CÁLCULO INTEGRAL 19-12-2015

Prévia do material em texto

GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO COMENTADO 
AV2 - 2015.2B - 19/12/2015 
CURSO 
DISCIPLINA CÁLCULO INTEGRAL 
PROFESSOR(A) ANTÔNIO MATIAS 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A E B D C C A D E D 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
 Página 2 de 6 
 
Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
1. Utilizando a regra de L’Hospital é 
possível calcula o limite o seguinte 
limite: 
 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
 
2. Seja , , a função dada 
implicitamente pela equação 
 Determine a equação da 
derivada . 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. Determine a função que representa a 
integral 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule a área do conjunto de todos os 
pontos tais que 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. Utilizando a regra de L’Hospital é 
possível calcula o limite o seguinte 
limite: 
a) 
b) 1 
c) 
d) 
e) 
 
7. Seja , , a função dada 
implicitamente pela equação 
 Determine a 
equação da derivada . 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 Página 3 de 6 
 
Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
8. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. Determine a função que representa a 
integral 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
10. Calcule a área do conjunto de todos os 
pontos tais que, , com 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO COMENTADO 
1) 
Aplicando a regra de L’Hospital 
 
 
2) 
Derivando 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
Aplicando a técnica de integração “por 
substituição de uma nova variável”: 
 
 
 
Substituindo essa nova variável na 
integral, temos: 
 
 
Assim, a solução da integral é dada por: 
 
 
4) 
 
 
 
 Página 4 de 6 
 
Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
Aplicando a técnica de integração “por 
partes”: 
 (expressão por 
integração por parte) 
 
Definindo a variável 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por 
partes, temos: 
(*) 
 
Ficamos com uma nova integral para ser resolvida 
, que também será aplicada técnica 
“por partes”: 
Definindo novamente a variável 
 
 
 
 
Definindo a variável 
 
 
Aplicando os termos e na expressão por 
partes, temos: 
 
Agora podemos substituir esta solução na 
integral dada no problema (*), que resulta em: 
 
 
 
Passando a integral do lado direito para o outro 
lado, ficaremos com uma soma de duas integrais; 
 
 
 
 
Assim, termos a solução: 
 
 
5) Se traçarmos um gráfico contendo 
as duas funções e , conforme figura 
seguinte, obteremos uma região que 
pode ser calculada por integração 
definida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
 Página 5 de 6 
 
Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 
 
 
 
 
 
6) 
Aplicando a regra de L’Hospital 
 
 
7) 
Derivando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
Aplicando a técnica de integração “por 
substituição de uma nova variável”: 
 
 
 
 
 
Substituindo essa nova variável na 
integral, temos: 
 
 
Assim, a solução da integral é dada por: 
 
 
9) Como 
, 
podemos aplicando a técnica de 
integração “por partes”: 
 (expressão por 
integração por parte) 
Definindo a variável 
 
 
 Definindo a variável 
 
 
 Aplicando os termos e na 
expressão por partes, temos: 
 
 
 
 
 
 Como 
 Então: 
 
 
 
 
 
 Ou 
 
 
 
 Página 6 de 6 
 
Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL Professor (a): ANTONIO MATIAS 
 Podemos agora a integral do lado 
direito para o outro lado, ficaremos com 
uma soma de duas integrais; 
 
 
 
 Assim, termos a solução: 
 
 
10. A ÁREA ENTRE AS CURVAS Y= X e Y=X² no 
intervalo que foi dado, ou seja: 
x maior ou igual a zero e x menor ou igual a 2. 
Precisamos calcular esta área primeiro de zero 
até 1, ou seja, a integral de; x-x² que é igual a 
1/2x² - 1/3x³ 
Substituindo pelos limites zero e 1 encontramos 
1/6 
Em seguida encontramos a área de 1 até 2, 
porém a integral agora é o contrário, ou seja, x²-x 
que é igual a 
1/3x³- 1/2x² que substituindo pelos limites de 1 
até 2 encontramos 5/6. 
ENTÃO SOMANDO AS DUAS PARTES, OU SEJA, AS 
ÁREAS ENCONTRADAS: 1/6 + 5/6=1 
RESPOSTA 1 UNIDADE DE ÁREA, QUE ESTÁ NA 
LETRA “ D "