Métodos Computacionais 2 - 2º E.E. - Antônio Mendes

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Avaliação de MC2
[2.5] 1. Engenheiros ambientais e biomédicos precisam frequentemente prever o resultado
de uma relação predador-presa ou hospedeiro-parasita. Um modelo simples para prever
esse tipo de relação é dados pelas equações de Lotka-Volteira:
dH
~dt = g\H-d\PH —dt
onde H e P são, respectivamente, por exemplo, o número de hospedeiros e parasitas
presentes. As contantes d e g representam as taxas de mortalidade e crescimento,
respectivamente. O índice l refere-se ao hospedeiro e o índice 2, ao parasita. Observe que
as equações formam um sisiema de equações acopladas. Considere a situação de uma
experiência, envolvendo parasitas(E)-e4iospedeiros(H) onde no início da experiência as
populações são, respectivamente^5e_20v' Sabendo que gl = l, dl = 0.1, g2 = 0.02 e d2 =
0.5, determine os valores das populações de hospedeiros e parasitas após l dia e 2 dias do
início do experimento. Observe que a unidade tempo é dia.
[2.5] 2. Resolva a equação diferencial dy/dx = 2x + 3 e determine o valor aproximado de
y(l). Sabe-se que y(0)=O. Determine o erro de sua^olugão.
[2.5] 3. Seja a equação diferencial dy/dx = -y2. Sabe-se que y(l)=l,000, y(l,l)=0,9090;
y(l,2)=0,8333. Considere h = 0.1 e determine o valor aproximado de y(l,4) e modo a obter
_ojpenor erro^Mostre todos os passos da solução.
[2.5] 4. Considere a EDO: y' = -y + x +2. Use h = 0.1 e, usando o método de Taylor de 2*
ordem, determine o valor aproximado de y(O.l), y(0.2) e y(0.3). Sabe-se que a solução
analítica desta EDO é dada por: y(x) = e~x +x+l ,ea figura abaixo ilustra a função y(x).
Obtenha os erros de sua solução.
2.5
1.5
0.5
y (x)
0.2 OA 0.6 O.8
Notas: (1) Você deve mostrar todos os passos de suas soluções. (2) As fórmulas dos métodos de
Runge-Kutta e Adams-Bashforth e Adams-Moulton são dadas no quadro e (3)não é permitida a
consulta a qualquer material. (4) A prova tem duração de 90 minutos.
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Avaliação de MC2
r „ • « „ - • - *[1,0] 1. Pòde-se obter uma 'aproximação de uma função subdividindo um dado intervalo
[x<?; z] em subintervalos de amplitude constante* genericamente chamada de h. Saberá
ainda que para calcular a direção da função incógnita y(xj em cada ponto, basta substituir
essa função por um segmento de reta, em cada um dós subintervalos. 'Estes segmentos"
darão a direção que ela (função) tem no início de cada dos subintervalos (veja Figura 1).
É possível obter y(z)? Como.
0,0
(o}'-L
V.Y
[2,0] 2. Seja o PVI (probiema.do valor inicial): y' = y, y(0) = 1. Utilize o método de Euler
para obter o valor aproximado1 de yjUOá) com erro (absoluto) inferior a 0.0005. Sabe-se
que a solução analítica deste PVI é y(x) = ex. yl,/, -,. _ e* "^ íotjr e • •.
[4.0] 3. Considere a EDO: y' = -y + x +2. ^ Sabe-se que h = 0.1 e que'y(0) = 2. Você deve
determinar.o valor aproximado de y(0.3). Os^valores da so!ução«xatá y(xj) são dados na
tabela. Resolva á EDO, usando os métodos gbaixo e obter os erros. Justifique qual o
método melhor resultado?
[2.0] bj Método com Derivadas[2.0]a) Método de Eulér Modificado
M.Euler Modificado M.Derívadas
O 0.0 2.000000
1 " ywi.-y-ihic, •
2 0.2
•-'"•V-í -i\.''^ a'<€-,?-/ C3 0.3
Eito
M.Euler Modificado
Erro
M.Derívadas
2.000000
2.004837
2.018731
2.040818
[3.0]f 4. Considere a EDO: dy/dx = -y2^. Sabe-se que h = 0.1 e que y(1).= 1. Sabe-se ainda
que a solução exáta da EDO é'y(x) = 1/x. 'Determine o valor aproximado de y(1.4) de
modo a obter o menor erro. Escolher urnjpétodo que assegure o merjQrjerto.'Justifique
sua escolha.
Notas: A prova tem duração de 00 minutos. Não é permitido consufta a qualquer material.
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Avaliação de MC2 j^.t., t.
[2,5]/T A equação diferencial é definida como uma equação que envolve uma função e
algumas de suas derivadas, da forma: >)(") (x) = f[x, y (x), y" '(x), , yín~1^ (x)]
Na engenharia o uso de equações diferenciais visa descrever o comportamento dinâmico de
sistemas físicos, como, por exemplo, no circuito mostrado na figura:
Ao fechar-se a chave S, pode-se analisar o comportamento dinâmico do circuito a partir da
Lei de Kirchofí/•& tensões: ^(t)^Rj(t)+L^^+^jj(t)dtdt
Derivando a equação: = di(t)" ' ' Cdt dt dt2
Substituindo a expressão da tensão e rearranjando a equação, temrse:
dt dt C 3,5
*.,
dx
Determinadas equações diferenciais podem ser solucionadas de forma simbólica, cuja
solução é uma expressão literal, fato nem sempre é possível. Neste caso, a solução é a
utilização de integração numérica, como será visto na sequência.
dy f d y f j * / \ \ x$ — = dx => \~z-~\dx => ln(y) + cl ~x+c2 ou y(x) = e = ae
y * y J
Observe que a solução da equação diferencial resulta numa família de curvas que
dependem da constante a, como pode ser visto na figura abaixo. Uma solução particular
pode ser obtida a partir das condições iniciais do problema. A especificação de uma
condição inicial define uma solução entre a família de curvas. Sabendo disso, resolva a
equação diferencial ordinária y' - y. Considere y(0) =1 e h = 0,02. Utilize o método de
Eulerjpara obter o valor aproximadojde y(OJM)i ejáetóraúnejoerro da solução.,
Í2.5IX Seja a equação diferencial dy/dx = -y2. Sabe-se que y(l)=l,000, y(l,lH>,9090;
y(l ,^ >=0,8333. Considere h = O J e usando uínjsétodoJe^passoAslnipks^ determine o valor
aproximado de y(l,3) de modo a obterjjjnenor erro. Mestre todos os passos da solução.
" ~~~ " • . ^-JL í^[2.5] 3. Determine o valor aproximado de y(0.8) da EDO dy/dx = 0,04y de modo a obter o
menorerm,_SLalje-seh = 0.2ey(0)= 1000;y(0,2)= 1008,0321 jKM)351016,1287;
= 1024^903. Conhecendo o valor exato y(0,8) = 1032,5175, determine o erro da solução.
£2.5] 4. Obtenha o valor aproximado de y(2,l) resolvendo o PVI (problema do valor
inicial): xy' = x — y. Sabe-se que a condição inicial é y{2) = 2. Informe o método
empregado e justifique sua escolha. Quaisquer suposição feitas para essa solução devem ser
devidamente justificadas.
Notas: (1) Você deve mostrar todos os passos de suas soluções. (2) As fórmulas dos
métodos de Runge-Kutta e Adams-Bashforth e Adams-Moulton são dadas no quadro.
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