Calculo 1 -Unidade 4

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Funções
UNIDADE 1
Cálculo Diferencial e 
Integral
UNIDADE 1
Cálculo Diferencial e 
Integral 
UNIDADE 2
APÊNDICE
UNIDADE 3
APÊNDICELIVRO
UNIDADE 4
Gabriela Faria Barcelos Gibim
Otimização da derivada
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Unidade 4 | Otimização da derivada
Seção 4.1 - Derivada implícita e taxa relacionada
Seção 4.2 - Máximos e mínimos 
Seção 4.3 - Concavidade e pontos de inflexão
Seção 4.4 - Otimização
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7
21
35
49
Sumário
Unidade 4
OTIMIZAÇÃO DA DERIVADA
Na unidade anterior você aprendeu algumas regras de derivação, como 
derivada do produto e quociente; regra da cadeia; derivada logarítmica e 
exponencial e derivadas trigonométricas. 
Nesta unidade iremos ampliar nosso conhecimento sobre derivadas 
implícitas, taxas relacionadas, Máximos e Mínimos e otimização. 
Vimos que a derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, 
vamos explorar mais algumas nesta unidade. Entre as numerosas aplicações 
das derivadas podemos citar problemas relacionados a: tempo, pressão, 
volume, área, temperatura, custo, consumo de gasolina, ou seja, qualquer 
quantidade que possa ser representada por uma função. Vamos colocar 
em prática esses conceitos que aprendemos até então?
Aperfeiçoe-se! Bons estudos! A partir deste estudo você irá: 
Competência a ser desenvolvida:
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do 
profissional da área de exatas.
Objetivos:
• Conhecer as regras de derivada implícita, taxa de variação, máximos 
Convite ao estudo
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e mínimos e otimização.
• Conhecer e aplicar esses conhecimentos de derivada na descrição 
de fenômenos e situações-problema. 
Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos 
objetivos específicos do tema em questão, vamos relembrar a situação 
hipotética apresentada nas unidades 1, 2 e 3. Esta situação visa aproximar 
os conteúdos teóricos com a prática. Vamos relembrar!
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um 
processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como 
estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste para mostrar que é capaz de 
compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa 
entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar 
em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a matemática 
é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo - agora - 
de derivadas. Portanto, João terá que resolver situações-problema que 
tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso redor, 
das mais simples às mais complexas, como valor de despesas de uma 
família, número de indivíduos de uma população, cálculo de velocidade e 
aceleração, volume, área etc. 
Otimização da derivada
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Seção 4.1
Derivada implícita e taxa relacionada
Olá, aluno! Vamos para mais uma seção de autoestudo sobre derivadas?
No tema anterior ampliamos nosso conhecimento sobre derivadas 
trigonométricas e derivadas sucessivas. Nesta seção iremos aprender agora sobre 
derivadas implícitas e taxas relacionadas. 
O estudo sobre as derivadas das funções é fundamental para a compreensão do 
comportamento das mesmas e está relacionado com muitas áreas do conhecimento. 
A aplicação das derivadas é extensa, possui complexidade que varia de acordo com 
o problema em estudo e pode ser muito útil na vida profissional de um engenheiro. 
Nesse tema a aplicação de derivadas será focada na aplicação de taxas relacionadas 
– quando uma grandeza varia em relação à variação de outra e na aplicação de 
derivadas implícitas. Vamos aprender o conceito de funções implícitas, aquelas que 
não apresentam a variável dependente da forma tradicional (y = f(x)), e mostrar como 
derivá-las além da sua conexão com problemas das taxas relacionadas. 
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 
12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 
metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia está um telefone 
de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um 
carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre 
o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade 
naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista?
Diálogo aberto 
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Funções Implícitas
As funções implícitas são aquelas em que as variáveis x e y são apresentadas 
juntas, no mesmo lado da equação. Ou seja, quando a função é escrita como y = 
f(x) ela é explícita, pois fica claro que a variável y pode ser calculada em função do 
valor da variável x. Agora, quando a função é dita implícita, significa que a variável y 
não é apresentada explicitamente em função de x. Observe a função apresentada 
a seguir, que é uma função implícita de x.
x2+y2=4
Essa é a equação da circunferência de raio igual a 2. Dessa forma, para um mesmo 
valor de x é possível encontrar dois valores correspondentes para y, correto? Mas 
isso seria possível para uma função? Para evitar problemas de definição, considere 
isolar a variável y e veja que o resultado será uma raiz quadrada, ou seja:
 
Ou seja, a função positiva representa a metade de cima do eixo x do círculo e a 
parte negativa a metade que está abaixo do eixo x (Figura 4.1). 
Não pode faltar!
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conceito e aplicação de derivada implícita e de taxa de variação.
Reflita
Otimização da derivada
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Nem todas as funções definidas implicitamente são deriváveis em todos os 
pontos do seu domínio. Em um curso de Cálculo avançado se estudam condições 
que garantem quando uma função definida implicitamente é derivável. Aqui, 
procederemos como se as funções definidas implicitamente fossem deriváveis em 
quase todos os pontos de seu domínio. Admitindo que a função y = f(x), definida 
implicitamente pela equação F (x, y) = 0, seja derivável, podemos calcular a derivada 
dy/dx sem ser necessário primeiro resolver a equação y= f(x). 
E como é possível derivar uma função implícita? 
Para derivar essa equação da circunferência com relação a x, devemos aplicar 
a derivada a todas as parcelas, lembrando que y2 é uma função com relação a x, 
logo, para resolver essa derivada será necessário usar a Regra da Cadeia.
Derivando a equação x2+y2=4 , teremos:
isolando , temos: 
Fonte: Hughes-Halett; McCallum; Gleason (2011, p. 120)
Figura 4.1 - Representação gráfica de x2 + y2= 4
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Assimile
A partir da Regra da Cadeia deveríamos derivar , a fórmula é 
mais conhecida como , no entanto, pode ser reescrita 
da seguinte forma Isto é, a derivada de uma
 função em relação a x é a derivada dessa função em relação a outra
 variável vezes a derivada dessa variável qualquer em relação a x.
Voltando à Figura 4.1, observe que ao calcular a derivada da equação do 
círculo,obtivemos a inclinação da curva em todos os pontos, exceto em (2, 0) 
e (-2, 0), locais da função em que a tangente é vertical. Em geral, esse processo 
de diferenciação implícita nos leva a uma derivada sempre que não houver uma 
indeterminação, como, por exemplo, um zero no denominador. 
Mas, e se essa função fosse uma superfície circular, uma esfera, como 
determinar a taxa de variação no ponto x = 2? Pare um minuto e pense 
a esse respeito. 
Reflita
Exemplificando
Encontre se x3 + y3 = 6xy (STEWART, 2011).
Vamos utilizar agora a notação de linha para resolver a derivada y´.
Derivando ambos os lados de se x3 + y3 = 6xy em relação a x, 
considerando y como uma função de x e usando a Regra da Cadeia 
no termo y3 e a Regra do Produto no termo 6xy, obtemos: 
3x2 + 3y2y´= 6xy´+ 6y ou x2 + y2y´= 2xy´+ 2y
Isolando y´ temos:
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Taxas relacionadas
As taxas relacionadas se referem à variação de uma grandeza com relação a 
outra. Em um problema de taxas relacionadas a ideia é calcular a taxa de variação 
de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra. O procedimento consiste 
em achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da 
Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo. (STEWART, 2011).
Para ficar clara essa definição, acompanhe os exemplos apresentados a seguir.
y2y´- 2xy´= 2y – x2
Exemplificando
Suponha que uma pedra seja lançada num lago. No momento em que 
ela cai na água é formada uma onda circular, cujo círculo aumenta no 
transcorrer do tempo. Então, sabendo que quando o raio do círculo 
tem 3cm e que o raio aumenta a uma taxa de 1cm por segundo, como 
saber a taxa de crescimento da área desse círculo conforme o tempo 
passa? Observe a Figura 4.2.
Quais são os dados desse problema? O Raio é conhecido (R=3cm), a 
taxa de crescimento do raio em relação ao tempo (dR/dt = 1cm/s) e a 
área do círculo que é dada por A=πR2. Qual é a informação procurada? 
É a taxa de variação da área do círculo em relação ao tempo, ou seja, 
dA/dt.
Temos que dR/dt = 1cm/s e precisamos achar dA/dt. É essencial 
compreender que nessa situação A e R são variáveis dependentes, 
Fonte: A autora (2015).
Figura 4.2 | Representação gráfica da onda circular em crescimento
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tendo t como variável independente subjacente. Assim, é natural 
introduzir as taxas de variação de A e R, derivando a área do círculo com 
relação a t. Como A é dependente de t e R também é dependente de 
t, trata-se de uma função composta, certo? Logo, a regra de derivação 
a ser utilizada é a Regra da Cadeia, afinal se a função é composta y 
= f(g(t)), sendo z=g(t) e y = f(z) e a derivada pela regra da cadeia é 
Então, 
logo, substituindo os valores em
tem-se: 
como Z= R então
que é a derivada. Logo, substituindo pelos dados:
Então, para o problema estudado quando o raio do círculo é 3cm, 
a cada segundo que passa a área do círculo cresce 6π (ou 9,4) 
centímetros quadrados. 
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Mas, e se o raio for 10 cm, qual a mudança?
Observando o crescimento da onda circular é intuitivo verificar que 
quanto menor o círculo (e o raio), menor a área; se o círculo for 
maior, a taxa de crescimento da área deverá ser maior. Será que é 
isso que ocorre? Para conferir, basta substituir o novo valor do raio e 
a taxa terá um valor de 31,4cm2/s. Isso porque foi mantida a taxa de 
crescimento do raio em relação ao tempo. Agora, se o raio for maior 
e a taxa de crescimento do raio em relação ao tempo diminuir, o que 
é mais razoável de ocorrer, então a taxa de variação da área do círculo 
crescerá de forma mais lenta. Por exemplo, considere o mesmo raio de 
5cm a uma taxa de variação do raio em relação ao tempo de 0,5cm/s. 
A taxa de variação da área será 31,4/2 = 15,7 cm2/s.
Reflita
Nesse tema estudamos sobre as derivadas de funções implícitas e 
percebemos que essas derivadas e funções estão relacionadas com as 
taxas relacionadas. Veja mais sobre o assunto em: <http://www.im.ufrj.
br/~waldecir/calculo1/calculo1pdf/capitulo_14.pdf>. Acesso em: 27 
jul. 2015. 
Pesquise mais
Faça você mesmo
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta y sen 2x = 
x cos 2y tangente à curva no ponto 
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Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada ao 
João? Vamos relembrar! 
Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 
12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 
metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia está um telefone 
de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. 
Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância 
entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de 
velocidade naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar 
o motorista?
As distâncias z do policial ao automóvel e y do automóvel em relação ao 
ponto da rodovia mais próximo da árvore variam com o tempo. O radar marca a 
velocidade do automóvel em relação ao policial, isto é, dz/ dt quando y = 16 m. 
Para saber se o motorista deve ou não ser multado, precisamos determinar dy/ 
dt, isto é, a velocidade desenvolvida pelo automóvel no trecho reto da rodovia, 
na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone). Pela geometria do 
problema, usando o teorema de Pitágoras, sabemos que as distâncias x, y e z estão 
relacionadas pela equação z2 = 122 + y2. 
A partir desta equação, o processo de derivação implícita nos permite encontrar 
a relação entre a taxa de variação de z e a taxa de variação de y e então resolver 
o problema proposto. Este problema é um exemplo típico de uma das aplicações 
elementares do Cálculo: a solução de problemas de taxas relacionadas. Derivando 
implicitamente a equação z2 = 122 + y2 obtemos:
Quando y = 16 m = 0, 016 km, a leitura do radar nos diz que dz/dt = 70 km/h, e, 
usando outra vez o teorema de Pitágoras, podemos deduzir que, neste momento, 
z = 20 m = 0, 02 km. Usando estes dados, a relação acima nos permite concluir 
que, quando o automóvel passa pelo telefone, sua velocidade na estrada é de > 
assim temos: 
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70.0,02/ 0, 016 = 87,5 - que ultrapassa o limite de velocidade permitido. Logo, o 
motorista deve ser multado. 
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações 
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de 
seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.
Balão
1. Competência de 
fundamentos de área
Não se aplica.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar o estudo da derivada implícita e taxa de variação na 
descrição de fenômenos e situações.
3. Conteúdos relacionados Derivada implícita e taxa de variação.
4. Descrição da SITUAÇÃO-
PROBLEMA
[Adaptado de Simmons (1987, pág. 182) - Quando o ar é 
bombeado para dentro de um balão, tanto o volume quanto 
o raio do balão crescem, e suas taxas de crescimento estão 
relacionadas. Mas é muito mais fácil medir diretamente a taxa 
de crescimento do volume do que a do raio. Portanto, considere 
que um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de 
gás a uma taxa constante de 8 cm3/s – ver Figura 4.3. Calcule 
com que velocidade o raio R do balão cresce quando R = 2 cm.
5. Resolução da SITUAÇÃO-
PROBLEMA
Dados: taxa de variação do volume do balão em relação ao 
tempo dV/dt = 8 cm3/s. 
O que é solicitado: taxa de variação do raio em relação ao 
tempo quando o raio assume os valores de 2 e 4cm.
Para ovolume do balão esférico temos V= (4/3) πR3, percebe-
se que V e R são dependentes de t, indicando uma função 
composta. Logo, a regra de derivação a ser utilizada é a Regra da 
Cadeia, afinal, se a função é composta y = f(g(t)), sendo z=g(t) e y 
= f(z) e a derivada pela regra da cadeia é 
Fonte: Simmons (1987, p. 183)
Figura 4.3 - Representação gráfica do balão circular
(continua)
Otimização da derivada
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Então,
 logo, substituindo os valores em 
tem-se , como Z=R então
 que é a derivada. O problema busca a variação 
do raio em relação ao tempo , logo, substituindo 
pelos dados: 
 
O volume do balão cresce a uma taxa constante, o raio 
aumentará cada vez mais devagar na medida em que o volume 
for maior.
Faça você mesmo
Uma escada com 5m de comprimento está apoiada em uma parede 
vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma 
taxa de 1m/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para 
baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede?
1. Calcule a derivada em relação a x da função xy =1. Primeiro utilize 
seu conhecimento prévio de derivadas e isole a variável dependente y 
e efetue o cálculo. A seguir, use a derivação implícita para encontrar a 
derivada da função como ela se encontra.
2. Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F), e 
assinale a alternativa que corresponde à sequência correta.
Faça valer a pena!
Otimização da derivada
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I – Para resolver um problema de taxas relacionadas, o procedimento 
é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a 
Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo.
II – A Regra da Cadeia é a técnica de derivação usada quando uma função 
é composta y = f(g(t)), sendo z=g(t) e y = f(z) e fórmula é 
III – As taxas relacionadas se referem à variação de uma grandeza com 
relação à outra, mas não se aplicam às derivadas.
Alternativas:
a) V, F, V
b) F, F, V
c) F, V, F
d) V, V, F
e) F, V, V
3. Um tanque cilíndrico de 2 m de raio recebe óleo a uma taxa de 3 m3/
min. A que taxa o óleo sobe no tanque?
a) π
b) 3/4π
c) 4/3π
d) 3π/5
e) 5π/4
4. A equação da tangente ao círculo x2 + y2= 25 no ponto (3,4) é:
a) 3x +4y = 25
b) 4x + 3y = 5
c) 4x + 3y = 25
d) -3x +4y = -25
e) 3x – 4y = 25
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5. Encontre y´ se sen (x + y) = y2cos x. 
6. Use seu conhecimento prévio a respeito de funções trigonométricas 
para resolver o problema proposto por Stewart (2011) que também 
considera a questão de taxas relacionadas. Suponha um homem 
andando ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 4 m/s. Um 
holofote localizado no chão a 20 m do caminho focaliza o homem. A 
que taxa o holofote está girando quando o homem está a 15 m do ponto 
do caminho mais próximo da luz?
a) 0, 543 rad/s
b) 0,128 rad/s
c) 0,434 rad/s
d) 1,234 rad/s
e) 0,234 rad/s
7. O carro A está se movimentando para o oeste a 90km/h e o carro B 
está se movimentando para o norte a 100 km/h. Ambos vão em direção 
à interseção de duas estradas. A que taxas os carros se aproximam um 
do outro quando o carro A está a 60 m e o carro B está a 80 m da 
interseção?
a) 150 km/h
b) 180 km/h
c) 134 km/h
Fonte: Stewart (2008, p. 258)
 Figura 4.4 - Esboço da figura que representa a situação-problema 
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d) 175 km/h
e) 100 km/h
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Seção 4.2
Máximos e mínimos 
Nas seções anteriores aprendemos que a interpretação geométrica da derivada 
de uma função corresponde ao coeficiente angular (ou inclinação) da reta tangente 
à curva em um ponto. 
Assim, é possível usar derivadas para esboçar o gráfico de uma função. Nesta 
seção iremos aprender que por meio da derivada é possível determinar os pontos 
em que uma reta tangente é horizontal (quando a derivada é zero) e os intervalos 
nos quais a função está crescendo ou decrescendo. Além de analisar e calcular 
pontos máximos e mínimos de uma função. 
Aproveite e bons estudos! 
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 
pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante 
a missão, do lançamento em t=0 até a ejeção do foguete auxiliar em t=126s, é 
dado por:
v(t)= 0,0003968 t3 – 0,02752 t2+ 7,196t – 0,9397
(em metros/segundo). Usando este modelo, João deverá estimar os valores 
máximos e mínimos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do 
foguete auxiliar. E agora, como João (você) poderá resolver este problema?
Diálogo aberto 
Otimização da derivada
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Monotonicidade de Funções
Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o 
comportamento de uma função em um intervalo, à medida que seu gráfico é 
percorrido da esquerda para a direita. 
Por exemplo, a função cujo gráfico está na Figura 4.6 pode ser descrita como 
crescente no intervalo (-∞, 0], decrescente no intervalo [0, 2], novamente crescente 
no intervalo [2, 4] e constante no intervalo [4, +∞) (ANTON, 2007, p. 267).
Não pode faltar
Fonte: Disponível em: <http://portrazdamidiainternacional.blogspot.com.br/2015/05/imagens-capturadas-pelo-telescopio.
html>. Acesso em: 26 ago. 2015.
Figura 4.5 | Telescópio espacial Hubble 
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conhecer e calcular pontos críticos e pontos de máximos e mínimos.
Reflita
Fonte: Adaptado de Anton (2007, p. 267)
Figura 4.6 | Função com trechos crescente, decrescente e constante
Otimização da derivada
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Assimile
Quando a função é crescente, decrescente e constante e sua 
representação matemática. Seja f definida em um intervalo e sejam x1 
e x2 pontos do intervalo:
(a) f é crescente no intervalo se f(x
1
) < f(x
2
) para x
1
 < x
2
.
(b) f é decrescente no intervalo se f(x
1
) > f(x
2
) para x
1
 < x
2
·
(c) f é constante no intervalo se f(x
1
) = f(x
2
) para todos os pontos x
1
 e x
2
Fonte: Anton (2007, p. 268)
Figura 4.7 | Função com trechos crescente, decrescente e constante
Verifique na Figura 4.7 as retas tangentes de inclinações positiva, negativa 
e nula. Essa consideração sugere que uma função diferenciável f é 
crescente em qualquer intervalo no qual cada reta tangente ao gráfico 
tenha inclinação positiva, decrescente em qualquer intervalo em que 
cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação negativa e constante 
Reflita
Otimização da derivada
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em qualquer intervalo no qual cada reta tangente ao gráfico tenha 
inclinação zero.
A partir dessa importante consideração, verifica-se que para esboçar o gráfico 
de uma função é importante conhecer os intervalos em que ela é crescente, 
decrescente e constante (quando for o caso). O sinal da derivada fornece essa 
informação, logo, reescrevendo a inclinação da reta tangente (Figura 4.7 em 
termos de derivada tem-se: uma função f é crescente nos intervalos em que f' 
> 0, é decrescente nos intervalos em que f' < 0 e f é constante quando f'(x) = 0. 
Isto é geometricamente evidente se for lembrado que uma reta aponta para cima 
(e à direita) se seu coeficiente angular for positivo; para baixo (e à direita) se seu 
coeficiente angular for negativo, e, é horizontal, paralela ao eixo x, quando seu 
coeficiente angular é zero. Esse é um teorema importante.
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e 
diferenciável no intervalo aberto (a, b).
• Se f'(x)>0 para todo valor de x em (a,b), então f é crescente em [a,b].
• Se f'(x)<0 para todovalor de x em (a,b), então f é decrescente em [a,b].
• Se f'(x)=0 para todo valor de x em (a,b), então f é constante em [a,b].
A Figura 4.8 apresenta todos os elementos em conjunto: a indicação quando 
a função é crescente e a derivada de um ponto desse intervalo, a indicação de 
intervalo em que a função é decrescente e a tangente a um ponto desse intervalo, 
e os pontos em que a tangente é zero, ou seja, a função está num ponto mínimo 
ou de máximo valor local.
Fonte: extraído de Simmons (1987, p. 147)
Figura 4.8 | Representação gráfica de várias derivadas de uma função
Otimização da derivada
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Mas o que é um ponto de máximo e mínimo local?
Uma curva lisa só pode se transformar de crescente em decrescente passando 
por um pico no qual o coeficiente angular da reta tangente é zero. Nesses pontos 
existe um valor máximo ou mínimo (relativos) da função. Esses pontos podem ser 
localizados quando são determinados (inicialmente) os pontos críticos da função, 
que são as soluções da equação f'(x) = 0; isto é, quando a tangente é horizontal. Ao 
resolver a equação f'(x)=0 suas raízes são descobertas. Observe a Figura 4.8, cujos 
pontos críticos são x
1
, x
2
, x
3
 e os correspondentes valores críticos são os valores da 
função nesses pontos, isto é f(x
1
), f(x
2
) e f(x
3
).
Quando f'(x) não existir, então x também será um ponto crítico. Lembre-se de 
que a derivada de uma função contínua não existirá se num ponto a função não 
tem uma tangente, como é o caso apresentado na Figura 4.9 quando x = 0.
Um fato relevante é saber que um valor crítico não é necessariamente um 
ponto de máximo ou de mínimo local (observe f(x
3
) na Figura 4.8). No ponto crítico 
x3 o gráfico não passa por um pico nem por uma depressão, mas simplesmente 
se achata momentaneamente entre dois intervalos, em cada um dos quais a 
derivada é positiva. Lembre-se de que estão sendo analisados os valores máximo 
ou mínimo locais (ou relativos), ou seja, valores considerados máximo ou mínimo 
quando comparados somente com pontos vizinhos sobre essa curva. Na Figura 
4.8 f(x
1
) é um máximo (local), embora existam outros pontos com cota maior 
sobre a curva, à direita. Quando é procurado o máximo absoluto de uma função, 
deve-se comparar esses máximos locais determinando qual (se existir) é maior que 
qualquer outro valor assumido pela função.
Teste da derivada primeira para máximo e mínimo locais
Se f’ tem sinais diferentes dos dois lados de um ponto crítico p, em que f'(p) = 0, 
então o gráfico de f muda de comportamento em p e parece com um dos gráficos 
apresentados na Figura 4.10.
Fonte: Extraído de Anton (2007)
Figura 4.9 | Função linear por partes que não possui derivada em x=0
-2 -1 1 2
3
2
1
x
y
Otimização da derivada
U4
26
Fonte: Extraído de Hughes-Hallet (2011)
Figura 4.10 | Mudanças de comportamento em um ponto crítico p: máximo e mínimo local
Teste da derivada primeira para máximo e mínimo locais
Suponha que p é um ponto crítico de uma função contínua f.
• Se f' muda de negativa para positiva em p, então f tem um mínimo local em p.
• Se f' muda de positiva para negativa em p, então f tem um máximo local em p.
Em resumo, pode-se encontrar o máximo e mínimo local de uma função 
seguindo os passos descritos a seguir.
1. Ache f′(x).
2. Ache os números críticos de f(x), isto é, os valores de x para os quais f′(x)= 
0, ou para os quais f′(x) não existe.
3. Aplique o teste da derivada primeira.
Exemplificando
Dada f(x) = x3− 6x2+ 9x+ 1 ache os pontos de máximo e mínimo locais 
de f, aplicando o teste da derivada primeira. Determine os valores de x nos 
quais ocorrem esses pontos locais, bem como os intervalos nos quais f é 
crescente e aqueles em que f é decrescente. Faça um esboço do gráfico.
Solução:
A derivada primeira é f′(x)= 3x2 − 12x + 9 e f′(x) existe para todos os valores 
de x por se tratar de um polinômio. Portanto, resolvendo-se a equação 
f′(x) = 0, ou seja, 3x2 − 12x + 9 = 3(x − 3). (x − 1) = 0. Segue que x = 3 
ou x = 1 são números críticos de f. Para determinar se f possui extremos 
relativos nesses números, aplica-se o teste da primeira derivada, conforme 
é mostrado na Figura 4.11.
Otimização da derivada
U4
27
Observe na tabela apresentada na Figura 4.11 que, conhecendo as raízes da 
função, então é analisado o que ocorre com um ponto em x menor que uma das 
raízes (ou maior ou, ainda, entre elas) – isso para a f(x) e f’ (x). Logo na primeira 
linha, quando x<1, toma-se um valor de x menor que 1, por exemplo 0, e verifica-
se o valor de f(0) = 1 e f’ (0) = 9, cuja análise está mostrada no quadro. O mesmo 
é feito para os valores das raízes (x = 1 e x =3) e para valores de x nos demais 
intervalos entre as raízes.
Figura 4.11 | Verificação do crescimento da função nos intervalos entre os pontos críticos
Fonte: Extraído de Espírito Santo (2006)
Observe que na coluna de f(x) só há a indicação numérica quando x=1 
e x= 3, você saberia dizer por quê? Quando conhecemos o valor da 
variável independente (x) é possível calcular a variável dependente (y ou 
f(x)). Nos demais casos são feitas análises dos intervalos e não de pontos 
específicos. Como foi mostrado incialmente, para esses estudos toma-se 
um (ou mais) valor do intervalo para verificar o comportamento da função, 
mas não é possível determinar o valor que a função assume no intervalo, 
pois para isso seria necessário mostrar todos os pontos que estão no 
intervalo, o que não é necessário.
Reflita
Exemplificando
Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função f(x)= x3- 7x + 6. 
Solução: 
f´(x)= 3x2 – 7x + 6, fazendo f´(x) =0, obtemos x = 
Otimização da derivada
U4
28
Portanto, os pontos críticos de f são 
É fácil verificar se 
tem-se f´(x) >0, logo f é crescente nos intervalos 
Para tem-se f´(x) <0 logo f é decrescente em
 Assim, pela derivada primeira temos: concluímos que f tem 
um máximo relativo em e um mínimo relativo em 
Faça você mesmo
Calcule os valores máximos e mínimos da função f(x)= x - 2 sen x, 
0 ≤ x ≤ 2 .
Otimização da derivada
U4
29
Veja mais sobre pontos críticos, máximos e mínimos em: <http://wwwp.
fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em:
29 jul. 2015. 
Pesquise mais
Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada ao 
João? Vamos relembrar! 
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 
pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante 
a missão, do lançamento em t=0 até a ejeção do foguete auxiliar em t=126s, é 
dado por:
v(t)= 0,0003968 t3 – 0,02752 t2+ 7,196t- 0,9397
(em metros/segundo). Usando este modelo, João deverá estimar os valores 
máximos e mínimos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do 
foguete auxiliar. E agora, como João (você) poderá resolver este problema?
Solução:
São pedidos os valores extremos não da função de velocidade dada, mas da função 
de aceleração. Assim, precisamos primeiro derivar para encontrar a aceleração:
a(t)= v´(t)= (0,0003968t3- 0,02752t2 + 7,196t – 0,9397)
=0,0011904t2- 0,05504t + 7,196
No intervalo 0≤ t ≤ 126 sua derivada é:
a’ (t)= 0,0023808 t- 0,05504 o número crítico ocorre quando a´(t)= 0
Otimização da derivada
U4
30
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações 
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de 
seus colegas.
Estudo da monotonicidade da função
1. Competência de 
Fundamentos de Área
Conheceros fundamentos de cálculo necessários à formação do 
profissional da área de exatas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar os conceitos de monotonicidade de função e ponto 
máximo e mínimo. 
3. Conteúdos relacionados Monotonicidade de função e ponto máximo e mínimo.
4. Descrição da SITUAÇÃO-
PROBLEMA
A partir do estudo de monotonicidade de funções, determine os 
intervalos em que a função f(x) = x3 - 9x2 - 48x + 52 é crescente 
e decrescente. 
Calculando a(t) no número crítico e nas extremidades, temos:
a(0)= 7,196 a(t1)= 6,56 a(126)= 19,16
Assim, a aceleração máxima é cerca de 19,16 m/s2, e a aceleração mínima é 
cerca de 6,56 m/s2.
Atenção!
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico 
de f.
O maior valor entre os números críticos e as extremidades de f no 
intervalo (a, b) é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor 
desses valores é o valor mínimo absoluto. 
Lembre-se
(continua)
Otimização da derivada
U4
31
5. Resolução da SITUAÇÃO-
PROBLEMA:
Solução: para determinar os intervalos em que a função é 
crescente e decrescente, calcula-se a sua derivada que é f’(x) = 
3x2 - 18x – 48.
Para encontrar onde f’ > 0 ou f’ <0 é preciso encontrar onde f’ = 
0, isto é, onde 3x2 - 18x – 48 = 0. Por meio da fatoração, obtém-
se 3(x - 8)(x + 2) = 0, ou seja, x = -2 ou x = 8. Como a derivada da 
função é zero apenas em x = -2 e em x = 8, e como f’ é contínua, 
f’ não pode mudar de sinal em qualquer dos três intervalos x 
< - 2; - 2 < x < 8 e x > 8. Como saber o sinal de f’ em cada um 
desses intervalos? A maneira mais simples é escolher um ponto 
no intervalo e calcular f’ nesse ponto. Por exemplo, quando x = 
-3, a derivada é f’(-3) = 3.(-3)2-18.(-3)-48 = 33. Esse resultado (f’(x) 
> 0) indica que f’ é positiva quando x < -2, logo f é crescente no 
intervalo x < -2. Seguindo o mesmo raciocínio, tem-se que f’(0) = 
-48 e f’(10) = 72, indicando que f é decrescente entre x = - 2 e x = 
8, e é crescente para x > 8. 
Conforme explica Hughes-Hallet (2011, p. 140), temos que f(-2) = 104 e f(8) 
= -396. Portanto, no intervalo -2 < x < 8, a função decresce de um valor 
alto de 104 até o valor negativo de -396. Um outro ponto do gráfico é fácil 
de encontrar: o ponto em que o gráfico intersecta o eixo dos y, f(0) = 52. 
Com apenas esses três pontos, podemos obter um gráfico muito mais útil. 
Lembre-se
Faça você mesmo
Esboce o gráfico do exercício acima escolhendo a janela para o gráfico 
como sendo -10 ≤ x ≤ 20 e -400 ≤ y ≤ 400, assim teremos informações 
melhores sobre o comportamento de f(x) apresentado na situação-
problema acima. 
Otimização da derivada
U4
32
O enunciado a seguir corresponde às questões 1 e 3:
O ponto crítico ou estacionário, em matemática, representa um ponto 
no domínio de uma função onde a primeira derivada é igual a zero, e são 
considerados como ponto máximo ou mínimo relativo.
Assim, dada a função f(x)= x³ -3x²- 9x + 7 faça o que se pede:
1. Sobre a monotonicidade da função f (x) é correto afirmar que: 
a) f’(-2) = 15 e 15>0, portanto a função neste ponto será decrescente.
b) f’(0) = 3.0² - 6.0 – 9=> -9 e -9 < 0, portanto a função neste ponto 
será crescente
c) f’(4) = 15 e 15 > 0, portanto neste ponto a função será decrescente.
d) f’(0) a função é constante.
e) f’(1) a função é decrescente.
2. Com relação ao ponto máximo e mínimo da função, marque a 
alternativa correta:
a) quando x= -1 temos um ponto de mínimo
b) quando x =3 temos o ponto de máximo
c) (-1,12) é um ponto de mínimo da função
d) (3,12) é um ponto de mínimo da função
e) os pontos críticos da função são -1 e - 3
3. Esboce o gráfico da função f(x)= x³ -3x²- 9x + 7.
4. As regras de derivação facilitam a resolução de problemas e auxiliam 
na análise e interpretação de funções, e em particular favorecem a 
determinação de pontos máximos e mínimos. Muitas situações envolvem 
mínimos e máximos de áreas que auxiliam, muitas vezes, na decisão de 
Faça valer a pena!
Otimização da derivada
U4
33
otimização para embalagens. Assim, os pontos críticos da função f(x) = 
x³ - 3x + 2 são:
a) -1 e 1
b) 0 e 2
c) 1 e 1
d) 4 e 3 
e) -1 e 0
5. Dado o gráfico da função f(x) = x3- 3x2 + 1. Por meio da derivada 
primeira, verifique o intervalo em que a função é crescente e verifique 
a veracidade pelo gráfico. Assinale a alternativa que apresenta o(s) 
intervalo(s) em que a função é crescente.
a) [-1, 0] e [1, 3].
b) [-∞, 0] e [0, 2].
c) [-∞, 0] e [2, ∞].
d) (-1, 0] e [1, 3).
e) (-∞, 0] e [2, ∞).
Fonte: Extraído de Anton (2007, p. 271)
Gráfico da função f(x) = x3- 3x2 + 1. 
Otimização da derivada
U4
34
6. Dada a função f(x) = x2 - 4x + 3 pode-se afirmar que:
a) f é decrescente em (-∞, 2]
b) f é crescente em (2, +∞)
c) f é constante (2, 0) 
d) f é decrescente (2, 3)
e) f é crescente em (-∞, 2]
7. Usando a derivada, explique por que não existem máximos nem 
mínimos locais para x ≥ 0 para a função y= sen x + 2ex. 
Otimização da derivada
U4
35
Seção 4.3
Concavidade e pontos de inflexão
Na seção anterior vimos como a primeira derivada nos diz onde uma função 
é crescente e onde é decrescente, e se um mínimo ou máximo local ocorre em 
um ponto crítico. Nesta seção iremos ver como a segunda derivada nos fornece 
informações sobre o modo como o gráfico de uma função derivável muda de 
direção. Com esse conhecimento sobre a primeira e segunda derivada, podemos 
esboçar um gráfico preciso de uma função. Assim, identificaremos as principais 
características das funções, o que é de grande importância para a matemática e 
para suas aplicações em ciência e engenharia, especialmente em análise gráfica e 
interpretação de dados. Vamos lá! Bons estudos!
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem 
registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os 
resultados mostram que entre 13 e 18 horas a velocidade média neste cruzamento é 
dada aproximadamente por v(t) = t 3 – 10,5 t 2 + 30 t + 20 km/h, onde t é o número 
de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é 
mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?
E agora, como João poderá resolver este problema? 
Diálogo aberto 
Você pode encontrar mais sobre o estudo de ponto de inflexão e esboço 
de gráfico em <http://www.ime.uerj.br/~calculo/Ecomat/cap7.pdf>. 
Acesso em: 30 jul. 2015.
Dica
Otimização da derivada
U4
36
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? 
Conceito de derivada, ponto de inflexão e concavidade.
Reflita
Concavidade e pontos de inflexão
Conhecer a concavidade de uma função pode ser útil para testar se um ponto 
crítico é um máximo ou um mínimo local. Suponha que p é um ponto crítico de 
f com f’(p) = 0, ou seja, o gráfico de f tem uma tangente horizontal em p. Se o 
gráfico é côncavo (concavidade aberta para cima) em p, então f tem um mínimo 
local em p. Similarmente, se o gráfico é côncavo (concavidade aberta para baixo), 
então f tem um máximo local. 
Estudamos pontos onde a inclinação muda de sinal, o que nos levou aos pontos 
críticos. Vamos considerar agora pontos em que a concavidade muda. 
Segundo Hughes-Hallet (2011, p. 1443), um ponto no qual o gráfico de uma 
função muda de concavidade é chamado de um ponto de inflexão da função. As 
palavras ponto de inflexão de f podem se referir tanto a um ponto no domínio de 
f quanto a um ponto no gráfico de f. 
Não pode faltar
Assimile
Teste da segunda derivada para concavidade
Seja y= f(x) uma função duas vezes derivável em um intervalo I
1. Se f” > 0 para todo x emI, então o gráfico de f é côncavo para cima em I. 
2. Se f” < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo 
em I. 
Otimização da derivada
U4
37
Dessa forma, uma função f com derivada contínua tem um ponto de inflexão 
em p se uma das condições a seguir for válida:
• f' tem um mínimo local ou um máximo local em p.
• f’’ muda de sinal em p.
Assimile
Assimile
Como a concavidade muda em um ponto de inflexão, o sinal de f’’ 
muda nesse ponto. A derivada segunda é positiva de um lado do ponto 
de inflexão e negativa do outro, de forma que f’’ é nula ou não está 
definida no ponto de inflexão.
Teste da segunda derivada para extremos locais
Suponha que f” seja contínua em um intervalo aberto que contenha 
x=c
1. Se f´(c) = 0 e f” (c) < 0, então f tem um máximo local em x= c.
2. Se f´(c) =0 e f” (c) > 0, então f tem um mínimo local em x= c.
3. Se f´(c) =0 e f” (c) = 0, então o teste falha. A função f pode ter 
máximo local, ou mínimo local ou nenhum dos dois. 
Mas, atenção! Nem todo ponto x em que f'(x) = 0 (ou f' não está definida) 
é um ponto de inflexão (assim como nem todo ponto em que f' = 0 é um 
ponto de máximo ou mínimo local). 
Se p é um ponto de inflexão, então f'(p) = 0 (ou f'(p) não está definida) e, 
portanto, p é um ponto crítico da função derivada f’. Se f’ é contínua, esse 
ponto crítico é um máximo local ou um mínimo local de f’’, já que f' muda 
de sinal em p – ver Figura 4.12 - (HUGHES-HALLET, 2011, p. 143).
Reflita
Otimização da derivada
U4
38
Figura 4.12 | Mudança de concavidade em p: pontos de inflexão.
Fonte: Extraído de Hughes-Hallet (2011)
Exemplificando
Exemplificando
Classifique os pontos críticos de f(x) = x3 - 9x2 - 48x + 52, dizendo se é 
máximo ou mínimo local.
Solução: A derivada primeira da função é dada por f'(x) = 3x2 - 18x – 48 e 
os pontos críticos de f são x = -2 e x = 8. A derivada segunda é f’’(x) = 6x 
– 18. Logo, substituindo os pontos críticos na derivada segunda tem-se:
 f’’(8) = 30 > 0, que pelo teste da derivada segunda indica que f tem um 
mínimo local em x = 8. Seguindo o mesmo processo para o ponto crítico 
x = -2, tem-se: f’’(-2) = -30 < 0, que pelo teste da derivada segunda indica 
que f tem um máximo local em x = -2.
A Figura 4.13 sugere que a função f{x) = xe-x tem um ponto de inflexão, 
mas sua localização exata não é evidente a partir dessa figura. Use 
as derivadas primeira e segunda de f para determinar os intervalos 
nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima (convexa) e 
côncava para baixo. Localize todos os pontos de inflexão. 
Otimização da derivada
U4
39
Solução:
Calculando as derivadas primeira e segunda de f, obtemos 
f'(x) = (1 - x)e-x
f’’ (x) = (x - 2)e-x
Lembrando que e-x é positiva para todo x, a análise de sinais dessas 
derivadas é facilmente determinada:
A segunda tabela mostra que há um ponto de inflexão em x = 2, pois 
f muda de côncava para baixo para côncava para cima nesse ponto. 
Todas essas conclusões são consistentes com o gráfico de f.
Figura 4.13 | Função linear por partes que não possui derivada em x=0
Fonte: Extraído de Anton (2007).
Intervalo (1-x)(e-x) f´(x) Conclusão
x < 1 (+)(+) + f é crescente em (-∞,1]
x > 1 (-)(+) - f é decrescente em [1,+∞)
Intervalo (x-2)(e-x) f´´(x) Conclusão
x < 2 (-)(+) - f é côncava para baixo em (-∞,2]
x > 2 (+)(+) + f é côncava para cima em (2,+∞)
Assíntotas horizontais e verticais 
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que 
se aproximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Estas retas são 
chamadas de assíntotas.
Otimização da derivada
U4
40
Figura 4.14 | Assíntotas horizontais e verticais
Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 
30 jul. 2015.
A figura acima apresenta assíntotas oblíqua, horizontais e verticais. Nesta seção 
iremos estudar apenas as assíntotas horizontais e verticais. 
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma das 
seguintes afirmações for verdadeira:
Exemplificando
A reta x=2 é uma assíntota vertical do gráfico de 
De fato,
Figura 4.15 | Gráfico de 
Fonte: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.
Otimização da derivada
U4
41
A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico f se pelo menos uma das 
seguintes afirmações for verdadeira:
Esboço do gráfico de uma função:
Para esboçar o gráfico de y= f(x) usaremos a seguinte estratégia:
1. Identificar o domínio de f e qualquer simetria que a curva possa ter;
2. Determinar as derivadas y´e y”
3. Determinar os pontos críticos de f, se houverem, e identificar o comportamento 
da função em cada um deles.
4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
5. Determine os pontos de inflexão, caso haja, e a concavidade da curva
Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 
30 jul. 2015.
Exemplificando
As retas y= 1 e y= -1 são assíntotas horizontais do gráfico de 
, pois 
Figura 4.16 | Gráfico de 
Otimização da derivada
U4
42
6. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem
7. Esboçar o gráfico
Exemplificando
Esboçar o gráfico da função f(x)= x2 + x - 2.
• D(f)=R
• Interseção do eixo y: f(0) = -2, interseção do eixo x: x2+ x- 2=0 → 
x= -2 ou x= 1
• f´(x)= 2x +1 resolvendo 2x+1=0 temos x= -1/2 como ponto crítico.
• Fazendo f´(x) > 0, obtemos que 2x +1 > 0 quando x > - ½ . Portanto, 
f é decrescente para x< -1/2. 
• f” (x)=2 > 0. Logo, concavidade do gráfico está sempre voltada 
para cima e assim x= -1/2 é ponto mínimo de f. f(-1/2) = -9/4, que 
é o valor mínimo assumido pela função. 
• Não existem assíntotas ( e D(f)= R)
Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 
30 jul. 2015.
Otimização da derivada
U4
43
Veja mais sobre derivada e suas aplicações em: <http://www.mat.
ufmg.br/~emerson/Apostila-sacha.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2015.
Pesquise mais
Faça você mesmo
Agora tente você esboçar o gráfico da função f(x)= x4- 4x3+10.
Sem medo de errar
Após o estudo da seção, vamos resolver a situação-problema apresentada ao 
João? Vamos relembrar! 
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem 
registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os 
resultados mostram que entre 13 e 18 horas a velocidade média neste cruzamento 
é dada aproximadamente por v(t) = t3 – 10,5 t2 + 30 t + 20 km/h, onde t é o número 
de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é 
mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?
Solução:
Devemos determinar o máximo e o mínimo absoluto da função v(t) no intervalo 
1 ≤ t ≤ 6. 
Assim, vamos calcular a primeira derivada e igualar a zero para encontrar os 
pontos críticos: 
v’(t) = 3 t2 – 21 t + 30 = 0 ⇔ t = 2 ou t = 5.
Estes são os pontos críticos de v, ambos pertencentes ao intervalo (1,6). Para 
verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da segunda 
derivada: v’’(t) = 6 t – 21
• v’’(2) = – 9 < 0 ⇒ t = 2 é ponto de máximo local de v;
• v’’(5) = 9 > 0 ⇒ t = 5 é ponto de mínimo local de v. 
Otimização da derivada
U4
44
Atenção!
Estes são os pontos críticos de v, ambos pertencentes ao intervalo 
(1,6). Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos 
o teste da segunda derivada: v’’(t) = 6 t – 21.
Para determinar os pontos de máximo e mínimo de v em [1,6], 
precisamos comparar os valores que v assume nos pontos críticos, 
com os respectivos valores nos extremos do intervalo, pois como v é 
uma função contínua definida em um intervalo fechado,pode assumir 
seus valores máximo e mínimo ou nos pontos críticos, ou nos extremos 
do intervalo.
Lembre-se
Temos: v (1) = 40,5; v(2) = 46; v(5) = 32,5; v(6) = 38. Assim, concluímos que t = 
2 é ponto de máximo e t = 5 é ponto de mínimo de v no intervalo de interesse [1,6]. 
Isso significa que o trânsito é mais rápido às 14h, quando os carros passam pelo 
cruzamento a uma velocidade média de 46 km/h, e o trânsito é mais lento às 17h, 
quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de 32,5 km/h.
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações 
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de 
seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.
Máximos e Mínimos 
1. Competência de 
fundamentos de área
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do 
profissional da área de exatas.
2. Objetivos de aprendizagem Aplicar os conceitos de derivada segunda em situações-problema.
3. Conteúdos relacionados Derivada segunda, máximo e mínimo. 
4. Descrição da SITUAÇÃO-
PROBLEMA
Encontre os máximos e mínimos da função f(x)= 18x + 3x2 – 4x3 
relativos de f aplicando o teste da derivada segunda e esboce o 
gráfico. 
(continua)
Otimização da derivada
U4
45
5. Resolução da SITUAÇÃO-
PROBLEMA
Temos f´(x)= 18+ 6x – 12x2 e f´´(x)= 6 – 24x. 
Fazendo f´(x)= 0, obtemos 18+ 6x -12x2=0. Resolvendo esta 
equação obtemos os pontos críticos de f, que são x
1
= 3/2 e x
2
= -1. 
Como f´´(3/2) = -30 < 0, segue que x
1
= 3/2 é um ponto máximo 
relativo de f. Seu valor máximo relativo em x
1
 é dado por f(3/2) = 
20,25.
Assim, como f´´(-1) = 30 > 0, segue que x
2
= -1 é um ponto de 
mínimo relativo de f.
Seu valor mínimo relativo em x2 é dado por f(-1) = -11. 
1.Se f´(c) = 0 e f” (c) < 0, então f tem um máximo local em x= c.
2. Se f´(c) =0 e f” (c) > 0, então f tem um mínimo local em x= c.
3. Se f´(c) =0 e f” (c) = 0, então o teste falha. A função f pode ter máximo 
local, ou mínimo local ou nenhum dos dois.
Lembre-se
Faça você mesmo
Agora encontre os máximos e mínimos da função f(x)= 6x – 3x2+ ½ x3 
relativos de f aplicando o teste da derivada segunda.
Otimização da derivada
U4
46
1. Dada a curva y= x4- 4x3 podemos afirmar que:
a) A derivada segunda da função é y” = 12x – 24.
b) Os pontos críticos são x = 0 e x = - 3.
c) O ponto (0,1) é um ponto de inflexão.
d) A função tem um máximo local em zero. 
e) O ponto (2,-16) é um ponto de inflexão. 
2. Uma partícula se desloca ao longo de uma reta horizontal (positiva 
à direita) de acordo com a função posição: s(t)= 2t3- 14t2+22t -5, t ≥ 0. 
Com relação à velocidade e aceleração da partícula podemos afirmar 
que: 
a) A velocidade é v(t)= (t -1). (3t-11);
b) A aceleração é a(t)= 4. (t – 3);
c) Quando s(t) é crescente, a partícula se desloca para a esquerda; 
d) Quando s(t) é decrescente, a partícula se desloca para a direita; 
e) A primeira derivada (v=s´) é zero nos pontos críticos t= 1 e t= 11/3.
3. A figura abaixo exibe o gráfico da derivada primeira f´(x) de uma 
função f: [0, 9] → R, assim pode-se afirmar que:
a) A função f é crescente nos intervalos [2, 4] e [6, 9] e ela é decrescente 
nos intervalos [0, 2] e [4, 6]. 
b) Os extremos locais de f são 0 (mínimo local), 2 (máximo local), 4 
(mínimo local), 6 (máximo local) e 9 (máximo local). 
c) O gráfico de f é côncavo para baixo nos intervalos [1, 3], [5, 7] e [8, 9] e 
Faça valer a pena!
Otimização da derivada
U4
47
ele é côncavo para cima nos intervalos [0, 1], [3, 5] e [7, 8]. 
d) As abscissas dos pontos de inflexão do gráfico de f são 1 e 3, apenas. 
Dada a função f(x) = x3 − 2x faça o que se pede nas questões abaixo:
4. Determine o domínio natural da função f e, caso existam, as interseções 
do gráfico de f com os eixos coordenados. 
5. Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais dos 
gráficos de f. 
6. Determine os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é 
decrescente. Determine os pontos críticos de f e os pontos de máximo 
e mínimo locais de f, caso existam. 
7. Determine, caso existem, os pontos onde f não é derivável. Determine 
os intervalos onde f é côncava para cima (convexa), os intervalos onde f 
é côncava para baixo e, caso existam, os pontos de inflexão dos gráficos 
de f. Esboce o gráfico da função.
Otimização da derivada
U4
48
Otimização da derivada
U4
49
Seção 4.4
Otimização
Para resolver alguns problemas, precisamos encontrar o maior ou menor valor 
de uma determinada quantidade. Por exemplo, determinar: a menor quantidade de 
combustível possível; o nível de produção mais econômico de uma fábrica; o ponto 
da órbita de um cometa mais próximo da Terra; a velocidade mínima necessária para 
que um foguete escape da atração gravitacional da Terra etc. 
Esses e outros problemas são chamados de problemas de otimização.
Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores 
extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma função pode 
assumir em um dado intervalo. Estes, podem ser enunciados por escrito e podem 
ser resolvidos sempre que for possível equacionar o fenômeno em estudo, mediante 
fórmulas matemáticas. 
Assim, veremos nesta seção como a derivada fornece um modo eficiente de se 
resolver muitos problemas de otimização. 
Então aproveite a oportunidade e aprofunde seus conhecimentos! Bons estudos! 
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 
900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaixo. 
O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para 
estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para 
o cabo?
Diálogo aberto 
Otimização da derivada
U4
50
Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf>. Acesso em: 18 ago. 2015.
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Saber resolver problemas de otimização, aplicando os conceitos de 
derivada, máximos e mínimos aprendidos nesta e nas seções anteriores. 
Reflita
No cálculo de limites, muitas vezes nos deparamos com situações as quais 
chamamos formas indeterminadas ou, simplesmente, indeterminações. Estas 
são limites cujos resultados não podemos determinar imediatamente e que, em 
princípio, podem resultar em números reais quaisquer, como também podem não 
existir (caso esse que inclui os resultados + ∞ ou − ∞).
Temos como exemplo aqueles quocientes de funções que tendem a zero ou 
a ± ∞. 
Veremos, a seguir, que a Regra de l’Hospital nos ajudará a resolver 
indeterminações que ocorrem com quocientes de funções bem gerais. 
Regras de l’Hospital: Se f e g são diferenciáveis com e g´(x) ≠ 0, em um intervalo 
aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que 
Não pode faltar
Ou que
Então:
Otimização da derivada
U4
51
Assimile
A regra de l’Hospital:
• Diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos 
quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas estejam 
satisfeitas. Deve-se verificar as condições relativas aos limites de f e g 
antes de usar a Regra de l’Hospital.
• É válida também para os limites laterais e para os limites no infinito ou 
no infinito negativo: isto é, “x → a” pode ser substituído por quaisquer 
dos símbolos a seguir: x → a+, x → a-, x → ∞+ ou x → ∞-
• Para o caso especial no qual f(a)=g(a)=0, f´ e g´ são contínuas, e 
g´(x) ≠0
(STEWART,2013)
Se o limite do lado direito existir (ou for ∞ ou - ∞).
Exemplificando
Encontre o 
Solução 
Podemos aplicar a Regra de l’Hospital:
Otimização da derivada
U4
52
Veja mais sobre a regra de l´Hospital em: <http://www.mat.ufmg.br/
ead/acervo/livros/Introducao%20ao%20Calculo%20Diferencial.pdf>. 
Acesso em: 18 ago. 2015. 
Dica
Otimização
Para resolver alguns problemas, precisamos encontrar o maior ou menor valor 
de uma determinada quantidade. Vamos agora compreender como a derivada 
fornece um modo eficiente de se resolver muitos problemas de otimização. 
Máximos e Mínimos Globais
O maior ou menor valor de uma função f em um domínio especificado é 
chamado de máximo global ou mínimo global de f. 
Os máximos e mínimos locais nos dizem onde a função é, localmente, 
maior ou menor. 
Os máximos ou mínimos globais nos fornecem o valor onde a função 
é maior ou menor em um domínio dado. 
Máximos e mínimos globais são chamados, algumas vezes, de valores 
extremos ou valores ótimos.
Lembre-se
Assimile
• f tem um mínimo global em p se f(p) é menor ou igual a todos os 
valores de f. 
• f tem um máximo global em p se f(p) é maior ou igual a todos os 
valores de f. 
Otimização da derivada
U4
53
Como podemos encontrar o máximo e o mínimo globais?
• Para encontrar o máximo e o mínimo globais de uma função contínua em 
um intervalo fechado: compare os valores da função em todos os pontos 
críticos do intervalo e nos extremos do intervalo. 
• Para encontrar o máximo e o mínimo globais de uma função contínua e 
um intervalo aberto ou no conjunto de todos os números reais: encontre o 
valor da função em todos os pontos críticos e esboce um gráfico. Considere 
os valores da função quando x se aproxima dos extremos do intervalo ou 
quando x tende a ±∞.
Exemplificando
Encontre o máximo e o mínimo globais de f(x)= x3- 9x2 -48x + 52 no 
seguinte intervalo -5≤ x ≤ 12.
Os pontos críticos desta função são x= -2 e x= 8 usando f´(x)= 3x2 -18x 
-48= 3 (x+2) (x-8), calculando os extremos do intervalo temos:
f(-5) = (-5)3- 9(-5)2- 48(-5)+ 52= -58
f(-2)= 104
f(8)= -396
f(12)= -92
Comparando esses valores, podemos ver que o máximo global no 
intervalo [-5,12] é 104 e ocorre em x= - 2, enquanto o mínimo global em 
[-5,12] é -396 e ocorre em x=8. 
Assimile
Problemas de Otimização
Para auxiliar na resolução de situações-problema de otimização pode-
se observar os seguintes passos:
1. Compreender o problema: consiste em ler e entender o problema.
Otimização da derivada
U4
54
2. Fazer um diagrama: fazer um diagrama indicando as quantidades 
dadas e pedidas no diagrama.
3. Introduzindo uma notação – Atribua um símbolo para a quantidade 
que deve ser maximizada ou minimizada (por ora vamos chamá-lo de 
Q). Selecione também símbolos (a, b, c, ..., x, y) para outras quantidades 
desconhecidas e coloque esses símbolos no diagrama.
4. Expresse Q em termos de outros símbolos da etapa 3.
5. Se Q for expresso como uma função de mais de uma variável na 
etapa 4, use as informações dadas para encontrar relações (na forma de 
equações) entre essas variáveis. Use então essas equações para eliminar 
todas menos uma das variáveis para a expressão Q. Assim Q = f(x), por 
exemplo. Escreva o domínio dessa função.
6. Use os métodos para encontrar os valores máximos e mínimos 
absolutos de f. 
(STEWART, 2013)
Exemplificando
Um pacote pode ser enviado pelo reembolso postal desde que a soma 
de seu comprimento mais o perímetro de sua base não exceda 2 m. 
Determine as dimensões do pacote de volume máximo que pode ser 
enviado, se a base é quadrada.
Solução: Sejam V - volume do pacote (m3);
 a - lado da base (m); 
 c- comprimento (m). 
Objetivo: Determinar as dimensões a e c que minimizam o volume do 
pacote. Sabemos que a soma de seu comprimento mais o perímetro de 
sua base (que é quadrada) não pode exceder 2 m, ou seja, c + 4a = 2, 
logo: c = 2 – 4a.
O volume do pacote é V = a2.c V = a2 (2 - 4a) = 2a2 - 4a3, com a∈ ]0,1/2[.
Determinando os pontos críticos: 
V´(a)= 0 → - 4a (3a - 1) = 0 ⇔ a=0 ou a= 1/3.
Otimização da derivada
U4
55
Como 0 ∉ (0,1/2), o único ponto crítico é em a= 1/3. 
Aplicando o teste da segunda derivada: V” (a) = 4 – 24a ⇒ V” (1/3) < 0.
Portanto, a=1/3 maximiza o volume do pacote. Assim, segue que c= 2/3. 
Exemplificando
Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular 
que está à margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo 
do rio. Quais são as dimensões do campo que têm maior área?
Ao tentar os campos rasos e extensos ou profundos e estreitos 
obtemos áreas relativamente pequenas, devemos encontrar aquela 
que produza a maior área. 
Assim, temos que maximizar a área A do retângulo. Sejam x e y a 
profundidade e a largura do retângulo (em metros). Então, expressamos 
A em termos de x e y: 
A= xy
Queremos expressar A como uma função de apenas uma variável: 
assim, eliminamos y expressando-o em termos de x. Sabemos que o 
comprimento total da cerca é de 1200m. Logo, 
2x+ y = 1200
Dessa equação, temos y= 1200 - 2x, resultando assim:
A= x (1200 - 2x) = 1200x – 2x2
Observe que x≥ 0 e x≤ 600 (de outra forma resultaria A < 0). Logo, a 
função que devemos maximizar é A(x) = 1200x- 2x2, 0 ≤ x ≤ 600
A derivada é A´(x) = 1200- 4x; logo, para encontrarmos os números 
críticos, resolve-se a equação: 1200 – 4x= 0, que nos fornece x=300.
O valor máximo de A deve ocorrer ou nesse número crítico ou em 
uma extremidade do intervalo. Desse modo, 
A(0) = 0, A(300) = 180000 e A(600) = 0, logo o valor máximo é 180000. 
Otimização da derivada
U4
56
Observa-se que A” (x)= - 4< 0 para todo x; logo, A é sempre côncava para 
baixo, e o máximo local em x= 300 deve ser um máximo absoluto. Assim, 
o campo retangular deve ter 300 m de profundidade e 600m de extensão. 
Reflita
Veja o material sobre aplicações de derivadas disponibilizado pela 
Universidade Federal de São Carlos. Disponível em <http://www.
dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1_aula14.pdf>. Acesso em: 19 ago. 
2015.
Pesquise mais
Faça você mesmo
Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja 
mínimo. 
Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada ao 
João? Vamos relembrar! 
Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 
900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaixo. 
O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para 
estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico 
para o cabo?
Fonte: Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf>. Acesso em: 19 ago. 2015.
Otimização da derivada
U4
57
Devemos achar o valor de forma a minimizar o custo de instalação do cabo. 
Logo, precisamos construir a função custo, baseada na figura apresentada no 
problema. Assim, a função é: 
Como x e 3000 – x não podem ser negativos, a região de interesse (domínio do 
problema) é o intervalo (0, 3000), onde devemos encontrar o mínimo absoluto de 
C. Então devemos derivar C para encontrar seus pontos críticos: 
Como x deve ser positivo e 1200 [0, 3000], segue que é o único ponto crítico 
de C, no domínio de interesse. Vamos verificar se esse ponto é de mínimo relativo?
 0 para todo x. Logo o ponto crítico x=1200 é o ponto de 
 mínimo relativo de C.
Elevando os dois membros ao quadrado, obtemos:
, assim temos
Logo
Atenção!
Para sabermos se é mínimo absoluto precisamos comparar o valor de C 
neste ponto com os valores nos extremos do domínio. 
Assim, temos:
C(0) = 16 500 C(1200) = 14 700 e C(3000) =15 660.
O custo mínimo para a instalação do cabo será de R$ 14 700 e, para obtê-lo deverá 
percorrer 1800 metros por terra, a partir da fábrica, e depois ir por água até a usina.
Otimização da derivada
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• f tem um mínimo global em p se f(p) é menor ou igual a todos os 
valores de f. 
• f tem um máximo global em p se f(p) é maior ou igual a todos os 
valores de f.
Lembre-se
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações 
que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de 
seus colegas.
Maximização da Receita
1. Competência de 
fundamentos de área
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do 
profissional da área de exatas.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar o conceito de máximo e mínimo global em situações-
problema.
3. Conteúdos relacionados Conceito de máximo e mínimo global.
4. Descrição da SITUAÇÃO-
PROBLEMA
Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Blu-ray 
por semana a $350 cada. Uma pesquisa de mercado indicou 
que para cada $10 de desconto oferecido aos compradores, 
o número de unidades vendidas aumenta 20 por semana. 
Encontre a função demanda e a função receita. Qual o desconto 
que a loja deveria oferecer para maximizar sua receita?
5. Resolução da SITUAÇÃO-
PROBLEMA
Se x for o número de reprodutores de Blu-ray vendidos por 
semana, então o aumento semanal nas vendas será x- 200. Para 
cada aumento de 20 unidades vendidas, o preço cai em $10. 
Portanto, para cada unidade adicional vendida, o decréscimo no 
preço será 1/20 x 10 e a função demanda será P(x)= 350 – 10/20 
(x- 200)= 450 – 1/2x. 
A função receita é R(x)= xp(x)= 450x – 1/2x2
Como R´(x)= 450 –x, vemos que R´(x)=0 quando x=450. Este 
valor de x dá um máximo absoluto pelo teste da primeira 
derivada (ou simplesmente observando que o gráfico de R é uma 
parábola que abre para baixo). O preço correspondente é
p(450)= 450 – ½(450) = 225
e o desconto é 350 – 225= 125. Portanto, para maximizar a 
receita, a loja deveria oferecer um desconto de $125. 
Otimização da derivada
U4
59
Faça você mesmo
A soma de dois números positivos é 16. Qual é o menor valor possível 
para a soma de seus quadrados?
1. O valor do é:
a) 0
b) ∞
c) 1
d) lnx
e) 1/x
2. Quando uma pessoa tosse, o raio da traqueia diminui, afetando a 
velocidade do ar na traqueia. Se r0 é o raio normal da traqueia, a relação 
entre a velocidade v do ar e o raio r da traqueia é dada por uma função 
da forma v(r) = a r2 (r0 – r), onde a é uma constante positiva. Qual o raio 
para o qual a velocidade do ar é máxima:
a) r = 0
b) r = r
0
c) r = 2 r
0
d) r = r
0
/2
e) r = 2/3r
0
3. Um jardineiro deseja construir um jardim retangular usando a lateral da 
sua casa e utilizando 40 metros de cerca. Determine a maior dimensão 
deste jardim.
Faça valer a pena!
Otimização da derivada
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60
a) 20
b) 15
c) 5
d) 25
e) 7
4. Um avicultor deseja construir um cercado retangular com 600m², 
sendo que:
• A três laterais serão cercadas utilizando madeira a um custo de R$ 
14,00 o m²
• A quarta lateral será construída utilizando bloco de cimento com o 
custo de R$ 28,00 o m²
Determine as dimensões que minimizarão o custo deste cercado. 
a) 20 e 30
b) 15 e 10
c) 30 e 40
d) 50 e 60
e) 35 e 65
5. As dimensões de uma embalagem retangular que possui a base 
quadrada e volume igual a 8.000 cm³ que possam ser feitas com o 
mínimo de material possível são:
Otimização da derivada
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a) 30,30, 30
b) 10,10, 10
c) 20, 20, 20
d) 40,40, 40
e) 10, 20, 40
6. Construa o gráfico da função e da sua derivada. Estime a altura e a 
taxa de crescimento quando uma criança atinge a idade de 2 anos. 
7. Quando a taxa de crescimento é máxima e mínima? Quanto valem 
estas taxas?
Otimização da derivada
U4
62
Otimização da derivada
U4
63
Referências
REFERÊNCIAS FINAIS DA UNIDADE
HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC - 
Livros Técnicos e Científicos, 2009. PLT 178.
ANTON, Howard. Cálculo – volume I. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES
HUGHES-HALLET, Deborah; MCCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew 
M. et al. Cálculo: a uma e a várias variáveis - Vol. 1. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2011. Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/
books/978-85-216-1955-0>. Acesso em: 3 mar. 2015.
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno 
e suas aplicações: tópicos avançados, 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 
Disponível em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/
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ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: 
ilustrado, prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2012. Disponível em: 
<http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2128-7>. Acesso em: 3 
mar. 2015.
ANTON, Howard. BIVENS, Irl. Davis, Stephen. Cálculo. 8. ed. São Paulo: 
Bookman, 2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HE
UqubpIC&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9
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MALTA, Iaci. PESCO, Sinésio. LOPES. Hélio. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio 
de Janeiro: PUC-RIO, 2007. Vol. II. Disponível em: <http://books.google.com.
br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-
BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsASI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%
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U4
64 Otimização da derivada
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à 
administração, economia e contabilidade. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2012.
SIMMONS, G. F., Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill 1987.
STEWART, J. Cálculo I. V. 1. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.