algebra linear - combinação

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ÁLGEBRA LINEAR
Combinação Linear, Subespaços 
Gerados, Dependência e 
Independência Linear
Prof. Susie C. Keller
Combinação Linear
 Sejam os vetores v1, v2, ..., vn do espaço vetorial V 
e os escalares a1, a2, ..., an. Qualquer vetor v  V da 
forma:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn.
Combinação Linear
 Exemplos:
 No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau  2, o 
polinômio v = 7x2 + 11x – 26 é uma combinação linear dos 
polinômios:
v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x -8
De fato:
v = 3v1 + 4v2
pois:
Combinação Linear
 Exemplos:
 No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau  2, o 
polinômio v = 7x2 + 11x – 26 é uma combinação linear dos 
polinômios:
v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x -8
De fato:
v = 3v1 + 4v2
pois:
Combinação Linear
 Exemplos:
 No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau  2, o 
polinômio v = 7x2 + 11x – 26 é uma combinação linear dos 
polinômios:
v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x -8
De fato:
v = 3v1 + 4v2
pois:
Combinação Linear
2) Escrever v = (- 4, -18, 7) como combinação linear de 
v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1). 
Pretende-se que:
v = a1v1 + a2v2
(-4, -18, 7) = a1(1, -3, 2) + a2(2, 4, -1)
(-4, -18, 7) = (1a1, -3a1, 2a1) + (2a2, 4a2, -1a2)
Combinação Linear
Subespaços Gerados
 Seja V um espaço vetorial. Consideremos um 
subconjunto A={v1, v2, ..., vn}  V, A  . 
 O conjunto S de todos os vetores de V que 
são combinações lineares dos vetores de A é 
um subespaço vetorial de V.
Subespaços Gerados
 De fato, se:
u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
e
v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn
são dois vetores quaisquer de S, pode-se escrever:
I) u + v = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + ... + (an + bn)vn
II) u = (a1)v1 + (a2)v2 + ... + (an)vn
Tendo em vista que u + v  S e que u  S, por serem 
combinações lineares de v1, v2, ..., vn, conclui-se que S é um 
subespaço vetorial de V.
Subespaços Gerados
 Simbolicamente, o subespaço S é:
S = {v  V/ v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn  IR}
Observações:
 Diz-se que o subespaço S é gerado pelos vetores v1, v2, ..., 
vn, ou gerado pelo conjunto A, e representa-se por: 
S = [v1, v2, ..., vn] ou S = G(A)
Logo, v1, v2, ..., vn são chamados geradores do subespaço S, 
enquanto A é o conjunto gerador de S.
Subespaços Gerados
 Para o caso particular de A = , define-se [] = {0}.
 A G(A), ou seja, {v1, v2, ..., vn}  [v1, v2, ..., vn].
 Se G(A) = V, A é um conjunto gerador de V.
Subespaços Gerados
 Exemplos:
1) Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o IR2, pois 
qualquer (x, y)  IR2 é combinação linear de i e j:
(x, y) = xi+ yj = x(1, 0) + y(0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x,y)
Então:
[i, j] = IR2
2) Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0) do IR3 geram o 
subespaço 
S = {(x, y, 0)  IR3/x, y  IR}
pois
(x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) 
Então:
[i, j] = S é um subespaço do IR3 e representa, 
geometricamente, o plano xOy.
Subespaços Gerados
Subespaços Gerados
 Observações:
 Dados n vetores v1, ..., vn de um espaço vetorial V, 
se w  V, tal que:
w = a1v1 + ... + anvn
Então
[v1, ..., vn, w] = [v1, ..., vn]
 Pois todo vetor v que é combinação linear de 
v1,...,vn,w também é combinação linear de v1, ..., vn.
Subespaços Gerados
 Supondo que v  [v1, ..., vn, w] então existem 
números reais b1, ..., bn, b tais que
v = b1v1 + ... + bnvn + bw
Mas
w = a1v1 + ... + anvn
logo
v = b1v1 + ... + bnvn + b(a1v1 + ... + anvn)
ou
v = (b1 + ba1) v1 + ... + (bn + ban)vn
Subespaços Gerados
 Portanto v é combinação linear de v1, ..., vn:
v  [v1, ..., vn]
 A recíproca, se v  [v1, ..., vn] , então v  [v1, ..., vn, w] é 
trivial, pois se:
v = b1v1 + ... + bnvn ,
então
v = b1v1 + ... + bnvn + 0w
Assim, sendo S um subespaço gerado por um conjunto A, ao
acrescentarmos vetores de S a esse conjunto A, os novos conjuntos
continuarão gerando o mesmo subespaço S. Logo, um subespaço S pode
ser gerado por uma infinidade de vetores, porém existe um número
mínimo de vetores para gerá-lo.
Espaços Vetoriais Finitamente 
Gerados
 Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe
um conjunto finito A, A  V, tal que V = G(A).
 Os exemplos vistos até agora são de espaços vetoriais
finitamente gerados.
 Ex.:
IR3 é gerado pelo conjunto finito de três vetores:
A = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} , pois
(x,y,z)  IR3, tem-se:
(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)
Espaços Vetoriais Finitamente 
Gerados
 Trataremos, em geral, de espaços vetoriais finitamente
gerados.
 Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamente
gerado é o espaço P de todos os polinômios reais.
 Ex.:
Dado A = {p1, ..., pn}  P onde pn é um polinômio
de grau n, qualquer combinação linear
a1p1 + a2p2 + ... + anpn tem grau ≤ n.
Espaços Vetoriais Finitamente 
Gerados
 Assim, o subespaço [p1, ..., pn] contém somente
polinômios de grau menor ou igual ao grau de pn.
 Como P é formado por todos os polinômios, existem
nele polinômios de grau maior que o de pn.
 Logo, G(A) ≠ P para todo conjunto finito A  P.
Dependência e 
Independência Linear
 O espaço vetorial IR3 pode ser gerado por três vetores
ou, também, por quatro ou por cinco vetores.
 Três vetores constituem o número mínimo necessário
para gerar o IR3.
 No caso da utilização de mais de três vetores para gerar
o IR3, sobram vetores no conjunto gerador.
 O nosso interesse é sempre que o conjunto gerador seja
o menor possível e, para isso, precisamos ter noção dos
conceitos de dependência e independência linear.
Dependência e 
Independência Linear
 Definição
Seja V um espaço vetorial e A = {v1, ..., vn}  V.
Consideremos a equação:
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 (1)
Sabemos que essa equação admite pelo menos uma
solução (solução trivial):
a1 = a2 = ... = an = 0
Dependência e 
Independência Linear
 O conjunto A é dito linearmente independente (LI),
ou os vetores são ditos linearmente independentes
caso a equação (1) admita apenas a solução trivial.
 Se existirem soluções ai ≠ 0, diz-se que o conjunto é
linearmente dependente (LD), ou que os vetores
v1, ..., vn são LD.
Dependência e 
Independência Linear
 Exemplos:
1) No espaço vetorial V = IR3, os vetores
v1 = (2, -1, 3), v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3, 1)
formam um conjunto linearmente dependente, pois:
3v1 + 4v2 – v3 = 0
ou seja
3(2, -1, 3) + 4(-1, 0, -2) - (2, -3, 1) = (0, 0, 0)
Dependência e 
Independência Linear
2) No espaço vetorial V = IR4, os vetores
v1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (0, 5, -3, 1) e v3 = (0, 0, 4, -2)
formam um conjunto linearmente independente.
De fato:
a(2, 2, 3, 4) + b(0, 5, -3, 1) + c(0, 0, 4, -2) = (0, 0, 0, 0)
(2a, 2a, 3a, 4a) + (0, 5b, -3b, b) + (0, 0, 4c, -2c) = (0, 0, 0, 0)
(2a + 0 + 0, 2a + 5b + 0, 3a -3b + 4c, 4a + b -2c) = (0, 0, 0, 0)
Dependência e 
Independência Linear
Dependência e 
Independência Linear
 Teorema
“Um conjunto A = {v1, ..., vi, ..., vn} é LD se, e
somente se, pelo menos um desses vetores é
combinação linear dos outros.”
 A demonstração é constituída de duas partes:
1º) Seja A linearmente dependente.
Então, por definição, um dos coeficientes de:
a1v1 + .... + ai-1vi-1 + aivi + ai+1vi+1 +.. + anvn = 0
deve ser diferente de zero.
Dependência e 
Independência Linear
 Supondo que ai ≠ 0, vem:
aivi = - a1v1 - .... - ai-1vi-1 - ai+1vi+1 - ... - anvn
ou
 Portanto, vi é uma combinação linear dos outros
vetores.
n
i
n
1i
i
1i
1i
i
1i
1
i
1
i va
a...v
a
av
a
a...v
a
av  
Dependência e 
Independência Linear
2º) Seja vi uma combinação linear dos outros vetores.
Temos que:
vi = b1v1 + .... + bi-1vi-1 + bi+1vi+1 + ... + bnvn
ou, ainda:
b1v1 + .... + bi-1vi-1 – 1vi + bi+1vi+1 + ... + bnvn = 0
e, portanto, a equação
b1v1 + .... + (–1)vi + ... + bnvn = 0
 Se verifica para bi ≠ 0 (bi = -1). Logo, A é LD.
Dependência e 
Independência Linear
 Observações:
1) O último teorema pode ser enunciado de forma 
equivalente:
“Um conjunto A = {v1, ..., vi, ...,vn} é LI se, e 
somente se, nenhum desses vetores for combinação 
linear dos outros.”
2) Para o caso particular de dois vetores, temos:
“Dois vetores v1 e v2 são LD se, e somente se, um 
vetor é múltiplo escalar do outro.”
Dependência e 
Independência Linear
 Exemplo:
Os vetores v1 = (1,-2,3) e v2 = (2,-4,6) são LD, pois
ou
v2 = 2v1.
Já, os vetores v1 = (1,-2,3) e v2 = (2,1,5) são LI, pois
v1 ≠ k v2   k  IR.
21 v2
1v 
Dependência e 
Independência Linear
 Nos gráficos abaixo é apresentada a interpretação geométrica da
dependência e independência linear
Dependência e 
Independência Linear
Dependência e 
Independência Linear
 Propriedades
Seja V um espaço vetorial.
I) Se A = {v}  V e v ≠ 0, então A é LI.
De fato:
Como v ≠ 0, a igualdade
av = 0
só se verifica se a = 0.
Obs.: Considera-se, por definição, o conjunto  é LI.
Dependência e 
Independência Linear
II) Se um conjunto A  V contém o vetor nulo, então
A é LD.
De fato:
Seja o conjunto A = {v1, ..., 0, ..., vn}.
Então, a equação
0. v1 + ... + a.0 + ... + 0.vn = 0
se verifica para todo a ≠ 0. Portanto, A é LD.
Dependência e 
Independência Linear
III) Se uma parte de um conjunto A  V é LD, então A
é também LD.
De fato:
Sejam A = {v1, ..., vr, ..., vn} e sua parte
A1 = {v1, ..., vr}  A, A1 é LD.
Como A1 é LD, existem ai ≠ 0 que verificam a
igualdade:
a1v1 + ... + arvr = 0
e esses mesmos ai ≠ 0 verificam também a igualdade:
Dependência e 
Independência Linear
a1v1 + ... + arvr + 0.vr+1 + ... + 0.vn = 0
Logo, A = {v1, ..., vr, ..., vn} é LD.
IV) Se um conjunto A  V é LI, qualquer parte A1 de A
é também LI.
De fato:
Pela propriedade anterior, se A1 fosse LD, A
também seria LD, o que contradiz a hipótese.
Dependência e 
Independência Linear
 Observação:
Se todos os subconjuntos próprios de um conjunto
finito de vetores são LI, não significa que o conjunto
seja LI.
Ex.:
Se considerarmos os vetores e1=(1,0), e2=(0,1) e
v=(4,5), verificamos que cada um dos subconjuntos:
A1 = {e1, e2}, A2 = {e1, v} e A3 = {e2, v} são LI.
Porém o conjunto A = {e1, e2, v} é LD.
Dependência e 
Independência Linear
V) Se um conjunto A = {v1, ..., vn}  V é LI e
B = {v1, ..., vn, w} é LD, então w é combinação linear
de v1, ..., vn.
De fato:
Como B é LD, existem escalares a1, ...,an, b, nem
todos nulos, tais que:
a1v1 + ... + anvn + b.w = 0
Se b = 0, então algum dos ai não é zero na igualdade:
a1v1 + ... + anvn = 0
Dependência e 
Independência Linear
Porém este fato contradiz a hipótese que A é LI.
Consequentemente, tem-se b ≠ 0, e, portanto:
b.w = -a1v1 - ... -anvn
o que implica:
isto é, w é combinação linear de v1, ..., vn.
n
n
1
1 v
b
a...v
b
aw 