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APOST_MAT_APLICADA(EQ DE CALOR_SERIE_FOURIER)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
CAˆMPUS DE ILHA SOLTEIRA
unesp
AULAS DE
MATEMA´TICA APLICADA
Versa˜o 2015
Prof. Ernandes Rocha de Oliveira
Departamento de Matema´tica
Ilha Solteira - SP
2015
I´ndice de Aulas
Apresentac¸a˜o iv
Aula 1 1
A equac¸a˜o de conduc¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Princ´ıpio da superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
O me´todo de separac¸a˜o de varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Aula 2 8
Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
As fo´rmulas de Euler-Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Aula 3 17
O Teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Aula 4 25
Desenvolvimento de meio per´ıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Forma complexa da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Aula 5 36
Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Sobre convergeˆncia da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Aula 6 46
Resoluc¸a˜o do problema do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Barra sujeita a outras condic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
I´NDICE DE AULAS
iii
Equac¸a˜o do calor na˜o homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Aula 7 54
A equac¸a˜o da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exemplos de acordo com o tipo de forc¸as externas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exemplos de problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Resoluc¸a˜o por se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Harmoˆnicos, frequ¨eˆncia e amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Vibrac¸o˜es forc¸adas e ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Aula 8 64
Corda infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Soluc¸a˜o geral do problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A Fo´rmula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Um problema com extremidade livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Uma se´rie de Fourier especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Aula 9 76
O problema de Dirichlet em retaˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Aula 10 77
Noc¸o˜es sobre a transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Algumas propriedades da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Algumas aplicac¸o˜es da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Um problema unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Refereˆncias Bibliogra´ficas 92
MATEMA´TICA APLICADA ENG. MEC. E.R.O.
Apresentac¸a˜o
Esta apostila tem como objetivo servir de aux´ılio aos alunos das disciplinas de Ma-
tema´tica Aplicada a` Engenharia, disciplinas que usualmente teˆm sido oferecidas aos es-
tudantes do curso de Engenharia Mecaˆnica da FE-UNESP/Ilha Solteira. O conteu´do
deste trabalho corresponde aos programas atuais dessas disciplinas, que consistem em
alguns to´picos de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias, sobre a Transformada de Laplace e
sua aplicac¸a˜o a problemas de valor inicial em equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e se´ries de
Fourier com aplicac¸a˜o a problemas de contorno para as classes de equac¸o˜es diferenciais
parciais lineares importantes: a equac¸a˜o do calor (ou de difusa˜o), a equac¸a˜o de ondas e
a equac¸a˜o de Laplace. Ainda que na˜o conste do programa da disciplina, dedicamos pelo
menos uma aula ao to´pico Transformada de Fourier de modo muito ingeˆnuo, servindo
apenas como uma introduc¸a˜o ao assunto. A organizac¸a˜o deste trabalho visa facilitar sua
utilizac¸a˜o como material dida´tico por isso fizemos a divisa˜o por Aulas, cada Aula cor-
responde a 4h de trabalho na disciplina. E´ importante lembrar que esta apostila na˜o
pretende substituir os bons livros existentes sobre transformada de Laplace, equac¸o˜es di-
ferenciais ordina´rias e equac¸o˜es diferenciais parciais e que fazem parte das bibliografias
das disciplinas, por exemplo [1],[3],[5], dentre outros, sa˜o, na minha opinia˜o, excelentes
refereˆncias para um curso no mesmo n´ıvel em que tenho ministrado esta disciplina. Este
trabalho certamente apresenta erros e, desde ja´, agradec¸o a colaborac¸a˜o das pessoas in-
teressadas no assunto e que gostariam que um trabalho como este tivesse continuac¸a˜o,
apresentasse melhoras e pudesse cumprir seu destino.
Ilha Solteira, 21 de janeiro de 2015
Ernandes Rocha de Oliveira
Aula 1
O objetivo desta aula e´ apresentar um modelo matema´tico que descreve processos de
difusa˜o e o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, ou me´todo de Fourier, frequ¨entemente usado
para tentar resolveˆ-lo. Ao final, veremos como naturalmente surgem as chamadas se´ries
trigonome´tricas para o estudo desse e de outros fenoˆmenos f´ısicos.
A equac¸a˜o de conduc¸a˜o do calor
Vamos considerar um problema de conduc¸a˜o de calor numa barra cil´ındrica retil´ınea,
de sec¸a˜o reta uniforme e feita de um material homogeˆneo.
-
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
x=0 x=l
x
�
�
�
���
u(x,t)
Sejam x o eixo da barra, x = 0 e x = l as extremidades da barra. Suponhamos que
as superf´ıcies laterais da barra estejam perfeitamente isoladas, de modo que na˜o haja
passagem de calor atrave´s delas. Admitiremos tambe´m, que as dimenso˜es da sec¸a˜o reta
sa˜o ta˜o pequenas que a temperatura, que aqui denotaremos por u, pode ser considerada
uniforme sobre qualquer sec¸a˜o reta da barra. Assim, a temperatura u, e´ func¸a˜o somente
da coordenada x e do tempo t. A equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor tem a seguinte forma
(para uma deduc¸a˜o dessa equac¸a˜o, a partir das hipo´teses consideradas aqui, consulte [4,
pa´g. 1-11] ou [1, pa´g. 431-434]).
∂u
∂t
(x, t) = α2
∂2u
∂x2
(x, t), 0 < x < l , t > 0 . (1.1)
Na equac¸a˜o (1.1), α2 e´ uma constante, chamada constante de difusividade te´rmica
e so´ depende do material da barra. Vamos supor tambe´m que a distribuic¸a˜o inicial de
Princ´ıpio da superposic¸a˜o 2
temperatura seja dada por uma func¸a˜o f(x)
u(x, 0) = f(x), 0 6 x 6 l .
Vamos admitir que
u(0, t) = 0 e u(l, t) = 0, t > 0 .
O problema da conduc¸a˜o do calor consiste em determinar uma func¸a˜o u(x, t) satisfazendo
∂u
∂t
(x, t) = α2
∂2u
∂x2
(x, t) (equac¸a˜o do calor homogeˆnea)
u(x, 0) = f(x) (condic¸a˜o inicial)
u(0, t) = 0 , e u(l, t) = 0 (condic¸o˜es