Cap 2

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1 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 
 
PROF: EDUARDO MOURA LIMA 
 
CAPÍTULO 2 
 
SOLICITAÇÃO AXIAL – TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
Exercícios 
 
Observação: Referente ao capítulo III da apostila teórica 
 
Versão 01/02/2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1) Traçar os diagramas de esforços normais (DEN), tensões normais 
(DTN) e deslocamentos (DD). 
 
 
 
 Dados: 
 L1 = 1,0 m 
 L2 = 1,5 m 
 L3 = 1,0 m 
 S1 = 4,0 cm2 
 S2 = 2,0 cm2 
 S3 = 0,4 cm2 
 E1 = E2 = E3 = 2 x 106 kgf / cm2 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o alongamento total de uma barra de 5 cm2 de seção 
transversal e 2 m de comprimento, submetida a uma tração axial de 
7,5 tf, sendo E = 2,1 x 106 kgf/cm2. 
 
 
 
1 
2 
3 
6 tf 
3 tf 
1 tf 
3 
 
3) A barra de aço da figura está solicitada pelas forças indicadas e tem a 
área da seção reta S = 10 cm2 e E = 2,1 x 106 kgf/cm2. Determinar: 
a. Diagrama de esforços normais na barra 
b. Variação de comprimento do trecho BC. 
 
 
 
 
 
4) Calcular o alongamento total da barra abaixo, submetida unicamente 
ao seu peso próprio. 
Dados: E, L, S e γ (peso específico do material - peso na unidade de 
volume) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 tf 3 tf 2 tf 9 tf A B C D 
2 m 3 m 4 m 
L 
4 
 
5) Determinar a seção reta (S) da barra abaixo, levando em consideração 
o seu peso próprio e a carga concentrada P. 
Dados: P, L, γ (peso específico do material) e σ (tensão admissível). 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) A figura abaixo está EM ESCALA, e representa o diagrama fornecido 
pela máquina , num ensaio de tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
P 
σ 
ε 
5 
 
Foi ensaiada uma barreta de seção reta inicial S = 2 cm2, e 
comprimento inicial L = 8 cm. O ensaio revelou que: 
 A maior força normal registrada no mostrador foi de 8.000 
kgf. 
 O extensômetro (medidor de alongamentos) indicou que um 
comprimento inicial de 2 cm sofreu um acréscimo de 0,002 
cm no instante correspondente ao limite de 
proporcionalidade. 
 Após a rutura a barreta apresentou as seguintes dimensões: S 
= 1,8 cm2 e L = 9 cm. 
Com base no gráfico e nas informações acima, calcular: 
 O limite de proporcionalidade e o módulo de Young (E) do 
material. 
 O limite de escoamento inferior 
 O valor, em cm2, da deformação superficial da seção reta, no 
instante em que se atinge o limite de proporcionalidade, 
sabendo-se que para o material, seu coeficiente de Poisson 
(μ) vale 0,25. 
 
7) Para que sejam determinadas as características mecânicas de certo 
material, ensaiou-se, à compressão, uma barreta de 25 cm de 
comprimento e 4 cm2 de seção reta, com uma força axial de 6.150 kgf. 
Dos resultados, concluiu-se ter havido um acréscimo de 1,8 x 10-3 cm2 
na seção reta e uma redução de 3 x 10-2 cm3 no volume da peça. 
Determinar o módulo de Young (E) e o coeficiente de Poisson (μ) 
desse material. 
 
8) Uma barra com 2 m de comprimento e 4 cm2 de seção transversal vai 
ser tracionada por uma força axial estática. Para o material, temos: E 
= 2 x 106 kgf/cm2 e μ = 0,25. 
 
 
6 
 
Determinar: 
 A intensidade da força capaz de provocar uma variação de 60 
mm3 no volume da peça. 
 O potencial elástico acumulado na barra quando a seção reta 
apresentar uma variação de 1,5 x 10-4 cm2. 
9) Calcular a carga admissível para a peça abaixo. 
Dados: σT = 3.200 kgf/cm2 e σC = 2.400 kgf/cm2. 
Em ambos os casos, usar coeficiente de segurança = 2,0. 
Diâmetro de cada um dos 5 furos = 2 cm 
Vista de cima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vista de frente: 
 
 
 
10) A barra da figura abaixo tem 2 cm2 de seção transversal. 
 Determinar as tensões normais ao longo da barra (DTN) 
 Sabendo-se que σT = 1,2 tf/cm2 e σC = 1,0 tf/cm2, que 
conclusões podemos tirar? 
 
 
 
 
 
A B C 
F F 
100 cm 
20 cm 
F F 
1 cm 
3 tf 
2,4 tf 
A B C 
7 
 
11) Determinar o valor máximo de P de tal forma que o alongamento 
total da barra não ultrapasse 0,18 cm, e nem que as tensões 
ultrapassem seus valores admissíveis. 
Barra Material E (kgf/cm2) σ T,C (kgf/cm2) L(m) S(cm2) 
1 Bronze 8 x 105 1.250 1,0 5,0 
2 Alumínio 7 x 105 850 1,6 7,0 
3 Aço 2 x 106 1.400 1,3 3,5 
 
 
 
 
 
 
12) Um suporte de madeira de 20 cm x 20 cm de seção reta está 
apoiado em uma base de concreto. Determinar o valor de P se a 
tensão admissível da madeira é de 110 kgf/cm2 e a do concreto é de 
50 kgf/cm2. Quais as dimensões da base quadrada (a) se a tensão 
admissível do terreno vale 4 kgf/cm2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 3 P P 4 P 2 P 
a 
20 cm 
P 
8 
 
13) A estrutura abaixo tem peso desprezível e é composta de dois 
trechos coaxiais de seções retas quadradas. Na extremidade inferior 
está aplicada uma força estática P. Determinar: 
 O maior valor que a carga P pode assumir sem que sejam 
ultrapassados os seguintes limites: 
No trecho 1  σ T,C = 400 kgf/cm2. 
No trecho 2  σ T,C = 1.800 kgf/cm2. 
Na estrutura  potencial elástico acumulado = 49 kgf.cm 
 O valor da força P no instante em que a seção reta do trecho 
1 apresenta uma redução de 0,3 x 10-3 cm2, sabendo-se que, 
para o material desta haste, o coeficiente de Poisson vale 
0,25. 
 S (cm2) E (kgf/cm2) 
Trecho 1 4 1,8 x 106 
Trecho 2 1 2,1 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
P 
72 cm 
84 cm 
9 
 
14) Calcular as forças axiais, as tensões normais e os deslocamentos 
verticais das seções transversais da barra. Representar graficamente 
os resultados obtidos. 
 S (cm2) E (kgf/cm2) 
Barra 1 2 2,0 x 106 
Barra 2 1 2,0 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) A estrutura abaixo, sem peso, tem seção circular constante em cada 
trecho, sendo os trechos 1,2 e 3 de materiais diferentes mas com o 
mesmo eixo vertical. 
Sabe-se que as seções retas valem: 2 S1 = 4 S2 = S3 = 20 cm2 e que 
seus materiais possuem as seguintes características: 
E1 = 5/6 E2 = 5/7 E3 = 1,5 x 106 kgf/cm2 e 
 σ 1 = 2/3 σ 2 = 1/2 σ 3 = 800 kgf/cm2. 
 Calcular o máximo valor das cargas P, iguais, sabendo-se que: 
 As tensões admissíveis para cada trecho não podem ser 
ultrapassadas 
 Nenhuma seção pode se deslocar de sua posição pprimitiva 
mais do que 0,06 cm. 
 
 
1 
2 
1 tf 
1 m 
2 m 
4 tf 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Uma barra de alumínio de seção quadrada, ligada a um tirante de 
aço de seção circular, suporta em sua extremidade C uma carga de 
500 kgf. Em função das propriedades mecânicas desses materiais, 
determinar: 
 As seções retas S1 e S2 
 A energia de deformação na barra e no tirante 
 O deslocamento do ponto C 
Material E (kgf/cm2) 
Tensão 
limite tração 
(kgf/cm2) 
Tensão 
limite 
compressão 
(kgf/cm2) 
Coeficiente 
desegurança 
1-aço 2 x 106 4.000 3.500 2,0 
2-alumínio 0,6 x 106 3.000 2.200 2,5 
 
 
 
 
 
 
56 cm 
36 cm 
60 cm 
3 
2 
1 
P P 
P 
60º 
30º 
2 m 
A 
B 
C 
500 kgf 
1 
2 
11 
 
17) A figura representa uma peça de máquina em que todos os 
elementos são considerados absolutamente rígidos, à exceção da 
barra CD, para a qual E = 2 x 106 kgf/cm2. A força P atua 
estaticamente, até o valor de 1.000 kgf. Dimensionar a barra CD (S) e 
determinar o deslocamento do ponto B. A tensão admissível da barra 
CD vale 2.500 kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) A figura mostra um dispositivo de elevação de cargas, acionado 
mecanicamente pelo guincho G. O sistema é composto de um cabo 
metálico flexível que abraça uma roldana suportada por duas hastes 
metálicas AB e BC. Determinar a maior carga P que pode ser 
levantada, tendo em vista a resistência dos materiais. 
Peça Tensão admissível (kgf/cm2) S (cm2) 
Cabo 800 4 
Haste AB ± 1.200 2 
Haste BC ± 1.000 6 
 
 
 
 
A 
B 
P 
C D 
21 cm 
30 cm 
60 cm 
100 cm 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Determinar as tensões normais nas barras 1 e 2 e o deslocamento 
do ponto B. 
Barra L (cm) S (cm2) E (kgf/cm2) 
1 70 2,0 2,1 x 106 
2 105 1,5 2,1 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60º 
30º 
A C 
B 
P 
G 
60º 
30º 
A B 
C 
750 √3 kgf 
1 
2 
13 
 
20) A barra AD é rígida e indeformável, podendo girar em torno de D. 
Determinar: 
 Forças normais em 1 e 2 
 Reações no apoio D 
 Rotação da barra AD 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) 
1 2 x 106 20 4 
2 2 x 106 20 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Determinar o maior valor possível para a carga P. A barra AC é rígida 
e indeformável. 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) 
Tensão 
admissível 
tração 
(kgf/cm2) 
Tensão 
admissível 
compressão 
(kgf/cm2) 
L (cm) 
1 2,0 x 106 4 400 350 100 
2 2,2 x 106 2 300 250 110 
 
 
 
D B C 
50.000 kgf 
1 2 
A 
 2 m 2 m 2 m 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Determinar as reações de apoio e o encurtamento da zona 
comprimida. 
E = 2 x 106 kgf/cm2 (para as duas barras) 
S1 = 4 cm2 S2 = 2 cm2 L1 = 6 m L2 = 2 m 
 
 
 
 
 
 
 
23) A plataforma de descarga AB pode ser considerada absolutamente 
rígida e pesa 2 tf. Ela é sustentada pelo tirante BC e está apoiada na 
coluna DE, ambos deformáveis. Pede-se determinar, no instante 
representado na figura, os esforços na coluna e no tirante para P = 
7.200 kgf. 
 
Peça E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) 
Coluna 1 1,0 x 106 54 1,20 
Tirante 2 2,0 x 106 6 2,40 
 
 
 
1 
2 
2 m 1 m 
A B C 
P 
1 2 
10 tf 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Na estrutura abaixo, somente as hastes AB e CD são consideradas 
deformáveis, estando a força estática P equidistante das mesmas. 
Haste S (cm2) Tensões admissíveis (kgf/cm2) E (kgf/cm
2) L (m) 
1-AB 1,2 ± 1.200 2 x 106 2 
2-CD 1,5 ± 1.000 2 x 106 2 
 
Determinar: 
 O maior valor possível para P 
 O deslocamento do ponto de aplicação da carga P quando P = P 
máximo 
 O trabalho realizado pela força quando P = P máximo 
 
 
 
 
 
 
 
2 
B 
A 
6 m 
5 m 
2 m 
P 
C 
D 
E 
1 
A 
B 
1 
P 
C 
D 
2 
16 
 
 Supondo agora que as referidas hastes são física e 
geometricamente iguais, com S = 2,1 cm2, L = 2 m e E = 2 x 106 
kgf/cm2, e que se introduza uma terceira haste EF, biarticulada em E 
e F, na direção da força P, determinar as reações nas hastes para P = 
4.200 kgf. Para a haste EF, tem-se: S = 1,5 cm2, L = 1 m e E = 2,1 x 
106 kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) Verificar a estabilidade da estrutura abaixo. 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 
1 2 x 106 2 3 ± 1.000 
2 2 x 106 1 3 ± 1.200 
3 1 x 106 3 2 ± 1.400 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
1 
P 
C 
D 
2 
F 
E 
3 
6 tf 3 
1 2 
1 m 1 m 1 m 1 m 
17 
 
26) Na estrutura abaixo, a peça ABDFH é suposta absolutamente rígida, 
sendo as hastes BC, DE e FG deformáveis. Determinar P máximo. 
Haste E (kgf/cm2) S (cm2) L (cm) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 
BC 2,0 x 106 3 100 ± 1.000 
DE 1,8 x 106 2 180 ± 800 
FG 1,5 x 106 2 150 ± 600 
 
 
 
 
 
 
 
 
27) Sobre a estrutura, sabe-se que a peça ABCD é perfeitamente rígida, 
sendo as barras 1, 2 e 3 deformáveis. Determinar o maior valor 
possível de x (x ≤ 200 cm). 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (cm) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 
1 2,1 x 106 2,4 210 ± 1.000 
2 1,8 x 106 4,0 140 ± 900 
3 2,0 x 106 1,8 210 ± 800 
 
 
 
 
 
 
P 
E 
H 
2 m 2 m 2 m 2 m 
A B 
C 
D 
G 
F 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28) A peça ABCD é suposta sem peso e é perfeitamente rígida. Está 
articulada em A a uma rótula indeslocável e em C à extremidade 
inferior de um tirante vertical CE, cujas características são: S = 2 cm2, L 
= 2 m, E = 2 x 106 kgf/cm2 e μ = 0,25. 
Determinar: 
 O valor de P capaz de provocar uma redução de 3 x 10-4 cm2 na 
seção reta do tirante. 
 A seção reta que deverá ter uma coluna vertical bi-articulada em B e 
F, de mesmo material do tirante, para que o alongamento deste 
seja reduzido à metade do que ocorria antes da montagem da 
coluna, para uma mesma intensidade de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.300 kgf 
1 
2 
3 
1 m 1 m 2 m 
x 
A B 
F 
C D 
E G 
P 
E 
1 m 1 m 1 m 
A B 
F 
C D 
1 m 
19 
 
29) As barras A e B são consideradas indeformáveis. Os tirantes 1 e 2, 
deformáveis, possuem as características abaixo. As barras são todas 
consideradas sem peso. Determinar, quando a carga P, estática, 
atingir o valor de 1.600 kgf: 
 As tensões normais nas barras 1 e 2 
 O deslocamento do ponto C 
 O potencial elástico acumulado em toda a estrutura 
 Supondo que as tensões normais admissíveis das duas barras 
tenham sido fixadas com segurança 3, verificar se em alguma 
barra essa segurança foi reduzida e para quanto 
 O maior valor de P sem afetar a segurança de nenhuma barra 
 
Barra S (cm2) L (cm) E (kgf/cm2) Tensões admissíveis 
(kgf/cm2) 
1 3 30 1,4 x 106 ± 600 
2 2 40 2,1 x 106 ± 900 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
E 
2a 
A B F 
D 
2a a 
1 
C C 
G 
2 
20 
 
30) A peça ACB, suposta indeformável, pode girar, no plano da figura, 
em torno do pino fixo C, e está ligada às barras 1 e 2. A força P = 2.000 
kgf é suposta estática. Sabe-se que a = 2b. 
Determinar: 
 As reações em D e E, bem como a ação da barra ACB sobre o 
pino C 
 O deslocamento vertical de A 
 O potencial total armazenado na estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31) Na estrutura plana da figura, suposta sem peso, os pontos A e D são 
indeslocáveis e a peça BCD é suficientemente rígida de forma a poder 
ser considerada indeformável. Ela está articulada em D e suspensa 
pelas barras 1 e 2, deformáveis, de mesmo material e de seções 
transversais S2 = 4 S1 = 4 cm2. Sabendo-se que a força P = 2.400kgf 
(estática) é aplicada, armazena-se na estrutura um potencial elástico 
total de 36 kgf.cm, determinar: 
 Reações em A e D 
 O módulo de elasticidade longitudinal (E) das duas barras. 
 
 
Barra S (cm2) L (cm) E (kgf/cm2) 
1 3 120 2,0 x 106 
2 2 80 2,0 x 106 
2 
1 
a b 
A C B 
P 
E 
30º 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32) Qual deve ser o acréscimo de temperatura a ser dado na barra 
abaixode modo que sejam respeitadas as condições de segurança da 
mesma? 
E = 2 x 106 kgf/cm2 α = 12 x 10-6/ºC (coeficiente de dilatação linear) 
σ C = 1.200 kgf/cm2 σ T = 640 kgf/cm2 
Obs: à temperature ambiente, as tensões normais são nulas 
 
 
 
 
 
33) Entre os topos de dois cilindros metálicos de mesma seção reta e de 
eixos coincidentes há uma folga δ = 0,25 cm, conforme a figura. O 
cilindro superior é composto de dois trechos, a saber: 
Trecho A: a = 25 cm E = 1,0 x 106 kgf/cm2 
Trecho B: b = 50 cm E = 4/3 x 106 kgf/cm2 
O cilindro inferior tem: 
Trecho C: L = 50 cm E = 2,0 x 106 kgf/cm2 α = 1,25 x 10-5/ºC 
 Determinar, quando o trecho C sofrer um aquecimento, por igual, de 
100ºC, permanecendo os demais à temperatura ambiente: 
 A tensão normal no plano da seção reta do trecho B 
P 
a a 2a 
A 
B C 
D 
1 2 
60º 
30º 
1 m 
2m 
22 
 
 A que distância, a partir da parte superior do conjunto, ficará a 
superfície de contato entre as duas partes B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
34) Um cilindro oco de aço está situado em volta de um cilindro de 
cobre tal como está na figura. Ao conjunto se aplica, por meio de uma 
placa, a carga axial de 25 tf. A área da seção transversal do cilindro de 
aço 20 cm2 e e do cobre, 60 cm2. Determinar o acréscimo de 
temperatura ΔT para o qual a carga externa é equilibrada só pelas 
forças que aparecem no cobre. 
Cilindro E (kgf/cm2) α (/ºC) 
1-cobre 1,2 x 106 16,7 x 10-6 
2-aço 2,1 x 106 11,7 x 10-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
δ 
L 
A 
B 
C 
1 
2 2 
50 cm 
25 tf 
23 
 
35) Calcular o acréscimo de temperatura ΔT para que as tensões 
normais no trecho 1 sejam nulas. 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (cm) α (/ºC) 
1 2 x 106 2 200 1,25 x 10-5 
2 2 x 106 2 300 1,25 x 10-5 
 
 
 
 
 
 
36) Determinar as reações nas paredes, sabendo que nas barras atuam 
a força de 10 tf e uma variação de temperatura (aquecimento) de ΔT 
= 100 ºC. 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) α (/ºC) 
1 2 x 106 4 6 12 x 10-6 
2 2 x 106 2 2 12 x 10-6 
 
 
 
 
 
 
 
37) Para ser feita a montagem da estrutura abaixo, foi necessário um 
aquecimento na barra 2 de ΔT = 100 ºC. Quais as forças atuantes nas 
barras, após a temperatura voltar à ambiente? 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) α (/ºC) 
1 2 x 106 2 2 12 x 10-6 
2 2 x 106 2 1 12 x 10-6 
 
1 2 
3.000 kgf 
1 2 
10 tf 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38) Aquece-se a barra 2, que pertence a uma estrutura perfeitamente 
ajustada, sem tensões. Que forças surgem nas barras 1 e 2? 
ΔT = 100 ºC 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) α (/ºC) 
1 2 x 106 2 2 12 x 10-6 
2 2 x 106 2 1 12 x 10-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 m 1 m 
1 
2 
1 m 1 m 
1 
2 
25 
 
39) Para ser feita a montagem, aqueceu-se a barra 2 de 100ºC. Após a 
temperatura voltar à ambiente, quais as forças que surgem nas barras 
1 e 2? 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) α (/ºC) 
1 2 x 106 2 2 12 x 10-6 
2 2 x 106 2 1 12 x 10-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40) A estrutura está perfeitamente ajustada, sem tensões. Aquece-se a 
barra 2 de 100ºC. Que forças surgem nas barras 1 e 2? 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) α (/ºC) 
1 2 x 106 2 2 12 x 10-6 
2 2 x 106 2 1 12 x 10-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
1 60ºC 60ºC 
1 
2 
1 60ºC 60ºC 
26 
 
41) A peça K (em forma de T) é rígida e indeformável, e pode girar em 
torno do ponto A. Calcular as forças N1 e N2 que surgem com a 
aplicação da força F. 
Barra L (cm) S (cm2) E (kgf/cm2) 
1 100 2,0 1 x 106 
2 120 1,2 2 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42) A peça K (em forma de T) é rígida e indeformável, e pode girar em 
torno do ponto A. Calcular as forças N1 e N2 que surgem com a 
aplicação da força F. 
Barra L (cm) S (cm2) E (kgf/cm2) 
1 100 2,0 1 x 106 
2 120 1,2 2 x 106 
 
 
 
 
 
1 
2 
1 m 
0,5 m 0,5 m 
F = 5.000 kgf 
A 
K 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43) A peça K (em forma de T) é rígida e indeformável, e pode girar em 
torno do ponto A. Calcular as forças N1 e N2 que surgem com a 
aplicação da força F. 
Barra L (cm) S (cm2) E (kgf/cm2) 
1 100 2,0 1 x 106 
2 120 1,2 2 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
1 m 
0,5 m 0,5 m 
F = 6.800 kgf 
A 
K 
60º 
1 
2 
1 m 
0,5 m 0,5 m 
F = 6.800 kgf 
A 
K 
60º