lista03_AlgebraLinear_Mudanca_Base_2013_2_UNIT_2creditos

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LISTA 3 
ÁLGEBRA LINEAR (2013/2) 
(2 créditos) 
Matriz Mudança de Base 
 
 
 
QUESTÃO 1: Na álgebra linear especificamos os sistemas de coordenadas 
utilizando vetores em vez de eixos coordenados. Em geral são utilizados vetores 
unitários para identificar os sentidos positivos nos eixos e, então, associando 
coordenadas a um ponto �, utilizando os coeficientes escalares nas equações. 
Assim, se � = ����, ��	, … , ���� 
for uma base de um espaço vetorial 
 e se ���� = ����� + �	��	 +⋯+ ����� 
É a expressão de um vetor ���� ∈ 
 em termos da base �, os escalares ��, �	, … , �� 
são as denominadas coordenadas de ���� em relação à base �. Neste caso, 
utilizamos a seguinte notação: 
������� = ����	⋮��� 
Assim, sabendo que 
 � = ��1,2,1�, �2,9,0�, �3,3,4�� 
 
formam uma base do ℝ$, determine as coordenadas de ���� = �5, −1,9� em relação à 
base �, ou seja, ������'. 
 
 
QUESTÃO 2: Determine as coordenadas do vetor �� = �4, −5,3� ∈ ℝ$ em relação às 
bases: 
 
(a) �� = ��1,0,0�, �0,1,0�, �0,0,1�� 
 
(b) �	 = ��1,1,1�, �1,2,0�, �3,1,0�� 
 
 
QUESTÃO 3: Determine as coordenadas do polinômio (�)� = 2 + 4) + )	 em 
relação às seguintes bases de �	�ℝ�: 
 
(a) �� = �1, ), )	� 
 
(b) �	 = �1,1 + ), 1 + )	� 
 
 Álgebra Linear (2013/2) Prof. Cassius 
 
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QUESTÃO 4: Determine as coordenadas da matriz + = ,4 65 6. ∈ /	×	�ℝ� em 
relação à base de /	×	�ℝ� 
 � = 1,1 11 0. , ,1 10 1. , ,1 01 1. , ,0 11 1.2 
 
QUESTÃO 5: Considere o subespaço vetorial ℝ	 e as seguintes bases: 
 � = ��−3,−1�, �−1,3�� 3 = ��−1,1�, �1,1��
 
 
Determine as matrizes mudança de base /'4 e /4'. 
 
QUESTÃO 6: Considere o espaço vetorial real �	�ℝ�. A matriz mudança da base � = �1,1 + 5, 1 − 5	� para uma base 3 do mesmo espaço vetorial �	�ℝ� é dada por: 
 
/'4 = 61 2 31 −1 21 0 57 
Determine a base 3. 
 
 
QUESTÃO 7: O conjunto �	 ⊂ �	�ℝ� dado por: 
 � = �1 + 2) + )	, 2 + 9), 3 + 3) + 4)	� 
 
é uma base de �	�ℝ�. Utilizando o conceito apresentado no exercício (13), 
determine as coordenadas do polinômio: 
 (�)� = 2 + 17) − 3)	 
em relação à base �, ou seja, �(��. 
 
 
QUESTÃO 8: Sejam � = �;�, ;	, ;$� e 3 = ���, �	, �$� bases do ℝ$ que estão 
relacionadas da seguinte forma: 
 
<�� = ;� − ;	 − ;$�	 = 2;	+;$�$ = 3;� + ;$ 
 
(a) Determine as matrizes mudança de base /'4 e /4' 
(b) Seja � ∈ ℝ$ tal que as coordenadas de � em relação à base � são dadas 
por: 
 ���' = 61237 
Determine as coordenadas deste mesmo elemento em relação à base 3.