CN Aula 18

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #18 
 
 
 
• Mínimos Quadrados – Caso Contínuo 
 
 
Conhecemos a função f(x) em um dado intervalo [α, β] e desejamos aproximar essa função 
f(x) por uma outra função g(x). Nosso objetivo é MINIMIZAR A ÁREA entre f(x) e g(x), 
logo: 
 
 
 
q � ��f�x� � g�x��
�
�
 dx 
 
Considerando g(x) = ax + b (equação de uma reta) devemos encontrar “a” e “b”. 
 
q � ��f�x� � ax � b�
�
�
 dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Derivada em relação a “a”: 
 
 
∂q∂a � �2�x �f�x� � ax � b� dx
�
�
� 0 
 
 
∂q∂a � �x f�x� dx � a� x
�
�
�
�
dx � b�x dx
�
�
� 0 
 
 
∂q∂a � a � x
�
�
dx � b�x dx
�
�
� �x f�x� dx
�
�
 
 
 
 
Derivada em relação a “b”: 
 
 
∂q∂b � �2� �f�x� � ax � b� dx
�
�
� 0 
 
 
 
∂q∂b � � f�x� dx � a� x
�
�
�
�
dx � b� dx
�
�
� 0 
 
 
∂q∂b � a � x
�
�
dx � b�dx
�
�
� � f�x�dx
�
�
 
 
 
Temos o seguinte sistema de equações cujas incógnitas são os parâmetros “a” e “b” da 
equação da reta y = ax + b: 
 
 
���
�
���a � x
�
�
dx � b�x dx
�
�
� �x f�x� dx
�
�
a � x
�
�
dx � b�dx
�
�
� � f�x�dx
�
�
�
 
3 
 
Exemplo 1: Aproxime f(x) = 4x3 por uma reta no intervalo [0, 1]. 
 
 
 
Exemplo 2: Desenvolva o modelo matemático para a aproximação quadrática, faça 
g(x) = ax2+bx+c. 
 
 
Exemplo 3: Aproxime f(x) = √x por uma parábola no intervalo [0, 1].