Aula 08 Integral Definida Parte II

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 08: Integral De�nida – Parte II
Apresentação
Nesta oitava aula, continuaremos o estudo das integrais e voltaremos à ideia de determinar a área de uma região. Porém, o
objetivo aqui será introduzir o conceito de integral de�nida e as consequências disso.
Além disso, vamos nos deparar com algumas técnicas que tornarão a resolução de integrais uma tarefa menos árdua.
Objetivos
Descrever o teorema fundamental do cálculo;
Aplicar a integração por partes na resolução de problemas;
Aplicar a integração por substituição simples na resolução de problemas.
A integral de�nida
Aluno, esta aula contém um documento <galeria/aula8/pdf/aula8.pdf> com todos os exemplos da aula sintetizados. Durante a
leitura, os exemplos serão referenciados para que os consulte.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0023/galeria/aula8/pdf/aula8.pdf
Na aula anterior, a medida da área de uma região foi de�nida como sendo o seguinte limite:
Você deve se recordar que chegamos a essa de�nição dividindo o intervalo fechado [a, b] em subintervalos de igual comprimento.
Além disso, tomamos ci como sendo o ponto do i-ésimo subintervalo no qual f tem um valor mínimo absoluto. Também
restringimos os valores funcionais a serem não negativos em [a, b] e exigimos que f fosse contínua em [a, b].
O limite (1) é um caso particular de um novo tipo de processo de limite, que levará à de�nição de integral de�nida.
Seja a função f de�nida no intervalo fechado [a, b], vamos dividir esse intervalo em n subintervalos, escolhendo qualquer dos 
(n - 1) pontos intermediários entre a e b.
Sejam xo = a e xn = b e x1, x2, …, xn - 1 os pontos intermediários, de tal forma que:
xo < x1 < x2 < ⋯ < xn - 1 < xn
Os pontos xo, x1, x2, …, xn - 1, xn não são necessariamente equidistantes. Seja ∆1x o comprimento do primeiro subintervalo, de tal
forma que ∆1x = x1 - xo; seja ∆2x o comprimento do segundo subintervalo tal que ∆2x = x2 - x1; e, assim por diante, de tal forma
que o comprimento do i-ésimo subintervalo seja ∆ix e ∆ix = xi - xi - 1.
Um conjunto de todos esses subintervalos do intervalo [a, b] é chamado uma partição do intervalo [a, b]. Seja ∆ tal partição.
limn → + ∞ ∑ni = 1f ci ∆ x (1)( )
 Figura 1: Partição ∆ do intervalo [a,b]. Fonte: Google Imagens.
A partição ∆ contém n subintervalos. Um deles é o maior; pode existir mais de um desses subintervalos. O comprimento do
maior subintervalo da partição ∆ , chamada norma da partição, é denotado por ǁ∆ǁ.
Vamos escolher um ponto de cada subintervalo da partição ∆ : seja ξ1 o ponto escolhido em xo, x1 de tal forma que 
xo ≤ ξ1 ≤ x1.
Tomemos ξ2 como o ponto escolhido em x1, x2 de tal forma que x1 ≤ ξ2 ≤ x2; e, assim por diante, de forma que ξ1 seja o ponto
escolhido em xi - 1, xi e xi - 1 ≤ ξi ≤ xi.
Temos, então, a soma:
Tal soma é denominada soma de Riemann.
[ ]
[ ]
[ ]
f ξ1 ∆1x + f ξ2 ∆2x + … + f ξi ∆ix + … + f ξn ∆nx 
ou
∑ni = 1f ξ i ∆ix
( ) ( ) ( ) ( )
( )
De�nições
Assim, temos as seguintes de�nições:
Seja f uma função cujo domínio inclui o intervalo fechado [a,b]. Então, f será integrável em [a,b] se existir um número L
satisfazendo a seguinte condição: para todo ε>0, existe δ>0 tal que toda partição ∆ para a qual ǁ∆ǁ<δ, com ξi no intervalo fechado 
xi - 1, xi , i = 1 ,2 , …, n, temos:
Nessas condições, escrevemos:
Se f for uma função de�nida no intervalo fechado [a, b], então, a integral de�nida de f de a até b , denotada por
será dada por
se o limite existir.
[ ]
 ∑ni = 1f ξi ∆ix - L < ε| ( ) |
lim | ∆ | → 0 ∑ni = 1f ξ i ∆ix = L( )
∫baf(x)dx
∫baf(x)dx = lim | ∆ | → 0 ∑
n
i = 1f ξi ∆ix( )
Dica
Você deve se familiarizar com as seguintes notações:
∫ba f(x)dx é a notação de integral de�nida;
f(x) é chamada de integrando;
a é o limite inferior e b é o limite superior; e,
∫ é chamado de sinal de integração.
Teoremas
Se uma função for contínua no intervalo fechado [a, b], então, ela será integrável em [a, b];
Seja f uma função contínua em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Seja R a região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo 
 x e pelas retas x = a e x = b. Então, a medida A da área da região R é dada por:
A = lim || ∆ x || → 0 ∑ni = 1f ξ i ∆ix = ∫
b
af(x)dx( )
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 1 e 2 no documento.
Os teoremas fundamentais do cálculo
Clique nos botões para ver as informações.
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer número em [a, b]. Se F for a função de�nida por:
O primeiro teorema fundamental do cálculo 
F(x) = ∫xaf(t)dt
Então,
F'(x) = f x( )
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja g uma função tal que g’(x) = f(x) para todo x em [a, b] . Então,
Se x = a, a derivada pode ser uma derivada à direita, e se x = b, a derivada pode ser uma derivada à esquerda.
O segundo teorema fundamental do cálculo 
∫baf(t)dt = g(b) - g(a)
Comentário
Devido à conexão entre integrais de�nidas e antiderivadas, usamos o sinal de integral ʃ para a notação ∫ f(x)dx de antiderivada.
Vamos dispensar agora a terminologia de antiderivadas e antidiferenciação e começaremos a chamar ∫ f(x)dx apenas de integral
inde�nida.
O processo de cálculo de uma integral inde�nida ou de�nida é chamado de integração.
Deve ser enfatizada a diferença entre uma integral inde�nida e de�nida. A primeira, ∫ f(x)dx, foi estabelecida como sendo uma
função g tal que sua derivada Dx[g(x)] = f x .
Por outro lado, a segunda ∫baf(x)dx, é um número cujo valor depende da função f e dos números a e b e foi de�nida como o
limite de uma soma de Riemann. A de�nição de integral de�nida não faz nenhuma referência à diferenciação.
A integral inde�nida envolve uma constante arbitrária; por exemplo,
A constante arbitrária C é chamada de constante de integração.
Ao aplicar o segundo teorema fundamental do Cálculo não é preciso incluir a constante arbitrária C na expressão de g(x), pois o
teorema permite-nos escolher qualquer antiderivada, inclusive aquela para a qual C = 0.
( )
∫x2dx =
x3
3 + C
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 no documento.
Integração por partes
Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito útil chamado de integração por
partes.
Se f e g forem funções diferenciáveis, então:
Integrando ambos os lados, obteremos:
Chamaremos (1) de fórmula de integração por partes.
Para propósitos de cálculo, existe uma maneira mais conveniente de escrever essa fórmula, tomando:
Então:
Assim sendo, (1) torna-se:
Dx[f(x)g(x)] = f(x)g
'(x) + g(x)f'(x)
f(x)g'(x) = Dx[f(x)g(x)] - g(x)f
'(x)
∫ f(x)g'(x)dx = ∫Dx[f(x)g(x)]dx - ∫g(x)f
'(x)dx
∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx 1 ( )
u = f(x) e v = g(x)
du = f '(x)dx e dv = g '(x)dx
∫u · dv = uv - ∫v · du
Agora, observe o exemplo 9 no documento.
Outras substituições
Em determinadas situações, a resolução de integrais inde�nidas ou de�nidas requer que sejam feitas substituições mediante
alguns artifícios.
Embora somente a prática contínua de resolução de variados exercícios garanta a habilidade necessária, observaremos
alguns exemplos em que esses artifícios devem ser empregados.
Observe o exemplo 10 no documento.
Saiba mais
Antes de ver o próximo exemplo, você precisa lembrar de como se dividem polinômios.
Para isso, consulte o material Teoria Polinômios <https://matika.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios---metodo-da-chave> .
Observe o exemplo 11 no documento.
Não há uma regra geral para determinar qual substituição resultará em um integrando
mais simples.
Dica
https://matika.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios---metodo-da-chave
Veja algumas identidades trigonométricas importantes para
serem aplicadas aos exercícios desta aula:
sin(a + b) = sina · cosb + cosa · sinb
sin(a - b) = sina · cosb - cosa · sinb
cos(a + b) = cosa · cosb - sina · sinb
cos(a - b) = cosa · cosb + sina · sinb
tg(a + b) =tga + tgb
1 - tga · tgb
tg(a - b) =
tga - tgb
1 + tga · tgb
A identidade tangente da soma só é aplicável quando: a ≠
π
2 + kπ, 
b ≠
π
2 + kπ e (a + b) ≠
π
2 + kπ.
A identidade tangente da diferença só é aplicável quando: 
a ≠
π
2 + kπ, b ≠
π
2 + kπ e (a - b) ≠
π
2 + kπ.
cotg(a + b) =
cotga · cotgb - 1
cotga + cotgb
cotg(a - b) =
cotga · cotgb + 1
cotgb - cotga
A identidade cotangente da soma só é aplicável quando: a ≠ kπ, 
b ≠ kπ e (a + b) ≠ kπ.
A identidade cotangente da diferença só é aplicável quando: 
a ≠ kπ, b ≠ kπ e (a - b) ≠ kπ.
Fórmulas de multiplicação e divisão
Clique nos botões para ver as informações.
Fórmulas para funções circulares de 2a 
cos(2a) = cos2a - sin2a
cos(2a) = 2 · cos2a - 1
cos(2a) = 1 - 2 · sin2a
sin(2a) = 2 · sina · cosa
tg(2a) =
2 · tg ( a )
1 - tg2a
Fórmulas para funções circulares de 
x
2

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções
trigonométricas de 
x
2 , conhecida uma das funções circulares
de x.
Sabemos que cos(2a) = 2 · cos2a - 1 e cos(2a) = 1 - 2 · sin2a,
portanto, fazendo 2a = x teremos:
cosx = 2 · cos2
x
2 - 1 → cos
x
2 = ±
1 + cosx
2
sin
x
2 = ±
1 - cosx
2
tg
x
2 = ±
1 - cosx
1 + cosx
Os sinais ± só têm sentido quando se conhece cosx, sem se
conhecer x. Assim, sabendo que cosx = cosxo, temos:
1. Solução 1: x = xo + 2kπ ⇔ 
x
2 =
xo
2 + kπ (I)
2. Solução 2: x = - xo + 2kπ ⇔ 
x
2 = -
xo
2 + kπ (II)
( ) √
( ) √
( ) √
As expressões (I) e (II) nos indicam que, dado cosx, existem 4 possíveis arcos 
x
2 , pois k pode assumir valores pares ou ímpares,
que dão origem a dois valores para cos
x
2 , sin
x
2 e tg
x
2 .( ) ( ) ( )
Em Álgebra Elementar, os recursos para transformar um polinômio em produto de
outros polinômios (fatoração) têm grande importância prática. Muitas vezes, esses
recursos podem ser aplicados à Trigonometria.
Transformações para produto
Vamos, então, às transformações para produto:
cosp + cosq = 2 · cos
p + q
2 · cos
p - q
2
cosp - cosq = - 2 · sin
p + q
2 · sin
p - q
2
sinp + sinq = 2 · sin
p + q
2 · cos
p - q
2
sinp - sinq = 2 · sin
p - q
2 · cos
p + q
2
tgp + tgq =
sin ( p + q )
cosp · cosq
tgp - tgq =
sin ( p - q )
cosp · cosq
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Dica
Veja algumas integrais inde�nidas importantes para você lembrar e aplicar nos exercícios desta aula:
∫undu =
un + 1
n + 1 + C se n ≠ - 1
ln|u| + C se n = - 1
∫eudu = eu + C
∫audu =
au
lna + C se a for um número positivo diferente de 1 
∫
du
√1 - u2
= sin - 1 u + C
∫
du
1 + u2
= tg - 1 u + C
∫
du
u√u2 - 1
= sec - 1 u + C
∫
du
√a2 - u2
= sin - 1 
u
a + C onde a > 0
∫
du
a2 + u2
=
1
a tg
- 1 
u
a + C onde a ≠ 0
∫
du
u√u2 - a2
=
1
a sec
- 1 
u
a + C onde a > 0
{
( )
( )
( )
Atividades
1. A integral inde�nida ∫
x2
x3 + 1
dx pode ser corretamente descrita por:
a) ln x2 + C| |
b) 
1
3 · ln |x| + C
c) ln |x| + C
d) 
1
3 · ln x
3 + 1 + C| |
e) ln x3 + 1 + C| |
2. A integral de�nida por ∫32
ln x
x dx representa gra�camente uma região cuja área em unidades quadradas é de:
a) 
( ln 3 ) 2
2 -
( ln 2 ) 2
2
b) 
( ln 3 ) 3
2 -
( ln 2 ) 3
2
c) 
ln 3
2 -
ln 2
2
d) ln 3 - ln 2
e) e3 - e2
3. A integral inde�nida dada por ∫
dx
3 - 2x pode ser representada corretamente por:
a) -
1
2 · ln |-3 + 2x| + C
b) ln |-2x| + C
c) -
1
2 · ln |3 - 2x| + C
d) ln |3 - 2x| + C
e) -
1
2 · ln |2x| + C
4. O valor da integral de�nida ∫41
x5 - x
3x3
dx é corretamente dado por: (Sugestão: divida o numerador pelo denominador).
a) 
3
4
b) 
10
3
c) 
15
7
d) 
13
9
e) 
27
4
5. Em um circuito elétrico, a força eletromotriz (E) varia com relação ao tempo (t) segundo a equação E = 2 · sin 3t.
Assim sendo, ache o valor médio de E no intervalo de tempo de t = 0 s a t=π3 s.
6. A integral definida ∫10
y2 + 2y
3√y3 + 3y2 + 4
dy corresponde à uma região cuja área em unidades quadradas é:
( )
a) 
1
3
b) 2 - 3√2
c) 2
d) √2
e) 2 - √2
7. A integral indefinida ∫
dx
√1 - 4x2
 é corretamente expressa por:
a) sin - 1 (2x) + C
b) sin - 1 (x) + C
c) 
1
2 · sin
- 1 (x) + C
d) 
1
2 · sin
- 1 (2x) + C
e) sin - 1 
x
2 + C( )
8. A área da região S pode ser calculada pela integral definida ∫ππ
2
(cos 2x - sin 2x)dx. Qual o valor em unidades quadradas para a área S?
a) 1
b) 
1
2
c) 
3
4
d) 2
e) 
1
3
9. Calcule o valor da integral de�nida dada por ∫π0cos 2x · cos 4x · dx
10. Resolva a integral inde�nida dada por ∫
1 + ln x
x · dx 
Notas
Teorema do Valor Médio 1
Seja f contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). Então, existe pelo menos um ponto c em (a, b),
tal que:
f ' (c) =
f ( b ) − f ( a )
b − a
 Interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio. Fonte: ANTON et al. (2007).
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
A integração por substituição trigonométrica;
A integração de funções racionais;
Integrais impróprias.
Explore mais
R i ó i d d l i i d i íd
Revise os tópicos estudados nesta aula assistindo aos seguintes vídeos:
“Cálculo integral: Integração por partes” <https://youtu.be/O2q45TzlsSM> ;
“Integração por substituição – exercícios resolvidos 1” <https://youtu.be/93_bEw4ZxWQ> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 39 - Teorema Fundamental do Cálculo” <https://youtu.be/NaIgyOeN8KM> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 40 - Teorema Fundamental do Cálculo - parte 2” <https://youtu.be/pi8et8w6epw> ;
https://youtu.be/O2q45TzlsSM
https://youtu.be/93_bEw4ZxWQ
https://youtu.be/NaIgyOeN8KM
https://youtu.be/pi8et8w6epw