CN aula 2

Prévia do material em texto

4 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
AULA #02 
 
 
• Método da Posição Falsa 
 
����Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a, b] tal que f(a).f(b) < 0. O objetivo 
deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir uma 
precisão desejada, usando para isso o seguinte princípio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Lembre da equação da reta: y – y1 = m ( x – x1) 
 
Como tenho dois pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), posso obter o coeficiente angular m, o qual 
é dado por: 
 
m �
y� � y�
x� � x�
�
f	b� – f	a�
b � a
 
 
No ponto x, y = 0, então temos que: 
 
0 � y� �
f	b� � f	a�
b � a
 	x � x�� 
 
 
Faremos (x1, y1) = (a, f(a)) e isolaremos o x, então: 
 
0 � f	a� �
f	b� � f	a�
b � a
 	x � a� 
 
�f	a� 	b � a� � f	b� x � f	a� x � f	b� a � f	a� a 
 
�f	a� b � �	�� � � f	b� a � �	�� � � x 	f	b� � f	a�� 
 
�f	a� b � f	b� a � x 	f	b� � f	a�� 
 
x �
a f	b� – b f	a�
f	b� – f	a�
 
 
���� Se você fizer (x1, y1) = (b, f(b)) e isolar o x, também dará o mesmo resultado! 
 
Agora o novo intervalo será [a, x] ou [x, b] dependendo do estudo do sinal da f(x), 
como fizemos no método da Bissecção! 
 
 
���� Exemplo 1: Use o método da posição falsa para encontrar uma raiz da equação 
 x
3 
- 9x + 3 = 0. Faça 4 iterações e use o intervalo [a, b] = [ 2, 3]. Compare o resultado 
com o obtido na aula passada. Preencha a tabela abaixo. 
 
 f(x) = x3 - 9x + 3 
bisseção posição falsa 
x= 
f(x) = 
iteração= 
x= 
f(x)= 
iteração= 
 
 
 
 
 
6 
 
����No MatLab: Código que resolve o Exemplo 1: 
 
clear all; 
clc; 
 
%dados iniciais 
a=2; 
b=3; 
 
%inicia processo iterativo 
ite=1; 
 
 while ite<5 %faço 4 iterações 
 
 %calcula f(a) e f(b) 
 
 fa = a^3 - 9*a + 3; 
 
 fb = b^3 - 9*b + 3; 
 
 if (fa>0 && fb<0) || (fa<0 && fb>0) 
 
 x=(a*fb-b*fa)/(fb-fa); %formula da posição falsa 
 
 fx = x^3 - 9*x + 3; 
 
 fprintf('x%g = %g\n',ite,x) 
 
 if (fa>0 && fx<0) 
 
 a=a; 
 b=x; 
 
 end 
 
 if (fa<0 && fx>0) 
 
 a=a; 
 b=x; 
 
 end 
 
 if (fx<0 && fb>0) 
 
 a=x; 
 b=b; 
 
 end 
 
 if (fx>0 && fb<0) 
 
 a=x; 
 b=b; 
 
 end 
 
 ite=ite+1; 
 
 end 
 
 end 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
���� Exercícios complementares: Estime as raízes das equações abaixo pelo método da 
posição falsa. Faça 2 iterações. Use o intervalo dado. 
 
 
a) x log(x) -1 = 0 [a , b] = [2 , 3] Resp: x = 2,504963 
 
b) e-x – cosx = 0 [a , b] = [1 , 2] Resp: x = 1,285599 
 
c) x3 - 9x + 3 = 0 [a , b] = [0 , 1] Resp: x = 0,338624 
 
obs: ajuste sua calculadora para RADIANOS toda vez que aparecer uma função 
trigonométirca.