Baixe o app para aproveitar ainda mais
Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!
LISTA_00_2013_2_REVISAO_Matrizes_Sistemas
Compartilhar
Prévia do material em texto
ÁLGEBRA LINEAR
LISTA 00
REVISÃO: MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
LINEARES
1 Sejam �, �, �, e � matrizes inversíveis quaisquer. Logo, ������ ������ é igual a:
(A) �
(B) �
(C) �
(D) �
2 Simplificando a expressão matricial:
3�8� − 5�� + 4�4� − 6��,
obtemos:
(A) �
(B) −� + 2�
(C) −3�
(D) � + �
3
A matriz � tal que ��� + 2 �1 −25 0 ��� = 5 �3 −11 7 � é:
(A) � = � 9 −1513 35 �
(B) � = �13 −159 35 �
(C) � = �15 −139 35 �
(D) � = �15 13−9 35�
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
2
4 Sendo �, � e matrizes quaisquer assinale a alternativa falsa:
(A) � + � = � + �
(B) Se � = −� então � = 0
(C) Para toda matriz quadrada �, as matrizes � e �� têm a mesma
diagonal principal.
(D) Se o elemento !"# da matriz � é igual a 7 então o elemento !#"
de �� é igual a −7.
5 O valor de $ tal que ��� = 0, sendo � = [$ 4 − 2] e � = [2 − 3 5]
é:
(A) $ = 13
(B) $ = −21
(C) $ = 11
(D) $ = 7
6 Sendo � e � matrizes simétricas assinale a afirmativa correta:
(A) � = −��
(B) � = �� + ', sendo ' a matriz identidade.
(C) �� + ��� = �� + ��
(D) ����� = ����
7 Seja a matriz � dada por:
� = (1 1 01 0 01 2 )*
O(s) valor(es) de ) para o(s) qual(is) a matriz � é inversível é (são):
(A) ) = −3 ou ) = 2
(B) ) = −3
(C) ) ≠ 0
(D) ) = 0
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
3
8 A matriz � = �!,-� de tamanho 3 × 3 tal que:
!,- = /0 + 1, 23 0 ≤ 10, 23 0 > 1
é:
(A) � = (2 3 40 4 54 0 6*
(B) � = (2 3 40 4 50 5 6*
(C) � = (2 3 43 4 50 0 6*
(D) � = (2 3 40 4 50 0 6*
9 Se uma matriz � possui sua inversa igual a sua transposta, ou seja, �� = �� , podemos afirmar corretamente que:
(A) det��� = 0
(B) det��� = ±3
(C) det��� = ±2
(D) det��� = ±1
10 Os valores de !, e b tais que: 3 �!:� − 2 �:0� = �14�
são:
(A) a = < e : = =#
(B) a = � < e : = =#
(C) a = >< e : = ?#
(D) a = ?< e : = �?#
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
4
11 A condição que deve ser imposta as matrizes � e � para que seja
verdadeira a igualdade:
�" − �" = �� − ���� + ��
é:
(A) A = 2B
(B) AB = BA = I
(C) AB = BA
(D) A = B�
12 Considere a seguinte matriz �:
� = (5 −4 21 −2 20 −11 4*
A matriz C tal que C� = (0 −11 41 −2 25 −4 2*
é:
(A) H = (0 0 11 1 01 0 1*
(B) H = (0 1 10 1 01 0 0*
(C) H = (0 0 10 1 01 0 0*
(D) H = (0 0 10 1 01 1 0*
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
5
13 Considere seguinte matriz �:
� = (1 2 33 5 12 −11 4*
As matrizes C e C" tais que: C"C � = (1 2 30 −1 −80 −15 −2* são:
(A) H = ( 2 0 0−3 1 00 0 1* e H" = (
1 0 00 2 0−2 0 1*
(B) H = (1 0 03 1 00 0 1* e H" = (
1 0 00 1 02 0 1*
(C) H = (1 0 00 1 00 0 1* e H" = (
1 0 00 −1 0−2 0 1*
(D) H = ( 1 0 0−3 1 00 0 1* e H" = (
1 0 00 1 0−2 0 1*
14 O traço da matriz �, denotado por )E��� é a soma dos elementos da
diagonal principal de �. Sendo, F = �−13 � e G = �25�
o traço do produto F. G� é:
(A) não existe.
(B) 13
(C) −30
(D) 1
15 Se � $ IJ K� �24� = �00� então necessariamente:
(A) $ = I = 0;
(B) $ = I = J = K = 0;
(C) $ = I e J = K;
(D) $ = −2I e J = −2K;
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
6
16 Considere as seguintes matrizes � e � dadas por:
� = ( 2 −1 30 4 5−2 1 4* e � = (
8 −3 −50 1 24 −7 6 *
A matriz � tal que satisfaz a equação:
)E���� + 3� = �
é:
(A) � = � # (48 −47 −787 −47 −5341 −42 22 * ;
(B) � = � " (−48 −47 −787 47 −5341 −42 −22*;
(C) � = " (−48 −47 −787 −47 −5341 −42 −22*;
(D) � = # (−48 −47 −787 −47 −5341 −42 −22* ;
17 Sendo a matriz �, dada por:
� = ($ − 4 0 00 $ 20 3 $ − 1*
Os valores de $ ∈ ℝ para os quais det��� = 0 são:
(A) $ = 4, $ = 3 e $ = −2
(B) $ = −4, x=3 e $ = −2;
(C) $ = −4, x=-3 e $ = 2;
(D) $ = 4, x=-3 e $ = −2;
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
7
18 Seja � = (2 2 31 2 12 −2 1*
e '# a matriz identidade de ordem 3. Então os valores de $ para os
quais det�� − $'#� = 0
são:
(A) $ = 4, $ = 3 e $ = −2
(B) $ = 2, x=4 e $ = −1;
(C) $ = −4, x=-3 e $ = 2;
(D) $ = 4, x=-3 e $ = −2;
19
Sejam � = �1 −3 00 4 −2� e � = O$IPQ. Assinale a alternativa correta.
(A) $� + I�" + P�# = �� sendo �- a coluna 1 da matriz �, com 1 = 1,2,3.
(B) $� + I�" + P�# = �� sendo �- a coluna 1 da matriz �, com 1 = 1,2,3.
(C) $� + I�" + P�# = � sendo �- a coluna 1 da matriz �, com 1 = 1,2,3.
(D) $� + I�" + P�# = −�� sendo �- a coluna 1 da matriz �, com 1 = 1,2,3.
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
8
20 Em relação a inversa da matriz,
R = (1 −4 56 3 25 2 3*
podemos afirmar que:
(A) Não existe.
(B) R� = ( 1.2272727 1 −4.0454545−0.3636364 1 1.2727273−2.1363636 −1 3.2272727 *
(C) R� = ( 0.2272727 1 −1.0454545−0.3636364 −1 1.2727273−0.1363636 −1 1.2272727 *
(D) R� = ( 2 1 0−1 −1 3.2727273−0.9363636 1 −1.2272727*
21 Utilizando o conceito de sistema linear, determine o valor dos
coeficientes !, :, S e T do polinômio
U�$� = !$# + :$" + S$ + T,
sabendo que U�0� = 10, U�1� = 7, U�3� = 11 e U�4� = −14.
22 Determine, se possível, o conjunto solução do seguinte sistema de
equações lineares:
V $ − 2$" − $# + 3$= = 12$ − 4$" + $# = 5$ − 2$" + 2$# − 3$= = 4
23 Considere o seguinte sistema de duas equações e duas incógnitas: /$ + �S + 1�I = 0S$ + I = −1
onde S ≠ 0, admite uma solução na forma �WX�, com $ = 1.
Determine, se possível, o valor de S.
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
9
24 Considere o sistema �� = :, sendo
� = Y 1 −2 32 Z 6−1 3 Z − 3[, � = Y
$ $"$#[ e : = Y
160[
onde Z ∈ ℝ. Sendo \ a soma de todos os valores de Z que tornam o
sistema impossível (sem solução) e ] a soma de todos os valores de Z que tornam o sistema possível e indeterminado. Determine, se
possível, o valor de \ − ].
25 Considere o seguinte sistema linear de três equações e três
incógnitas, $, I e P.
V $ + I + 3P = 2$ + 2I + 5P = 12$ + 2I + !P = : sendo ! e : constantes reais. Qual relação deve existir entre ! e : para que o sistema não tenha solução.
26 Sendo � = �1 10 0�, determine o conjunto de todas as matrizes �, de tamanho 2 × 2, tais que �� = ��.
27 Num escritório existem 3 impressoras: A, B e C. No período de 1
hora temos que:
- A e B juntas imprimem 150 folhas;
- A e C juntas imprimem 160 folhas;
- B e C juntas imprimem 170 folhas;
Em 1 hora quantas folhas irá imprimir a impressora A ?
28 Uma loja vende três tipos de lâmpadas �x, y, z�. Ana comprou 3
lâmpadas tipo x, 7 do tipo y e 1 do tipo z, pagando R$42,10 pela
compra. Beto comprou 4 lâmpadas tipo x, 10 do tipo y e 1 do tipo z,
totalizando R$47,30. Nas condições dadas, determine o valor da
compra das três lâmpadas, sendo uma de cada tipo, nesta loja.
29 Determine, se existir, os valoresde m para os quais a equação:
mx4 − �x − 2�m = 1
admite uma única solução.
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
10
30 Determine, as condições sobre os valores de !, :, S para que o
sistema linear de incógnitas $, I, P tenha solução.
V $ + 2I − 3P = !2$ + 6I − 11P = :P − 2I = S
31 Determine, se possível, as matrizes �, t ∈ �3×3�ℝ� tais que:
u2� − t = � + �� + t = � − �
32 Determine, se possível, o conjunto solução do seguinte sistema de
equações lineares:
V5$ + 3I − 11P = 134$ − 5I + 4P = 189$ − 2I − 7P = 25
33 Considere o seguinte sistema não linear nas incógnitas $ e I:
/2vwx#�$� + 3vwx"�I� = 7vwx#�$� − vwx"�I� = 1
Determine, se possível, o valor de $ + I:
34 Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z e w:
z 2$ − JI = −2$ + I = −1I + �J − 1�P + 2{ = 2P − { = 1
Determine, se possível, os valores de m para que o sistema tenha
infinitas soluções.
35 Seja a matriz C, dada por:
C =
|}
~! 0 : 0 $S 0 T $ 3 0 $ 0 0x $ ℎ 0 1$ 0 0 0 0
Determine, se possível, as condições sobre $ para que det�C� <−32.
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
11
36 Definição: Se � é uma matriz K × K e ,- é o cofator do elemento !,-
então a matriz
=
" … " "" … "⋮ ⋮ ⋮ ⋮ " …
é denominada a matriz dos cofatores de �. A transposta desta matriz
é denominada matriz adjunta da matriz �, denotada por �T1���.
Além disso, quando a matriz � é inversível, ou seja, det ��� ≠ 0,
temos sua inversa �� , dada por: �� = 1det��� �T1���
Assim, utilizando as expressões acima, determine, se possível, a
inversa da matriz � dada por:
� = Y3 2 −11 6 32 −4 0 [
37 A chamada equação característica de uma matriz �, K × K é dada
por:
det�� − '� = 0
onde ∈ ℝ e ' é a matriz identidade de ordem K. O número ∈ ℝ é
o chamado autovalor da matriz �. Assim, utilizando a expressão
acima determine os autovalores da matriz � dada por:
� = ( 0 −1 00 0 1−4 −17 8*
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
12
38 Para verificar que um conjunto � = , ", # formado por três
funções é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente
independente (L.I.), utilizamos o chamado Wronskiano, denotado
por [ , ", #] sendo obtido através do cálculo do seguinte
determinante:
[ , ", #] = T3) " #′ ′" ′#′′ ′′" ′′#
onde ′, e ′′, para 0 = 1,2,3 representam respectivamente, as
derivadas de primeira e segunda ordem da função , . Dizemos que
o conjunto � é L.I., quando existe $ ∈ ℝ tal que [ , ", #] ≠ 0,
caso contrário, ou seja, para todo $ ∈ ℝ, temos que [ , ", #] = 0
dizemos que o conjunto de funções é L.D.. Assim, verifique se o
conjunto
� = 1, 3W , 3"W
é L.I. ou L. D..
39 Podemos resolver um sistema linear na forma �$ = : através do
chamado método da fatoração . Neste método, fatoramos a
matriz � do sistema linear no seguinte produto:
� =
Sendo uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular
inferior. Assim, seguimos os seguintes passos:
Passo 1: Reescreva o sistema �$ = :, como $ = : ��
Passo 2: Definimos uma nova matriz I de tamanho K × 1, por: $ = I ��
Passo 3: Utilizamos a expressão $ = I e reescrevemos a expressão
(1), na forma: I = : ��
Passo 4: Resolvemos o sistema linear obtido em (3), obtendo I.
Passo 5: Substitua I na expressão (2) e obtenha o vetor solução do
sistema $.
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
13
Assim, determine através da fatoração LU, a solução do seguinte
sistema linear:
Y 2 6 2−3 −8 04 9 2[ Y
$ $"$#[ = Y
223[
Sabendo que a matriz � do sistema pode ser escrita na forma:
� = Y 2 6 2−3 −8 04 9 2[ = Y
2 0 0−3 1 04 −3 7[ Y
1 3 10 1 30 0 1[
40 A figura abaixo, mostra uma rede viária de ruas de mão única com
fluxo de tráfego nos sentidos indicados. As taxas de fluxo ao longo
das ruas são medidas pelo número médio de veículos por hora.
Construa e resolva um sistema linear cuja solução forneça as taxas
de fluxo desconhecidas.
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
14
GABARITO
Questão 1: D
Questão 2: A
Questão 3:
B
Questão 4:
D
Questão 5:
C
Questão 6:
C
Questão 7:
C
Questão 8:
D
Questão 9:
D
Questão 10:
C
Questão 11:
C
Questão 12:
C
Questão 13:
D
Questão 14:
B
Questão 15:
D
Questão 16:
D
Questão 17:
A
Questão 18:
B
Questão 19:
A
Questão 20:
C
Questão 21:
a = 1, : = −6 e S = 10;
Questão 22:
� =
2 + 22 − )2
1 + 2))
Álgebra Linear – Revisão Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Prof. Cassius
15
Questão 23:
c = −2
Questão 24:
\ − ] = −4
Questão 25:
! − : ≠ 2
Questão 26:
� = �I + { I0 {�
Questão 27:
70 folhas;
Questão 28:
R$31,70
Questão 29:
J ≠ 2, J ≠ −2 e J ≠ 0
Questão 30:
S + 2: − 5! = 0
Questão 31:
� = 2
3
� e t = 1
3
� − �
Questão 32:
Infinitas soluções
Questão 33:
11
Questão 34:
m = −1 ou m = 2
Questão 35:
$ < −2;
Questão 36:
|
}}~
1264 464 1264664 264 −1064−1664 1664 1664
Questão 37:
= 4, = 2 + √3 e = 2 − √3
Questão 38:
O conjunto � = 1, 3W , 3"W é L.I..
Questão 39:
$ = Y$ $"$#[ = Y
2−12 [
Questão 40:
� =
$ $"$#$= =
−100 + )−400 + )−500 + )) ,
) ∈ ℝ
Continue navegando
Materiais relacionados
3 pág.
Perguntas relacionadas
Compartilhar