑧" =
1
−0.5763
0.1751
𝛼" = 𝑚𝑎𝑥 (𝑧")' = 𝑚𝑎𝑥
0.7024
−0.4048
0.1230
= 0.7024
𝐴𝑧" = 𝑦! → 𝑧" =
0.7024
−0.4048
0.1230
𝜆!
(") =
(𝑧")'
(𝑦!)'
=
0.7024
−0.4048
0.1230
1
−1/4
1/3
=
0.7024
1.6192
0.3690
Autovalores e Autovetores
Métodos que determinam alguns autovalores
Método da Potência Inversa: exemplo
𝜆!
(#) =
(𝑧#)'
(𝑦")'
=
0.7377
−0.4754
0.1080
1
−0.5763
0.1751
=
0.7377
0.8249
0.6192
K=2
𝜆!
(#) − 𝜆!
(")
'
𝜆!
(#)
'