Resumo Transformações Lineares

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Resumo Transformações Lineares
Transformações Lineares Arbitrárias
Definição
	Se T: V → W é uma função de um espaço vetorial V em um outro espaço vetorial W, então T é chamada uma transformação linear de V em W se, para quaisquer vetores u e v em V e qualquer escalar c valem:
T (u + v) = T(u) + T(v)
T (c v) = c T(v)
No caso especial em que V = W, a transformação linear é chamada um operador linear de V.
Teorema 1
	Se T: V → W é uma transformação linear, então:
T(0) = 0
T (-v) = - T(v), para qualquer v em V
T (v – w) = T(v) – T(w), para qualquer v e w em V.
Definição
	Se são transformações lineares então a composta de denotada por é a função definida pela fórmula:
Onde u é um vetor em U.
Teorema 2
Se são transformações lineares, então (): U → W também é uma transformação linear.
Núcleo e Imagem
Definição
	Seja T: V → W uma transformação linear. O conjunto dos vetores V em T leva em 0 é chamado de núcleo de T, que nós denotamos por Nuc(T) ou Ker(T). O conjunto de todos os vetores em W que são imagem por T de pelo menos um vetor em V é chamado a imagem de T, que nós denotamos por Im(T).
Teorema 1
	Se T: V → W é uma transformação linear, então:
O núcleo de T é um subespaço de V.
A imagem de T é um subespaço de W.
Definição
	Seja T: V → W uma transformação linear. A dimensão da imagem de T é chamada o posto de T, que nós denotamos por pos(T). A dimensão do núcleo de T é chamada de nulidade de T, que nós denotamos por nul(T).
Teorema 2
	Se A é uma matriz m x n e é a multiplicação por A, então:
Nul() = nul(A)
Pos() = pos(A)
Teorema 3
	Se T: V → W é uma transformação linear de um espaço vetorial n-dimensional V para um espaço vetorial W, então:
Pos(T) + nul(T) = n
Transformações lineares inversas
Definição
	Uma transformação linear T: V → W é dita injetora se T leva vetores distintos de V em vetores distintos em W.
Teorema 1
	Se T: V → W é uma transformação linear, então as seguintes afirmações são equivalentes:
T é injetora.
O núcleo de T contém somente o vetor nulo, isto é, Nuc(T) = {0}.
Nul(T) = 0
Teorema 2
	Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T: V → V é um operador linear, então as seguintes afirmações são equivalentes:
T é injetora.
Nuc(T) = {0}
Nul(T) = 0
A imagem de T é v, ou seja, Im(T) = V.
Teorema 3
	Se são transformações lineares injetoras, então:
 é injetora.
Matrizes de transformações lineares arbitrárias
Teorema 1
	Se T: é uma transformação linear e se B e B’ são as bases canônicas de , respectivamente, então:
 = [T]
Teorema 2
	Se são transformações lineares e B, B’’ e B’ são bases de U, V e W, respectivamente, então:
Teorema 3
	Se T: V → W é um operador linear e se B é uma base de V, então as seguintes afirmações são equivalentes:
T é injetor.
é invertível.
Semelhança
Teorema 1
	Se B e B’ são bases de um espaço vetorial de dimensão finita V e se I: V → V é o operador identidade, então é a matriz de transição de B’ para B.
Teorema 2
	Seja T: V → V um operador linear no espaço vetorial de dimensão finita V e sejam B e B’ bases de V. Então:
, onde P é a matriz de transição de B’ para B.
Definição
	Se A e B são matrizes quadradas, dizemos que B é semelhante a A se existe uma matriz invertível P tal que B = AP.
Definição
	Dizemos que uma propriedade de matrizes quadradas é invariante por semelhança ou que é a propriedade é um invariante de semelhança, se ela é compartilhada por quaisquer duas matrizes semelhantes.