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Ca´lculo III Departamento de Matema´tica - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Integrais Triplas em Coordenadas Polares Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas, seja pela regia˜o ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela func¸a˜o ficar melhor escrita assim. Retornamos agora a este assunto para as integrais triplas com a mesma motivac¸a˜o, mas com mais alternativas. Agora temos dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as cil´ındricas e as esfe´ricas. 5.1 Coordenadas Cil´ındricas A primeira generalizac¸a˜o tridimensional das coordenadas polares que vamos trabalhar sa˜o as chamadas coordenadas polares cil´ındricas, ou, simplesmente, coordenadas cil´ındricas. Em palavras, esse sistema de coordenadas trata um plano do R3 em coordenadas polares e chama de z o eixo ortogonal a este. Cada ponto e´ descrito pela tripla (r, θ, z). Se escolhemos a origem de um sistema cartesiano no po´lo das coordenadas polares, mantemos a mesma convenc¸a˜o de fazer θ = 0 corresponder a` semi-reta da parte positiva do eixo x e fazemos os eixos z das coordenadas cartesianas e das cil´ındricas coincidirem (e ate´ por isso e´ convencional usar-se a mesma letra), a mudanc¸a de coordenadas toma a forma: x = r cos θ, y = r sen θ, z = z. Novamente, voceˆ deve tentar fazer uma figura para entender o que se passa. 5.1.1 Regio˜es Fundamentais Ja´ deve ter ficado claro que a maneira mais simples de fazer partic¸o˜es de uma regia˜o e´ fazer partic¸o˜es nos intervalos das varia´veis que as definem. Queremos 1 enta˜o entender como sa˜o as regio˜es que, em coordenadas cil´ındricas, sa˜o definidas por P = {(r, θ, z) : R1 ≤ r ≤ R2,Θ1 ≤ θ ≤ Θ2, Z1 ≤ z ≤ Z2} , onde Ri, Θi e Zi sa˜o constantes. O primeiro passo e´ entendermos como sa˜o os limites desta regia˜o, ou seja, o que significam as equac¸o˜es r = Ri, θ = Θi e z = Zi. A primeira equac¸a˜o representa um cilindro (circular reto) de raio Ri e centrado no eixo z; a segunda representa um semi-plano que parte do eixo z com o valor Θi definido; a terceira e´ um plano, paralelo ao plano z = 0, mas na “altura” Zi. A figura que poder´ıamos chamar de “paralelep´ıpedo cil´ındrico” (mas essa nomenclatura na˜o e´ muito usual) e´ uma generalizac¸a˜o natural dos retaˆngulos polares que estudamos na aula 3. Constitui o so´lido que pode ser visto como um “prisma” de altura ∆z = Z2 − Z1 e base o retaˆngulo polar de abertura ∆θ = Θ2 − Θ1, raio menor R1 e raio maior R2. O volume deste “paralelep´ıpedo” e´ ∆V = 1 2 ( R22 −R21 ) ∆θ ∆z, que pode ser reescrito como ∆V = r¯ ∆r ∆θ ∆z, onde r¯ = 1 2 (R2 +R1) e´ o raio me´dio e ∆r = R2 −R1. Note que ha´ alguns casos degenerados, mas importantes, da construc¸a˜o acima, como R1 = 0 ou ∆θ = 2pi, mas para os quais as mesmas fo´rmulas continuam valendo. 5.1.2 Integrais Triplas em Paralelep´ıpedos Cil´ındricos Com a experieˆncia do momento voceˆ ja´ deve achar natural que, se quisermos resolver uma integral tripla de uma func¸a˜o f (x, y, z) escrita em coordenadas cartesianas em um paralelep´ıpedo cil´ındrico P , faremos uso das seguintes integrais iteradas:∫ ∫ ∫ P f (x, y, z) dV = ∫ Z2 Z1 ∫ Θ2 Θ1 ∫ R2 R1 f (r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz. Novamente, a ordem de integrac¸a˜o na˜o e´ pre´-definida, podendo ser usada como arma para tornar a integral mais simples. Ale´m disso, na˜o sa˜o so´ os “paralelep´ıpedos cil´ındricos” que servem como regia˜o de integrac¸a˜o. 2 Como um exemplo, vamos calcular a integral∫ ∫ ∫ R x3 + xy2 dV, onde R e´ a regia˜o do primeiro octante, abaixo de z = 1−x2−y2. O primeiro passo e´ reconhecermos que o parabolo´ide em questa˜o e´ dado em coordenadas cil´ındricas por z = 1 − r2 e que a regia˜o R e delimitada por ele, pelo plano z = 0 (pois a regia˜o e´ do primeiro octante) e pelos semi-planos θ = 0 e θ = pi 2 . Pela intersecc¸a˜o do plano z = 0 com o parabolo´ide, conclu´ımos que os valores de r permitidos sa˜o de 0 a 1. Assim a regia˜o pode ser escrita R = { (r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ pi 2 , 0 ≤ z ≤ 1− r2 } . Isso indica que a integral em z deve ser calculada antes da integral em r, com a integral em θ podendo tomar a ordem que parecer mais adequada. Assim,∫ ∫ ∫ R x3 + xy2 dV = ∫ pi 2 0 ∫ 1 0 ∫ 1−r2 0 r3 ( cos3 θ + cos θ sen 2θ ) r dz dr dθ = ∫ pi 2 0 ∫ 1 0 ( 1− r2) r4 cos θ dr dθ = ∫ pi 2 0 cos θ dθ ∫ 1 0 ( r4 − r6) dr = 1 5 − 1 7 . Muitos outros exemplos interessantes podem ser encontrados em livros e nos exerc´ıcios sugeridos. 5.2 Coordenadas Esfe´ricas Mais pro´ximo na ide´ia das coordenadas polares planas esta´ o sistema de coordenadas polares esfe´ricas, ou, simplesmente, coordenadas esfe´ricas. No- vamente, a ide´ia e´ apontar a direc¸a˜o em que se deve ir e a distaˆncia a ser percorrida. Esta direc¸a˜o sera´ dada por um ponto na esfera, assim usamos dois aˆngulos para descrever a direc¸a˜o (parecido com os aˆngulos de latitude e longitude que sa˜o usados geograficamente). Uma escolha comum1 destes 1Va´rios livros fazem escolhas diferentes e voceˆ deve estar sempre atento a isso, princi- palmente quando tenta usar fo´rmulas memorizadas. 3 aˆngulos e´ manter o mesmo θ das coordenadas cil´ındricas (que geograficamente e´ a longitude) e trabalhar com um aˆngulo φ medido a partir do semi-eixo z > 0 das coordenadas cil´ındricas (muitas vezes chamado de co-latitude). Naturalmente para cobrir todas as direc¸o˜es sera´ suficente usar θ ∈ [0, 2pi] e φ ∈ [0, pi]. Com essas escolhas, e chamando de ρ (leˆ-se roˆ) a distaˆncia ao po´lo, teremos a seguinte mudanc¸a de coordenadas entre esfe´ricas e cil´ındricas: z = ρ cosφ, r = ρ senφ, θ = θ, que leva a` seguinte relac¸a˜o entre polares esfe´ricas e cartesianas (com as con- venc¸o˜es ja´ discutidas) x = ρ senφ cos θ, y = ρ senφ sen θ, z = ρ cosφ. E´ importante notar que com essas escolhas, alguns pontos sa˜o descritos maneira amb´ıgua. Por exemplo, para todo ponto do eixo z, o aˆngulo θ e´ arbitra´rio. Ale´m disso, pontos com θ = 0 ou com θ = 2pi coincidem. Voltaremos a esta questa˜o mais adiante, para explicar porque isso na˜o e´ um problema para integrac¸a˜o. 5.2.1 Regio˜es Fundamentais Novamente queremos entender as superf´ıcies que obtemos fazendo cada uma das varia´veis constantes. Se ρ = R, teremos uma esfera de raio R, que da´ nome ao sistema de coordenadas. Se θ = Θ teremos o mesmo semi-plano das coordenadas cil´ındricas. Por fim, se φ = Φ reconheceremos um cone (circular reto), com eixo coincidindo com o eixo z, no caso geral, com algumas situac¸o˜es degeneradas: φ = 0 e φ = pi sa˜o semi-retas e φ = pi 2 e´ o plano z = 0. Calcular o volume de uma regia˜o dada por R = {(ρ, φ, θ) : R1 ≤ ρ ≤ R2,Φ1 ≤ φ ≤ Φ2,Θ1 ≤ θ ≤ Θ2} e´ um bom exerc´ıcio de geometria. Na˜o vamos resolveˆ-lo aqui. Vamos apenas indicar a fo´rmula para o elemento de volume em coordenadas esfe´ricas, discu- tir seu significado geome´trico e apontar para a questa˜o geral de trabalhar em qualquer sistema de coordenadas, que sera´ nosso assunto na pro´xima aula. 4 5.2.2 Integrais Triplas em Coordenadas Esfe´ricas Se quisermos resolver uma integral tripla na regia˜o descrita acima (um “pa- ralelep´ıpedo esfe´rico”, por que na˜o?) podemos usar as seguintes integrais iteradas: ∫ ∫ ∫ R f (x, y, z) dV =∫ Θ2 Θ1 ∫ Φ2 Φ1 ∫ R2 R1 f (ρ senφ cos θ, ρ senφ sen θ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dφ dθ, onde os termos ρ2 e senφ podem ser entendidos da seguinte maneira: o termo ρ2 e´ fundamental para que tenhamos um elemento de volume, ja´ que as coor- denadas esfe´ricas sa˜o definidas em termos de dois aˆngulos e um comprimento (do mesmo modo que o r nas coordenadas polares e cil´ındricas era essencial); o termo senφ tem um apelo geome´trico claro: as mesmas variac¸o˜es em φ e θ geram a´reas muito diferentes em uma esferase elas sa˜o feitas pro´ximas aos po´los ou pro´ximas ao equador. Como senφ e´ pequeno pro´ximo dos po´los e grande pro´ximo ao equador, ele traz este aspecto para o elemento de volume. Por fim, e´ este termo que faz na˜o ser grave o fato dos pontos do eixo z serem descritos por qualquer valor de φ: o termo senφ faz com que estes pontos na˜o colaborem para a integral. 5.3 Discussa˜o Geral A u´ltima lic¸a˜o que deve ser tomada ja´ foi discutida nas integrais duplas em coordenadas polares e sera´ nosso assunto na pro´xima aula teo´rica: todo problema de integral mu´ltipla e´ constitu´ıdo de treˆs ingredientes ba´sicos: a func¸a˜o a ser integrada, que precisa ser escrita com respeito a`s varia´veis es- colhidas; a regia˜o de integrac¸a˜o, que determina os limites de integrac¸a˜o e impo˜e restric¸o˜es quanto a` ordem em que se resolvem as integrais iteradas; e o elemento de volume, que traduz quanto volume (ou a´rea) e´ representado por uma variac¸a˜o infinitesimal padra˜o nas varia´veis utilizadas. Na pro´xima aula veremos como isso se da´ no caso geral de mudanc¸a de coordenadas e, como exemplo particular, deduziremos o elemento de volume das coordenadas polares esfe´ricas. 5
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