3ª Aula de Cálculo II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
A U L A 0 3
0 9 A B R I L 2 0 1 2
Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração
Prof. Cacico
01 de12
francis@vm.uff.br francis@poli.ufrj.br francis@uenf.br
Solução
EXERCÍCIO 06
Determinar ∫ −++ dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Seja u = x2 + 4x – 6 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + 4x – 6 
Então: 
42x
dx
du
+=
dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu +=+=
02 de 12
Logo, seja: dx 2)(x 
2
du
+=
Assim, 
Mas: 
∫ −++ dx 6)4xsen(x 2)(x
2
∫∫∫ ==−++ du sen(u)2
1
2
du
sen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Sabe-se que: 
Ccos(u)du sen(u) +−=∫ TABELA
03 de 12
Então: 
C)cos(u)(
2
1dx 6)4xsen(x 2)(x 2 +−=−++∫
C6)4xcos(x
2
1dx 6)4xsen(x 2)(x 22 +−+−=−++∫
Portanto: 
2∫
04 de 12
EXERCÍCIO 08
Determinar ∫ + dx x )xb(a 2
1
222
Solução
Seja u = a2 + b²x²
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
x2b²du =Seja u = a2 + b²x²
Assim, a
2b²
1
x2b²
dx
du
=
Logo: 2b²x dx = du
Cuu +=∫
2
3
2
1 23
2b²
1
 du )(
( )
∫
++
=+
3b²
b²x²a²
 dx x b²x²)²( 2
1 C
a
09 de 12
EXERCÍCIO 09
Determinar =
+∫
dx 3ax 222 xcb
Solução
Seja u = b2 + c²x²
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
x2c²du =
∫ +
dx x3 22 xcb
a
Seja u = b2 + c²x²
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
2c²
3a
x2c²
dx
=
Logo: 2c²x dx = du
Cu +=∫ ln.2c²
3a
 
u
du
( ) Cxcba ++=
+∫
²²²ln.
2c²
3
 dx 
²x²c²b
3ax
10 de 12
EXERCÍCIO 10
Determinar ∫
+
+ dx 
3
32x
2 xx
Solução
Seja u = x2 + 3x
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
32du += xSeja u = x2 + 3x 32
dx
+= x
Logo: (2x+3) dx = du
∫ 
u
du
( ) Cxxcuu ++=+== ∫∫∫ ³3²3
2
 du 
u
du
2
3
2
3
2
1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
11 de 12
EXERCÍCIO 11
Determinar ∫ + dt 32tt( 2
Solução
Seja u = 2t2 + 3
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
t4du =Seja u = 2t2 + 3 t4
dt
=
Logo: 4t dt = du
∫ = 4
1
 du u
4
1
∫ = 4
1
 du 21u Cu +
2
3
2
3
Ct ++= )³3²2(
6
1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
12 de 12