3. No triângulo ABC, da figura, AM e CN são medianas que se interceptam em G. Sendo AG = 10 cm e CN = 18 cm, calcule x, y e z.

Para resolver esse problema, precisamos usar a propriedade das medianas de um triângulo. Sabemos que a mediana divide o lado oposto em duas partes iguais. Vamos começar encontrando o valor de GM. Como AM é mediana, temos que GM = AM/2. Como AG = 10 cm, temos que AM = 2*AG = 20 cm. Portanto, GM = 20/2 = 10 cm. Agora, vamos encontrar o valor de GN. Como CN é mediana, temos que GN = CN/2. Como CN = 18 cm, temos que GN = 18/2 = 9 cm. Observe que o triângulo AGN é retângulo em G. Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de AN: AN² = AG² + GN² AN² = 10² + 9² AN² = 181 AN = √181 Agora, vamos encontrar o valor de BM. Como CN é mediana, temos que BM = CN/2. Como CN = 18 cm, temos que BM = 18/2 = 9 cm. Observe que o triângulo ABM é retângulo em M. Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de AM: AM² = AB² + BM² AM² = x² + 9² AM² = x² + 81 Observe que o triângulo BGM é retângulo em G. Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de BM: BM² = BG² + GM² BM² = y² + 10² BM² = y² + 100 Observe que o triângulo CAG é retângulo em G. Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de AC: AC² = AG² + GC² AC² = 10² + z² AC² = z² + 100 Como AM e CN são medianas, sabemos que elas se intersectam no ponto G. Portanto, podemos usar a regra de Cramer para encontrar o valor de x: x/20 = 9/(z+18) x = 180/(z+18) Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo ABC para encontrar o valor de z: AB² = AC² + BC² AB² = (z² + 100) + (x² + 81) AB² = z² + x² + 181 Substituindo o valor de x em função de z, temos: AB² = z² + (180/(z+18))² + 181 Resolvendo essa equação, encontramos duas soluções possíveis para z: z = 27 ou z = 45. Substituindo o valor de z em cada equação, podemos encontrar os valores de x, y e z: Para z = 27: x = 6 y = 8 z = 27 Para z = 45: x = 4 y = 7 z = 45 Portanto, as soluções para o problema são: x = 6, y = 8 e z = 27 ou x = 4, y = 7 e z = 45.