CN aula 9

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #09 
 
 
• Métodos Iterativos Para se Obter a Solução de Sistemas 
de Equações Lineares 
 
Estudaremos os seguintes métodos: 
 
� Gauss-Jacobi (aula #09); 
� Gauss-Seidel (aula #10); 
 
• Gauss-Jacobi 
 
Considere um sistema de dimensão 3x3 dado por: 
 
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 
 
Suponha que aii≠0 para i = 1, 2 e 3. 
 
O método de Gauss-Jacobi consiste em: 
 
a) Isolar o vetor x mediante separação pela diagonal e 
 
b) Dado uma aproximação inicial (ou chute inicial) x(0), obter x(1), x(2), x(3),..., através da 
solução do seguinte sistema: 
 
x������ � 1a�� 
b� � a�
x
��� � a��x����� 
 
x
����� � 1a
 
b
 � a
�x���� � a
�x����� 
 
x������ � 1a�� 
b� � a��x���� � a�
x
���� 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
• Critério de Parada 
 
O processo iterativo é repetido até que o vetor x(k) esteja suficientemente próximo do 
vetor x(k+1). Medimos a distância entre o x(k) e x(k+1) por: 
 
 
d(k+1) = max | x������ � x����|; para 1 ≤ i ≤ n 
 
Uma outra opção é usar o erro relativo, que é dado por: 
 
d������ � d�����max |x������| 
 
para 1 ≤ i ≤ n. 
 
Assim, dada uma precisão ε, o vetor x(k+1) será escolhido como solução do sistema se d������ � � 
 
Exemplo 1: Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com x��� � � 0,7�1,60,6 � 
e ε = 0,05. Controle a convergência pelo cálculo do erro relativo dr. 
 
� 10x� 2x
 x� � 7x� 5x
 x� � �82x� 3x
 10x� � 6
%
 
 
solução no quadro 
 
 
Exercício 1: Resolva os sistemas pelo método de Gauss-Jacobi. Faça duas iterações e 
considere xi=1 como chute inicial. 
 
 
a) &3x� 12x
 � 92x� 6x
 � 10% Resp: (�
� � )�2,33322 * 
 
 
 
b) � x� x
 2x� � 8�x� � 2x
 3x� � 13x� � 7x
 4x� � 10
%
 Resp: x�
� � � 0,52,25�0,375�